向量加、减法运算及其几何意义

大城一中高一一部数学组 向量加法、减法运算及 其几何意义 知识回顾 1. 向量与数量有何区别 ? 2. 怎样来表示向量 ? 3. 什么叫相等向量 ? 数量只有大小没有方向 ,如 :长度 ,质量 ,面积等 向量既有大小又有方向 ,如位移 ,速度 ,力等 1)用有向线段来表示 A B 2） 用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终 点字母表示 . 如 a AB, 长度相等 ,方向相同的向量相等 . (正因为如此 ,我们研究的向量是 与起点无关 的 自由向量 ,即任何向 量可以在不改变它的大小和方向的前提下 ,移到任何位置 .) 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由 . (1)两个有共同起点的相等向量 ,其终点可能不同 . ( ) (2) ( ) (3)若非零向量 共线 ,则 ( ) (4)四边形 ABCD是平行四边形 ,则 = ( ) (5)向量 平行 ,则 的方向相同或相反 ( ) ab与 ab= DC ab与 ab与 (6)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。 ( ) 则若 a = b , b = c , a = c ; AB X X X X 上海 香港 台北 引入 1： 上海 香港 台北 O A B O A B OA+AB=OB 向量加法的三角形法则： a b ba a b C A B , , , , a b A A B a B C b A C a b a b a b A B B C A C 、 内 点 ， 则 与 ，记 则 这 称为 已知非零向量 在平面 任取一 作 向量 叫做 的和 作 即 种求向量和 向量加法的三角方法， 形法的。 首 尾 连 首 尾 相 接 例 1.如图，已知向量 ，求作向量 。 ,ab ab a b 则 OB a b O A Ba ba 三角形法则 作法 1：在平面内任取一点 O， 作 ， ， OA a AB b b 例题讲解： 尝试练习一： AC A B C D E _A B B C _B C CD _A B B C CD BD AD （ 1）根据图示填空： _AB BC C D D E AE 思考 1：如图，当在数轴上两个向量 共线 时，加法的 三角形 法 则 是否还适用？如何作出两个向量的和？ a b a b （ 1） （ 2） | | | | | |a b a b a b 若 ， 方 向 相 同 ， 则 A B C B C A ab ab 00a a a 规 定 ： | | | | | | | | | |a b a b a b b a 若 ， 方 向 相 反 ， 则 （ 或 ） 当向量 不共线时，和向量的长度 与向量 的长度和 之间的大小关系如何？ ab、 |ab ab、 | | | |ab a bab 三角形的两边之和大于第三边 | | | | | |a b a b a b 当 向 量 、 不 共 线 时 有 综合以上探究我们可得结论： | | | | | |a b a b 图 1表示橡皮条在两个力 F1和 F2的作用下，沿 MC方向 伸长了 EO；图 2表示橡皮条在一个力 F的作用下，沿相同 方向伸长了相同长度 EO。从力学的观点分析，力 F与 F1、 F2之间的关系如何？ M C E O F1 F2 图 1 M E O F 图 2 F=F1+F2 F2 F1 F 引入 2： O A B C a b ba , O a b O A CB O O C a a bb a b O A O B O C 点 为 点 两个 为邻边 则 为 点 对 线 与 这 平行四边 则称为 以同一 起 的 已知向量 、 作 , 以 起 的 角 就是 的和 即 向量加法的种求向量和的方法， 形法 。 起 点 相 同 向量加法的平行四边形法则： O A B C a b ba 起 点 相 同 向量加法的平行四边形法则： 文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作 平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对 应向量就是和向量。 例 1.如图，已知向量 ，求作向量 。 ,ab ab a b O 例题讲解： 作法 2：在平面内任取一点 O， 作 ， ， OA a OB b OA OB、以 为邻边作 OACB ， .O C O A O B a b 连结 OC，则 a b ba B C A 平行四边形法则 尝试练习二： (3)已知向量 ，用向量加法的 三角形法则 和 平行四边形 法则作出 ab、 ab a bb a 思考 2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意 ， 有 ,a b R ,a b b a ( ) ( ) .a b c a b c 那么对任意向量 的加法是否也满足交换律和结合律？ 请画图进行探索。 ,ab O A B C a b ba a b ba a b c cb cba A C D a b b a ( ) ( ) .a b c a b c 例 2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸 A点出发，以 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东 2km/h. （ 1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （ 2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。 23 A D B C , AD AB AD AB AB C D AC 图 ， ， ， 、 为邻边 则 实际 . 解： （1） 如 所示 表示船速 表示水速 以 作 表示 船 航行的速度 例 2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸 A点出发，以 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东 2km/h. （ 1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （ 2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。 