二维随机变量及其联合分布

3.1 二维随机变量及其联合分布 一、二维随机变量的概念 在射击时，弹着点是目标上的一个位 置，它与横坐标和纵坐标有关，弹着点受 两个变量的影响 . 在工程结构设计中，出于 可靠性的考虑，需要考察构件的抗拉力与 荷载效应，可靠性也受着两个变量的影 响 与一维随机变量类似，一般地我们可 定义二维随机变量如下： 定义 3.1 设是一个随机试验， 和 是定义在其样本空间 上的随机变量， ，由它们构成的向量 称为定义在样 本空间 上的 二维随机变量 或 二维随机向 量 ，简记为 、 依次称为二 维随机变量 的第 1个分量（或坐标）、 第二个分量（或坐标） 一般地，设是一个随机试验， 是定义在其样本空间 上 n维随机变量 或 n 维随机向量 ，简记为 ， 称为第 个分量（或坐标）， . )(XX )(YY )(),( YX YX , nXXX , 21 nXXX , 21 )(ii XX i ni ,2,1 )(X )(Y YX , 二、二维随机变量的联合分布 在研究随机向量的概率特征时，除每 个随机变量的概率特征外，还要研究它们 的联合概率特征：后者可以完全决定前者， 但是前者一般不能完全决定后者因此， 只研究单个随机变量的分布是不够的，还 必须研究随机向量作为一个整体的联合分 布 对于二维随机变量， 作为整体的 分布称为二维随机变量 的 联合分布 YX, YX, （ Joint Distribution）与一维情形类似，为 了研究二维随机变量的联合分布，我们引 入二维随机变量的分布函数的概念 定义 3.2 设 是定义在样本空间 上 的二维随机变量，对于任意的实数 ， 称函数 （ 3 1） 为二维随机变量 的 联合分布函 数 （ Joint Distribution Function），简称 的 分布函数 )(),( YX yx, ,:),( yYxXPyxF )(),( YX ),( YX 以后 , 将（ 3 1）中的表达式简记为 显然，分布函数 在 平面上任意点 处的函数值就是随机 点 落在点 左下方的整个无穷区域内 的概率，如图 3.1所示 ,),( yYxXPyxF ),( yxF ),( yx ),( YX ),( yx o 图 3.1 y ）（ yx, x 联合分布函数具有下列性质 由定义 3.2和图 3.2易知， 对任意的 （ ），有 1. （ 3 2） 从而 , 0 （ 3 3） 2121 , yyxx 2121 , yyxx ),(),( , 12222121 yxFyxFyYyxXxP ),(),( 1121 yxFyxF ),(),(),(),( 11211222 yxFyxFyxFyxF （ x2， y2） （ x1， y2） （ x2， y1） （ x1， y1） 图 3.2 o 2. 是和的单调非降函数；（证略） 3. 对于平面上的任意点 ， ； 且对任意固定的 ， ， 对任意固定的 ， ， , （ 3 4） 这可借助于几何直观进行说明 4. 关于 和 均右连续，即 , ),( yx 1),(0 yxF y 0),( yF x 0),( xF 0),( F 1),( F ),( yxF x y ),0(),( yxFyxF )0,(),( yxFyxF 三、 二维离散型随机变量及其联合分布律 与一维随机变量的情形类似，我们这 里讨论的也是离散型和连续型这两种类型 的二维随机变量 定义 3.3 若二维随机变量 的所有可能取 值只有有限或可列无限个，则称 为 二 维离散型随机变量 显然，若 是二维离散型随机变量， 则其分量 和 都是一维离散型随机变量 . 通常 , 我们用联合概率分布律（列） ),( YX ),( YX ),( YX X Y 定义 3.4 设 是二维离散型随机变量，它 所有可能的取值为 , ， 则称 （ 3 5） 为 的 联合分布律（列） 或 联合概率分布 (Joint Probability Distribution)，简称 分布 律 分布律一般用表格形式表示 : （ 3 6） ),( YX ),( ji yx ,2,1, ji ,2,1, jipyYxXP jiji ),( YX X jyyy 21 1x jppp 11211 2x jppp 22221 ix jiii ppp 21 显然，二维离散型随机变量的分布列 满足： 1. （非负性） 2. （规范性） （ 3 7） 其 联合分布函数 为 （ 3 8） 0jip ji jip , 1 yy xx ji j i pyYxXPyxF ,),( 四、二维连续型随机变量及联合概率密 度函数 与一维情形类似，我们有如下定义： 1. 定义 3.5 设二维随机变量 的分布函 数 为，若存在非负可积函数， 使得对于任意实数 和 ，有 （ 3 9） 则称 为 二维连续型随机变量 ， 称 为 的 联合概率密度函数 （ Joint Probability Density Function）， ),( YX ),( yxF ),( yxf x y y x yxyxfyxF dd),(),( ),( YX ),( yxf ),( YX 简称的 概率密度 类似地，的联合概率密度函数具有性质（证 略）： （ 1） （非负性） ； （ 2） （规范性） ；（ 3 10） （ 3） 对于平面上任意可积的区域 有 ；（ 3 11） （ 4） 若除可数点外 的二阶混合偏导 数处处连续 ,则 0),( yxf 1dd),( yxyxf Dyx yxyxfDYXP , dd,),( ,D ),( yxF (3-12) 是 的一个联合概率密度函数 由性质（ 3）知：在几何上 ，表示 空间的一个曲面， 的值等于以 为底、以曲面 为顶的曲顶柱体的体 积 设 是平面上的某个区域，其面积为 ，若 (X,Y) 的概率密度函数 （ 3 13） yx, 22( , ) ( , ) ( , ) F x y F x yf x y x y x y 在 的 连 续 点 处 0f x y ， 其 他 yxfz , ),( DYXP D yxfz , D S ),( YX 其它0 ),( 1 ),( Dyx Syxf 则称 服从区域 上的 均匀分布 ，记为 若的概率密度函数为 其中 均为常数， ，则称 服从参数为（ ）的 二 维正态分布 ，记为 )()(2)()1(2 1e x p12 1),( 2 2 2 2 21 21 2 1 2 1 22 21 yyxxyxf ),( YX D )(),( DUYX , 2121 221 ),(,1,0,0 Ryx ),( YX ,1 ,2 , 2221 ),(),( 222121 NYX