《2412垂直于弦的直径》

人教版九年级上册人教版九年级上册 问题问题:你知道赵州桥吗你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,37.4m,拱高拱高(弧弧的中点到弦的距离的中点到弦的距离)为为7.2m7.2m，你能求出赵州桥主你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？由此你能得到圆的什么特性？由此你能得到圆的什么特性？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形。任何圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴一条直径所在直线都是它的对称轴 不借助任何工具，你能找到圆形不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗纸片的圆心吗?如图如图,AB,AB是是O O的一条弦的一条弦,直径直径CDAB,CDAB,垂足为垂足为E.E.你能发现图中有那些相等的线段你能发现图中有那些相等的线段和弧和弧?为什么为什么?OABCDE线段线段:AE=BE:AE=BE弧弧:AC=BC,AD=BD:AC=BC,AD=BD垂径定理垂径定理垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧CDABCDAB CD CD是直径，是直径，AE=BE,AE=BE,AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.OABCDE下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？是是不是不是是是不是不是OEDCAB垂径定理的几个基本图形：垂径定理的几个基本图形：CDCD过圆心过圆心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BD1.已知已知P为为 O内一点，且内一点，且OP2cm，如果，如果 O的半径的半径是是3cm,那么过那么过P点的点的最短的弦最短的弦等于（等于（）若若AB=8,半径为半径为5，则，则OP的取值范围是的取值范围是 .PO2.过过 O内一点内一点M的最长弦长为的最长弦长为4厘米，最短弦长为厘米，最短弦长为2厘米，则厘米，则OM的长是多少？的长是多少？OM1 1、如图，、如图，ABAB是是O O的直径，的直径，CDCD为弦，为弦，CDABCDAB于于E E，则下列结论中，则下列结论中不成立不成立的是（的是（）A、COE=DOEOE=DOEB、CE=DECE=DEC、OE=AEOE=AED、BD=BCBD=BC OABECD2 2、如图，、如图，OEABOEAB于于E E，若，若O O的半径为的半径为10cm,OE=6cm,10cm,OE=6cm,则则AB=AB=cm,cm,延长延长OEOE交交O O 于点于点G G和和F F，求，求EFEF和和EGEG。OABE3 3、如图，在、如图，在O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8cm8cm，圆，圆心心O到到AB的距离为的距离为3cm3cm，求，求O的半径，的半径，延延长长OEOE交交O O 于点于点G G和和F F，求，求EFEF和和EGEG。OABE4 4、如图，、如图，CDCD是是O的直径，弦的直径，弦ABCDABCD于于E E，CE=1CE=1，AB=10AB=10，求直径，求直径CDCD和和EDED的长。的长。OABECD反思：反思：在在 O中，若中，若 O的半径的半径r、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d、弦长、弦长a、弓形高弓形高h中，任意知道两个量，可根据中，任意知道两个量，可根据定理求出其它定理求出其它两个量：两个量：CDBAO小 结 运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a a，弦，弦心距心距d d，弓形高，弓形高h h，半径，半径r r之间有以下关系：之间有以下关系：ABC DO d+h=r 垂径定理的应用垂径定理的应用hrd 你能利用垂径定理解决求你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗赵州桥拱半径的问题吗?垂径定理的应用垂径定理的应用37.4m7.2mABOCD关于弦的问题，关于弦的问题，常常需要常常需要过圆心作过圆心作弦的垂线段弦的垂线段，这是，这是一条非常重要的一条非常重要的辅辅助线助线。圆心到弦的距离、圆心到弦的距离、半径、弦半径、弦构成构成直角直角三角形三角形，便将问题，便将问题转化为直角三角形转化为直角三角形的问题。的问题。ABOCD解：解：如图，用如图，用ABAB表示主桥拱，设表示主桥拱，设ABAB所在的圆的圆心为所在的圆的圆心为O O，半径为，半径为r.r.经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OCOC垂足为垂足为D D，与，与ABAB交于点交于点C C，则，则D D是是ABAB的中点，的中点，C C是是ABAB的中点，的中点，CDCD就是拱高就是拱高.AB=37.4m AB=37.4m，CD=7.2mCD=7.2m AD=1/2 AB=18.7m AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2OD=OC-CD=r-7.2 解得解得r=27.9r=27.9（m m）即即主桥拱半径约为主桥拱半径约为27.9m.27.9m.垂径定理的应用垂径定理的应用练习练习2 2、如图，一条公路的转变处是一段圆弧、如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧即图中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的一点上的一点,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径.OCDEF船能过拱桥吗船能过拱桥吗?3 3、如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米,拱顶高出水面拱顶高出水面2.42.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3 3米、船舱米、船舱顶部为长方形并高出水面顶部为长方形并高出水面2 2米的货船要经过这米的货船要经过这里里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？