23 ( 2 ) | | 2 , | | 2 3R t A B C A B B C解： 在 中， 22 22 | | | | | | 2 ( 2 3 ) 4 A C A B B C 23t a n 3 2C AB 60 .C AB 答：船实际航行速度为 4km/h,方向与水的流速间的夹角为 60。 A D B C 2.2 平面向量线性运算 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 探 究 向量是否有减法 ? 如何理解向量的减法 ? 我们知道 ,减去一个数等于加上这个数的相反 数，如 :5-1=5+(-1) 向量的减法是否也有类似的法则： 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量？ 一、相反向量 a定义：与 长度相等，方向相反的向量，叫做 的相反向量 ，记作： a a 结论： 00 a 0 b a 0 a a 在计算中常用,BAAB （ 1） )( a （ 2）零向量的相反向量仍是零向量 , aaaa )()()3( （ 4）如果是 互为相反的向量，那么 baba , a b 二、向量减法： 定义： )( baba 即：减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量。 把 也叫做 与 的差。 与 的差 也是 一个向量 。 ba a b a b 三、向量减法的作图方法： 呢？如何作出 根据减法的定义，已知 ba ba , a b )( baba , , ,ab ab 已 知 根 据 减 法 的 定 义 如 何 作 出 呢 ？ a b aO A b B D C b ()ab ()ab 三、几何意义： 可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量 bab a （ 1）如果从 的终点指向 终点作向量，所得向量是什么呢？ a b 注意： （ 1） 起点必须相同 。（ 2）指向 被减向量 的终点。 ba 一般地 a b B ab b A O （ 三 角 形 法 则 ） a 练习： ( 1 ) AB AD ( 3 ) BC BA ( 2) BA BC ( 4 ) O D O A ( 5 ) OA OB DB CA AC AD BA “共起点，连终点，指向被减向量” a b a b、 线 则应 样 ：若向量 共 ， 怎 作出 呢？思考 a b a b （ 1） （ 2） O A B A B O ab ab | | | | | | | | | | | | | | | | a b a b a b a b a b a b b a 若 ， 方 向 相 反 ， 若 ， 方 向 相 同 ， （ 或 ） | | | | | |a b a b a b 若 ， 不 共 线 ， 则 | | | | | | | | | |任 意 向 量 ， ， 有 |a b a b a b a b | | | | | | | | | | 任 意 向 量 ， ， 有 | ab a b a b a b | | | | | | | | | |任 意 向 量 ， ， 有 |a b a b a b a b | | | | | | | | | |任 意 向 量 ， ， 有 |a b a b a b a b 已知向量 ，求作向量 ， 。 ab 例 3 , , ,a b c d cd a b c d O B A C D a b d c 作法： 在平面内任取一点 O， ,OA a ,OB b ,OC c ,OD d 则 B A a b D C c d 作 注意： 起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。 ab cd 练习： a b 已知向量 ，求作向量 。 ab ,ab （ 1） （ 2） a b （ 3） （ 4） a b b a ab ab ab ab 例 4 在 ABCD 中， ,AB a ,AD b 你能用 表示 吗？ ,AC DB D B A C a b A C a b D B a b ,ab 变式一 本例中，当 满足什么条件时， 与 互相垂直？ ,abab ab ab 变式二 本例中，当 满足什么条件时， ,ab ?a b a b ab与 互 相 垂 直 变式训练三： a +b与 a b可能是相等向量吗？ _ _ 不可能 .因为平行四边形的两条对角线方向不同 . , , A B C D A B a D A b O C c b c a O A 如 图 平 行 四 边 形例 4 ： 证 明 ： A B CD a b c O OABAOBABOBacb OBCBOCOCDAcb 证明： 练习 :2 CDBDACAB 化简)1( :0C B B D C D C D C D 解 原 式 COBOOCOA 化简)2( : ( ) ( ) ( ) 0 OA BO OC C O OA OB BA 解 原 式 3、判断下列命题是否正确，若不正确，说明理由 01 BAAB、 OBOAAB 、2 3、相反向量就是方向相反的量 4、若 ，则 A、 B、 C 三点是一个三角形的定点 0 CABCAB aa 05 、 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 6、两个向量是互为相反向量，则两个向量共线 （ ） 练习 1化简： )()( BDACCDAB 0 )()( DAAD CADCBDAB BDCADCAB BDACCDAB原式 练习 ._ _ _ _ _BC,5AC,8AB 的取值范围是则若 13BC3 ABACABACABAC ,ABACBC 解： , , 1 2 0 | | | | 3 | | | | oA B a A D b D A B a b a b a b 如 图 已 知 向 量练 习 3: ， ， 且 ， 求 和 120o ab A D B C O |ba|DB|ba|AC| baDBbaAC 3|AB|AD| A B C DADAB ，故 ， 由向量的加减法知 ，故此四边形为菱形由于 ，为邻边作平行四边形、解：以 120o ab A D B C O 3 3 3 | | | | si n 60 3 22 o AO D OD AD 由 于 菱 形 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 , 所 以 是 直 角 三 角 形 ， 33|ba|3|ba| ，所以 3|AC|A D C 60D A C120D A B OO 是正三角形，则所以 ，所以因为 (一 )知识 1理解相反向量的概念 2. 理解向量减法的定义， 3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则 小结 : (二 )重点 重点：向量减法的定义、向量减法的三角形法则