地理空间和地图投影

地 图 投 影 第二章 地理空间和地图投影 直接建立在球体上的 地理坐标，用 经度和纬度表达地理对象位置 建立在平面上 的直角坐标系统，用 （ x， y）表达地理对象位置 投 影 2.1地球椭球体要素 高程系统 任意水准面 大地水准面 HA HA 铅垂线 A HB HB hAB 水准原点 1985国家高 程基准， 72.2604米 黄海海面 1952-1979年 平均海水面 为 0米 地球椭球体基本要素和公式 1.地球的形状和大小 第一次近似 球型 大地水准面 是假定海水 “ 完全 ” 静止状态，把海 水面延伸到大陆之下形成包围整个地球的连续表面。 大地水准面所包围的球体，我们称为 大地球体 第二次近似 椭球体 为了便于测绘成果的计算我们选择一 个大小和形状同地球极为接近的旋转 椭球面来代替，即以椭圆的短轴（地 轴）为轴旋转而成的椭球面，称之为 地球椭球面 。它是一个纯数学表面。 可用简单的数学公式表达，有了这样 一个椭球面，我们即可将其当作投影 面，建立与投影面之间一一对应的函 数关系。 h N H H=h+N P Q 地形表面 参考椭球 大地水准面 大地水准面、参考椭球之间的关系 地球模型 地球表面 水准面 大地水准面 铅垂线 地球椭球体 地球椭球体的形状和大小常用下列符号表 示：长半径 a（赤道半径）、短半径 b（机轴 半径）、扁率 、第一偏心率 e和第二偏心率 e，这些数据又称为 椭球体元素 。它们的数 学表达式为： 扁率： 第一偏心率： 第二偏心率 : a ba 2 22 2 a bae 2 222 b bae 现将世界各国常用的地球椭球体的数据列表如下： 我国在 1952年以前采用的都是海福特椭球体，从 1953起采用克拉索 夫斯基椭球体。 1980年起采用国际大地测量协会定义的球体。 2.2坐标系 2.2.1 大 地坐标系：大地坐标系是大地测量中以参考 椭球面为基准面建立起来的坐标系。也叫经纬 坐标系，地面点的位置用大地经度（ L）、 大 地纬度 (B)和大地高度 (H)表示。 地心坐标系：用 X、 Y、 Z表示的直角坐标系， 其中，直角坐标系原点位于地心； Z轴为极轴， 向北为正； X 轴穿过本初子午线与赤道的交点； Y轴穿过赤道与东经 90 的交点。 2.4地图投影 地图投影概念 由于球面上任何一点的位置是用 地理 坐标（ ， ） 表示的，而平面上的点的位置是用 直角 坐 标（ ， ） 或极坐标（ r，） 表示的，所以要想将地球表 面上的点转移到平面上，必须采用一定的方法来确定地 理坐标与平面直角坐标或极坐标之间的关系。这种在球 面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，就是地图投影方法。 地图投影变形是球面转化成平面的必 然结果，没有变形的投影是不存在的。对某一地图投影 来讲，不存在这种变形，就必然存在另一种或两种变形。但制图时可做到：在有些投影图上没有角度或面积变形 ; 在有些投影图上沿某一方向无长度变形。 地球椭球体表面是个曲面，而地图通常是 二维 平面，因 此在地图制图时首先要考虑把曲面转化成 平面 。然而， 从几何意义上来说，球面是不可展平的曲面。要把它展 成平面，势必会产生 破裂 与 褶皱 。这种不连续的、破裂 的平面是不适合制作地图的，所以必须采用特殊的方法来实现球面到平面的转化。 球面上任何一点的位置取决于它的 经纬度 ，所以实际投影时首先将一 些经纬线交点展绘在平面上，并把经度相同的点连接而成为经线，纬 度相同的点连接而成为纬线，构成经纬网。然后将球面上的点按其经 纬度转绘在平面上相应的位置。由此可见，地图投影就是研究将地球 椭球体面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上的方法及其 变形问题。其数学公式表达为： =f1(， )y=f2(， )（ 2-1） 根据地图投影的一般 公式 ，只要知道地面点的经纬度（ ， ）， 便可 以在投影平面上找到相对应的平面位置（ ， ）， 这样就可按一定的 制图 需要，将一定间隔的经纬网交点的平面直角坐标计算出来，并展 绘成经纬网，构成地图的“骨架”。 经纬网 是制作地图的“基础”， 是地图的主要数学要素。 地图投影 - 原理 由于投影的变形，地图上所表示的地物，如 大 陆 、 岛屿 、 海洋 等的几何特性（长度、面积、 角度、形状）也随之发生变形。