船能过拱桥吗船能过拱桥吗解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱,所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,O,半径为半径为RmRm,经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OD,DOD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于点C.C.根根据垂径定理据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点,C,C是是 的中点的中点,CD,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.例例2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，（，（1）求证：）求证：四边形四边形ADOE是正方形。（是正方形。（2）若）若r=5，求，求AB长长DOABCE 练习练习1.如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交CD于于E，CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的长。的长。2.2.如图，如图，ABAB是是O O的弦，的弦，OCA=30OCA=300 0，OB=5cmOB=5cm，OC=8cmOC=8cm，则，则AB=AB=；OABC30308 85 5垂径定理推论垂径定理推论 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直的直径垂直于弦于弦,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。CDAB,CDAB,CD CD是直径，是直径，AE=BE AE=BE AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.OABCDE（1 1）如何证明？）如何证明？OABCDE已知：已知：如图，如图，CDCD是是O O的直径，的直径，ABAB为弦为弦，且，且AE=BE.AE=BE.求证：求证：CDABCDAB，且，且AD=BD,AD=BD,AC=BC AC=BC（2 2）“不是直径不是直径”这个条件能去掉吗？如这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。果不能，请举出反例。平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于的直径垂直于弦弦,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。OABCDAM=BM,n由由 CD是是直直径径 CDAB可推得可推得AD=BD.AC=BC,CDAB,n由由 CD是是直直径径 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得可推得垂径定理：垂径定理：推论：推论：试一试试一试1.判断：判断：()(1)垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分并且平分 弦所对的两条弧弦所对的两条弧.()(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧这条弦所对的另一条弧.()(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.2 2、如图，点、如图，点A A、B B是是O O上两点，上两点，AB=8,AB=8,点点P P是是O O上的动点（上的动点（P P与与A A、B B不重合）不重合）,连接连接APAP、BP,BP,过点过点O O分别作分别作OEAPOEAP于于E,OFBPE,OFBP于于F,F,EFEF=。43 在以在以O为圆心的两个同心圆为圆心的两个同心圆中，大圆的弦中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点求证：两点求证：ACBDACDBO4 已知：已知：O中弦中弦ABCD 求证：求证：ACBDCDABOOABC 有关圆的双解问题有关圆的双解问题1、已知、已知A、B、C是是 O上三点，且上三点，且AB=AC，圆心，圆心O到到BC的距离为的距离为3厘米，圆的半径为厘米，圆的半径为5厘米，求厘米，求AB长。长。D试一试试一试OABCOABOAB2、已知、已知 O的半径为的半径为5厘米，弦厘米，弦AB的长为的长为8厘厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。的距离。3 已知：已知：O中弦中弦ABCD若若AB=16,CD12，半径为，半径为10，求弦求弦AB、弦、弦CD之间的距离。之间的距离。CDABO 回顾与思考回顾与思考这节课你有什么收获？这节课你有什么收获？还有哪些疑问？还有哪些疑问？1.1.过过o o内一点内一点M M的最长的弦长为的最长的弦长为1010,最短弦长为最短弦长为8 8,那么那么o o的半径是（的半径是（）2.2.已知已知o o的弦的弦AB=6AB=6,直径直径CD=10CD=10,且且ABCD,ABCD,那么那么C C到到ABAB的的距离等于（距离等于（）3.3.已知已知O O的弦的弦AB=4AB=4,圆心圆心O O到到ABAB的中点的中点C C的距离为的距离为1 1,那么那么O O的的半径为（半径为（）4 4、在半径为、在半径为25cm25cm的的O O中，弦中，弦AB=40cmAB=40cm，则此弦和弦所对的弧，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是的中点的距离是 .5 5、O O的直径的直径AB=20cm,BAC=30AB=20cm,BAC=30则弦则弦AC=AC=.6.6.在在O O中弦中弦ABAC,OMAB,ONAC,ABAC,OMAB,ONAC,垂足分别为垂足分别为M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,则则AB=AB=AC=AC=OA=OA=7 7、如图，、如图，O O中中CDCD是弦，是弦，ABAB是直径，是直径，AECDAECD于于E E，BFCDBFCD于于F F，求证：，求证：CECEDFDF。FEABDCO 8 8、如图，、如图，ABAB为为O O的一条直径，它把的一条直径，它把O O分成分成上、下两个半圆，从上半圆上一点上、下两个半圆，从上半圆上一点C C作弦作弦CDAB,OCDCDAB,OCD的平分线交的平分线交O O于于P P，当点，当点C C在半在半圆上（不包括圆上（不包括A A、B B两点）移动时，点两点）移动时，点P P的位置会的位置会发生怎样的变化？发生怎样的变化？试说明理由试说明理由？