同济高数第十章第二节

2021/1/25 1 复习： 若数列递增有上界，则数列收敛，即单调有界数列必有极限。 1. 由定义 , 若 ss n , 则级数收敛 ; 2. 当 0l i m nn u , 则级数发散 ; 常数项级数的基本概念 : 正项级数、交错级数、任意项级数 基本审敛法 2021/1/25 2 第二节 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 （任意项级数 ） 2021/1/25 3 一、正项级数及其审敛法 定义 : 1 0nn n uu 如 果 级 数 中 各 项 均 有 ， 这种级数称为正项级数 . nsss 21 正项级数收敛的充要条件 定理 1 部分和数列 为单调增加数列 . ns 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界 2021/1/25 4 定理 2(比较审敛法 ) 设 1n n u 和 1n n v 都是正项级数 且 u n v n ( n 1 2 ) 若 1n n v 收敛 则 1n n u 收敛 若 1n n u 发散 则 1n n v 发散 证明 nn uuus 21且 1 (1 ) n n v 设 ,nn vu , 即部分和数列有界 . 1 收敛 n nu nvvv 21 nn s则 ( 2) ( )nsn 设 ,nn vu 且 不是有界数列 . 1 发散 n nv定理证毕 . 比较审敛法的不便 : 须有参考级数 . 2021/1/25 5 设 1n n u 和 1n n v 都是正项级数 且 u n kv n ( k 0 n N ) 若 1n n v 收敛 则 1n n u 收敛 若 1n n u 发散 则 1n n v 发散 推论 2021/1/25 6 例 1 讨论 P- 级数 pppp n 1 4 1 3 1 2 1 1 的收敛性 . )0( p 解 1,p 当 时 ,11 nn p .级数发散则 P 1,p 当 时 o y x )1(1 pxy p 1 2 3 4 由图可知 nn pp xdxn 11 pppn ns 1 3 1 2 11 nn pp xdxxdx 1211 2021/1/25 7 n pxdx11 )11(111 1 pnp 111 p ,ns即 有 界 .级数收敛则 P 发散时当 收敛时当级数 ,1 ,1 p pP 重要参考级数 : 几何级数 , P-级数 , 调和级数 . 离散问题连续化： lnl i m ? n n n 2021/1/25 8 例 2 证明级数 1 )1( 1 n nn 是发散的 . 证明 ,11)1( 1 nnn ,11 1 n n 发散而级数 .)1( 1 1 n nn 发散级数 11 11, 2 2 1nnnnn 练 习 ： 2021/1/25 9 定理 3 （比较审敛法的极限形式） 设 1 n n u 与 1 n n v 都是 正项 级 数 , 如果 则 (1) 当 时 , 二级数有相同的敛散性 ; (2) 当 时，若 收敛 , 则 收敛 ; (3) 当 时 , 若 1 n n v 发散 , 则 1 n n u 发散 ; ,lim lvu n n n l0 0l l 1n nv 1n nu 2021/1/25 10 证明 lv u n n n lim)1( 由 ,02 l对于 ,N ,时当 Nn 22 ll v ull n n )(232 Nnvluvl nnn 即 由比较审敛法的推论 , 得证 . ( 2) ( 3)与 的 证 明 类 似 . 3.例 判 别 下 列 正 项 级 数 的 收 敛 性 11 1( 1 ) ( 2 ) t an 2 nnn n n 2021/1/25 11 设 1n nu 为正项级数 , （ 1 ）如果 0lim lnu n n ( 或 lim n n nu ), 则级数 1n n u 发散 ; （ 2 ）如果有 1p , 使得 n p n un l i m 存在 , 则级数 1n n u 收敛 . 定理 4 （极限审敛法） 2021/1/25 12 例 4 判定下列级数的敛散性 : (1) 1 1 s i n n n ; (2) 1 3 1 n n n ; 解 )1( n n n n 3 1 3 1 lim n n n 1 1 s in lim ,1 原级数发散 . )2( nnn 1s inli m n n n 3 1 1 lim ,1 ,31 1 收敛 n n 故原级数收敛 . 2021/1/25 13 收敛 当 1(或 )时级数发散 当 1时级数可能收敛 也可能发散 设 1n n u 为正项级数 如果 n n n u u 1l i m 则当 1 时级数 定理 5(比值审敛法或 达朗贝尔判别法 ) 证明 ,为有限数时当 ,0对 ,N ,时当 Nn ,1 n n u u有 )(1 Nnuu n n 即 2021/1/25 14 ,1时当 ,1时当 ,1 取 ,1r使 ,11 NmmN uru ,12 NN ruu ,1223 NNN urruu , , 1 1 1 m N m ur 收敛而级数 , 11 收敛 Nn n m mN uu 收敛 ,1 取 ,1 r使 ,时当 Nn ,1 nnn uruu .0lim nn u 发散 2021/1/25 15 比值审敛法的优点 : 不必找参考级数 . 两点注意 : 1. 当 1 时比值审敛法失效 ; ,1 1 发散级数例 n n ,1 1 2 收敛级数 n n )1( 2021/1/25 16 ,2 32 )1(2 nnn n n vu 例 ,2 )1(2 11 收敛级数 n n n n nu ,)1(2(2 )1(2 1 1 nn n n n a u u 但 , 6 1li m 2 nn a ,23lim 12 nn a .l i ml i m 1 不存在n nn n n auu 2. 条件是充分的 , 而非必要 . 