每一幅 地图 都 有不同程度的变形；在同一幅图上，不同地区 的变形情况也不相同。地图上表示的范围越大， 离投影标准经纬线或投影中心的距离越长，地 图反映的变形也越大。因此，大范围的小比例 尺地图只能供了解地表现象的分布概况使用， 而不能用于精确的量测和 计算 。 地图投影的 实质就是将地球椭球面上的地理坐标转化为 平 面直角 坐标。用某种投影条件将投影球面上的 地理坐标点一一投影到平面坐标系内，以构成 某种地图投影。 地图投影 - 投影变形 地图是一个平面，而地球椭球面是 不可展的 曲面 ，把不可展的曲面上 的经纬线网描绘成平面的图形，必 然会发生各种变形。这就使地图上 不同点位的比例尺不能保持一个定 值，而有主比例尺和局部比例尺之 分。通常地图上注明的比例尺系主 比例尺，是地球缩小的比率，而表 现在不同点位上的实际比例尺称之 为局部比例尺。地图投影的变形， 有角度变形、面积变形和长度变形。但不是所有投影都有这 3种变形 ,等 角投影就没有角度编形，等面积投影就没有面积变形，其他投影这 3 种变形都同时存在。了解某种投影 变形的大小和分布规律，才能明确 它的实际应用价值。地图投影的变 形可用变形椭圆形象地来解释。变 形椭圆是地球椭球面上以一点的半 径为单位值的微分图，投影在平面 上一般是一个微分椭圆。用它可以解释投影变形的特性和大小。 地图投影的方法很多，但用不同的投影方法得到的经纬线网形式不同。 下图是几种不同投影的经纬线网形状 ： 变形椭圆 指地球椭球体面上的一个微小圆，投影到地图平面 上后变成的椭圆，特殊情况下为圆。可证明球面上的一个微小圆，投影到平面上之后是个椭圆。 在分析地图投影时，可借助对变形椭圆和微小 圆的比较，说明变形的性质和大小。椭圆半径与小 圆半径之比，可说明长度变形。很显然，长度变形 随方向的变化而变化，其中有一个极大值，即椭圆 长轴方向，一个极小值，即椭圆短轴方向。这两个 方向是相互垂直的，称为主方向。椭圆面积与小圆 面积之比，可说明面积变形。椭圆上两方向线的夹 角和小圆上相应两方向线的夹角的比较，可说明角度变形。 长度比和长度变形 长度比 是投影面上一微小线段 ds和椭球面上相应微小线 段 ds之比。用公式表达为： =ds/ds 长度比用于表示投影过程中，某一方向上长度变化的情况。1，说明投影后长度拉长， 1，说明投影后长度拉长， 1，说明投影后长度缩短了； =1，则说明特定方向上投影后长度没有变形。 由长度比可引出长度变形的概念。所谓长度变形 V就是 （ ds-ds） 与 ds之比，即长度比与 1之差，用公式表示为 面积比和面积变形 面积比就是投影面上一微小面积 dF， 与椭球体面上相应的微小面 积 dF之比。 所谓面积变形就是 （ dF-dF） 与 dF之比，即面积比与 1 之差，以 VP表示面积变形。 角度变形 投影面上任意两方向线的夹角 与椭球体面上相应的两方向线的夹角之差 a - a， 称为角度变形。 等角投影 : 投影面上某点的任 意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零 =0（ 或 a=b， m=n） 面积变形最大。 等积投影 : 投影面与椭球面上 相应区域的面积相等，即面积变形为零 Vp=0（ 或 P=1， a=1/b） 角度 变形最大。 任意投影 : 投影图上，长度、 面积和角度都有变形，它既不等角 又不等积。其中，等距投影是在特 定方向上没有长度变形的任意投影（ m=1）。 地图投影 - 投影分类 地图投影大都按投影的变形 性质或正常位置下投影的经 纬线形状进行分类的。按投影变形的性质 ,地图投影分为： 等角投影 。因 a=b， 所以这种 投影保持小面积图形与实地 相似，或者说两个方向之间 的夹角大小投影后保持不变。等面积投影 。因 abab=, 而 实地微分圆面积 r=(因 r =1) ， 两者相等，所以投影后面 积不变。 任意投影 。凡不属 于等角投影或等面积投影都可称之为任意投影 ,其中 a或 者 b等于 1的投影称耶为等 距 离投影 。等距离投影能保持一定方向上线段的长度不变。 按正常位置下经纬线形状， 地图投影分为： 方位投影 。纬线投影为同心圆 ,经线投影 为同心圆的半径 ,两经线间的 夹角与相应的经差相等。 圆 柱投影 。