交错级数及其审敛法

一、交错级数及其审敛法 1 11 ( 1 ) ( 1 ) nnnn nn uu 或 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件 : 1( 1 ) ( 1 , 2 , 3 , ); ( 2 ) l i m 0n n nnu u n u ( 0 )nu 其 中 定义 :如果在任意项级数 中， 正负号相间 出 现，这样的任意项级数就叫做 交错级数 它的一 般形式为： 1 n n u 9.3 任意项级数 1 1 1 ( 1 ) S n n n uu 则 级 数 收 敛 ， 且 其 和 例 1 判定级数 的敛散性 . 1 1 1( 1 ) n n n 解 这是一个交错级数 ,且 1 1 1 1( 1 ) , ,1 n n nu u un n n 且 1( 2 ) l i m l i m 0 , nnnu n 由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛 . 例 2 判定级数 的敛散性 . 1 1 ( 1 ) 2n n n n 解 这也是一个交错级数 ,且 1 1 1( 1 ) , , 22nnnnuu 则 ( 2 ) l im l im 0 ,2n nnn nu 由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛 . 1 11 0 , ( 1 , 2 , 3 , ) ,2 2 2nn n n n n n nu u n 如何比较大小？ 为什么？ 二、绝对收敛与条件收敛 1、定义 : 正项和负项任意出现的级数称为 任意项级 数 . 定义： 对于 级数，若 收敛，则称级数 绝对收敛 ；如果 发散，但本身 收敛，则称 级数 条件收敛 1 n n u 1 nn u 1 n n u 1 n n u 绝对收敛 、 条件收敛 与 收敛 之间有着什么样的关系呢？ 证明 1 ( ) ( 1 , 2 , ) , 2n n nv u u n 令 1 ,n n v 收 敛 11 ( 2 ) ,n n n nn u v u 又 1 1 1 n n n n n n u u u 若 收 敛 ， 则 绝 对 收 敛 . 级 数 收 敛 , 若 发 散 ， 则 条 件 收 敛 . 结 论 ： 0,nv 显 然 nnvu且 ， 1n u 收 敛 . 11 , .nn nn uu 若 收 敛 则定 2 收 敛理 例 3 判别级数 2 1 sin n n n 的收敛性 . 解 22 sin 1 ,n nn 21 1 , n n 而 收 敛 2 1 si n , n n n 收 敛 故由定理知原级数绝对收敛 . 为什么？ 例 4 判定 级数的敛散性 . 1 ( 1 ) ( 0 )nn n x x n 解 1lim n n n u u 1 ( 1 ) 0 1 n n xu 时 ， 收 敛 ， 即 绝 对 收 敛 ， 从 而 收 敛 . ( 1 ) ,nn xu n记 则 l i m 1 n xn x n 由达朗贝尔比值判别法知， 1 1( 2 ) 1 ( 1 ) n n x n 时 ， 级 数 为 , 易 见 级 数 是 条 件 收 敛 ； 1 ( 3 ) 1 ( 1 ) n n n xx n 时 ， 级 数 为 , 级 数 是 发 散 的 ； NOTE： 当我们运用 达朗贝尔比值判别法 或 柯西根值 判别法，判断出 正项级数 发散 ， 1 n n u 可以断言， 也一定 发散 . 1 n n u 1l i m 1 , ( l i m 1 ) ,n n nnn n u u u 事 实 上 ， l i m l i mnnnnuu 0 , 从 而 0 , 1 n n u 必 发 散 . 三、小结 正 项 级 数 任意项级数 审 敛 法 1. 2. 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理 ) 3.按基本性质 ; n若 S S, 则 级 数 收 敛 ; 1 l i m 0 , .nnn n uu 若 则 级 数 发 散