2021/1/25 17 例 5 判别下列级数的收敛性 : (1) 1 ! 1 n n ; (2) 1 10 ! n n n ; (3) 1 2)12( 1 n nn . 解 )1( 1 1 ( 1 ) ! li m li m 1 ! n nn n u n u n 1li m 0 1 1n n .!1 1 收敛故级数 n n 2021/1/25 18 )2( 1 1( 1 ) ! 10li m li m 10 ! n n nnn n u n un 1lim 10n n .10 ! 1 发散故级数 n n n )3( )22()12( 2)12(limlim 1 nn nn u u nn n n ,1 比值审敛法失效 , 改用比较审敛法 ,12)12( 1 2nnn , 1 2 收敛级数 n .)12(2 1 1 收敛故级数 n nn 2021/1/25 19 定理 6 （ 根值审敛法 或 柯西判别法 ) 设 1n nu 是正项级数 , 如果 n n n ulim )( 为数或 , 则 1 时级数收敛 ; ,1 , 1 n nn设级数例如 n nn n nu 1 n 1 )(0 n 级数收敛 . 1 时级数发散 ; 1 时失效 . 2021/1/25 20 01lim 1lim lim nnu nn nnn nn 所以 根据根值审敛法可知所给级数收敛 因为 解 01lim 1lim lim nnu nn nnn nn 01lim 1lim lim nnu nn nnn nn 例 6 判别下列正项级数的敛散性 1 1 n n n 1） 1） 2） 1 2 ( 1 ) 2 n n n 2 1)1(2 2 1limlim n n n n n n u 2 1)1(2 2 1limlim n n n n n n u 2 1)1(2 2 1limlim n n n n n n u 2） 因为 所以 根据根值审敛法可知所给级数收敛 2021/1/25 21 二、交错级数及其审敛法 交错级数的一般形式为 1 1)1( n n n u 其中 0nu 定理 7(莱布尼茨定理 ) 如果交错级数 1 1)1( n n n u 满足条件 (1)unun1(n1 2 3 ) ( 2 ) 0lim nn u 则级数收敛 且其和 0 su1 其余项 rn的绝对值 |rn|un1 定义 : 正、负项相间的级数称为交错级数 . 2021/1/25 22 证明 nnnn uuuuuus 212223212 )()( 又 )()()( 21243212 nnn uuuuuus 1u ,01 nn uu .lim 12 uss nn ,0l i m 12 nn u ,2 是单调增加的数列 ns ,2 是有界的数列 ns 2021/1/25 23 )(l i ml i m 12212 nnnnn uss,s 1,.s s u 级 数 收 敛 于 和 且 0 ),( 21 nnn uur余项 ,21 nnn uur 满足收敛的两个条件 , .1 nn ur 定理证毕 . 2021/1/25 24 例 7 判别级数 2 1 )1( n n n n 的收敛性 . 解 2)1(2 )1() 1( xx x x x )2(0 x ,1 单调递减故函数 x x ,1 nn uu 1l i ml i m n nu nnn 又 .0 原级数收敛 . 2021/1/25 25 三、绝对收敛与条件收敛 定理 若 1n nu 收敛 , 则 1n nu 收敛 . 证明 ),2,1()(21 nuuv nnn令 ,0nv显然 ,nn uv 且 , 1 收敛 n nv ),2( 11 n nn n n uvu又 1n nu 收敛 . 上定理的作用： 任意项级数 正项级数 2021/1/25 26 若 1 n n u 发散 , 而 1 n n u 收敛 , 则称 1 n n u 为条件收敛 . 定义 : 若 0 n n u 收敛 , 则称 1 n n u 为绝对收敛 ; 2021/1/25 27 例 8 判别级数 1 2 s i n n n n 的收敛性 . 解 , 1s in 22 nn n ,1 1 2 收敛而 n ,s i n 1 2 n n n 收敛 故由定理知原级数绝对收敛 . 2021/1/25 28 5 ( )定 理 比 值 审 敛 法 1lim ( )nn n u u 如 果 为 数 或 则 1 ( 1 ) 1 , ;n n u 当 时 级 数 绝 对 收 敛 1 ( 2 ) 1 ( ) , ;n n u 当 或 为 时 级 数 发 散 1 ( 3 ) 1 , ;n n u 当 时 级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 ()定 理 6 根 值 审 敛 法 、 柯 西 判 别 法 ( ) , 为 数 或 则 lim n nn u 如 果 1 ( 1 ) 1 , ;n n u 当 时 级 数 绝 对 收 敛 1 ( 2 ) 1 ( ) , ;n n u 当 或 为 时 级 数 发 散 1 ( 3 ) 1 , ;n n u 当 时 级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 2021/1/25 29 小结 正 项 级 数 任意项级数 审 敛 法 1. 2. 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理 ) 3.按基本性质 ; ;, 则级数收敛若 SS n ;,0, 则级数发散当 nun 2021/1/25 30 思考题 设正项级数 1n n u 收敛 , 能否推得 1 2 n n u 收敛 ? 反之是否成立 ? 2021/1/25 31 思考题解答 由正项级数 1n nu 收敛，可以推得 1 2 n nu 收敛 , n n n u u 2lim nn u lim 0 由比较审敛法知 收敛 . 反之不成立 . 例如： 收敛 , 发散 .