纬线投影为一组平 行直线，经线投影为一组与 纬线正交的平行直线，其间 隔与相应的经差成正比。 圆 锥投影 。纬线投影为同心圆 弧，经线投影为同心圆弧的 半径，两经线间夹角与相应 的经差成正比。此外，地图 投影还有正轴、横轴和斜轴之分 ,并有切割的区别 . 几何投影 几何投影 : 将椭球面上的经纬线网投影到几何 面上，然后将几何面展为平面。 方位投影 : 以平面作投影面，使平面与球 面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。 圆柱投影 : 以圆柱面作投影面，使圆柱面 与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。 圆锥投影 : 以圆锥面作投影面，使圆锥面 与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。 非几何投影 非几何投影： 根据某些条件，用数学解析法确定球面与平面之 间点与点的函数关系。 伪方位投影：在方位投影的基础上， 根据某些条件改变经 线形状而成 ，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。 伪圆柱投影：在圆柱投影基础上， 根据某些条件改变经线 形状 而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。 伪圆锥投影：在圆锥投影基础上， 根据某些条件改变经线 形状而成 ，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。 多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿 一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线 的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。 地图投影 - 常用投影 1.高斯 -克吕格尔投影。这种投影假想有一个椭圆柱 套在地球椭球的外面，并与某一子午线相切（此子 午线叫中央子午线），椭圆柱的中心轴通过地球椭球的中心，然后用等角条件 (a=b),将中央子午线东西 两侧各一定经差范围的地区投影到椭圆柱面上，将 柱面展成平面即成。这种投影在高纬度地面精度较好，在低纬度地区精度较差。 2.斜轴等面积方位投影， 常用于 中国 全图。 3.双标准纬线等角圆锥投影 ,宜用于仅表现中国大陆 部分。 4.等差分纬线多圆锥投影，常用于世界地图。正 轴方位投影，常用于两极地图。 地图投影 - 基本方法 1.几何透视法 几何透视法是 利用 透视 的关系，将地球体 面上的 点 投影到投影面（借 助的几何面）上的一种投影 方法。如假设地球按比例缩 小成一个透明的地球仪般的 球体，在其球心或球面、球 外安置一个光源，将球面上 的经纬线投影到球外的一个 投影平面上，即将球面经纬 线转换成了平面上的经纬线。 几何透视法是一种比较原始 的投影方法，有很大的局限 性，难于纠正投影变形，精 度较低。绝大多数地图投影都采用数学解析法。 2、数学解析法 数学 解析 法是在球面与投影面之间建立点与点的 函数 关 系，通过数学的方法确定经纬线交点位置的一种投影方 法。大多数的数学解析法往往是在透视投影的基础上， 发展建立球面与投影面之间点与点的函数关系的，因此两种投影方法有一定联系。 地图投影的建立系假定有一个投影面 (平面、可展的圆 锥面或圆柱面 )与投影原面（地球椭球面）相切、相割 或多面相切 ,如图 1 所示。用某种投影条件将投影原面上的地理坐标点一一 投影到平面坐标系内，即构成某种地图投影。其实质是将地球椭球面上 地理坐标 (、 )转化为平面直角坐标 (x 、 y)。 它们之间的数学关系式为： x=f1(、 )； y=f2(、 ) 式中 f1、 f2为函数。 地图投影的选择 制图的区域的位置、形状和范围，地图的 比例尺、内容、出版方式影响了投影的种 类。比如在极地就应该是正轴方位投影， 中纬地区使用正轴圆锥投影。 制作地形图 通常使用高斯克吕格投影，制作区域图 通常使用方位投影、圆锥投影、伪圆锥投 影，制作世界地图通常使用多圆锥投影、 圆柱投影和伪圆柱投影。但通常而言，要 依据实际情况具体选择 高斯 -克吕格尔投影 地图分副