义务教育课程标准实验教科书北师大版九年级上册

义务教育课程标准实验教科书 北师大版 九年级 上册 第三章 证明（三） 达川区中小学教研室 向 荣 一个角是 直角 两组对边 分别平行 平行 四边形 矩形 情 景 创 设 我们已经知道平行四边形是特殊的 四边形，因此平行四边形除具有四 边形的性质外，还有它的特殊性质， 同样对于平行四边形来说也有特殊 情况即特殊的平行四边形，那么这 堂课我们就来研究一种特殊的平行 四边形 矩形 有一个角是 直角 的 平行四边形 是矩形 矩形的定义： 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形 探索矩形的性质 具 备 平行四 边 形所有的性 质 A B C D O 角 边 对角线 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 矩形的一般性质 ： 矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行 四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？ 猜想 1： 矩形的四个角都是直角 猜想 2： 矩形的对角线相等 A B C D 求证：矩形的四个角都是直角 求证 :矩形的对角线相等 . 已知：如图，四边形 ABCD是平行四边形， A=90 求证： A=B=C=D=90 A B C D 四边形 ABCD是平行四边形 A=90 B=D =90 A=C =90 B = D 又 A +B = 180 A=B=C=D=90 证明： 已知：如图 ,四边形 ABCD是矩形 求证： AC = BD A B C D 证明：在矩形 ABCD中 ABC = DCB = 90 又 AB = DC ， BC = CB ABC DCB AC = BD 矩形的性质 矩形特殊的性质 定理：矩形的四个角都是直角 定理：矩形的两条对角线相等 从角上看： 从对角线上看： A B C D E 如图，设矩形的对角线 AC与 BD相交 于点 E，那么 BE是 Rt ABC中的一条怎样 的 特殊线段 ？它与 AC有什么大小关系？ 为什么？ 推论： 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 BE是 Rt ABC中斜边 AC上的中线 . BE等于 AC的一半 . 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 已知 :CD是 Rt ABC的斜边 AB上的中线 求证 : A B C D E 证明 :延长 CD到 E使得 CD=DE,连接 AE,BE 又 AD=BD 四边形 ACBE是平行四边形 . 又 ACB=900 四边形 ACBE是矩形 . AB=CE ABCD 21 ABCECD 2121 直角三角形的判定 定理 :如果一个三角形一边上的中线等于这边的 一半 ,那么这个三角形是直角三角形 . 求证 : ABC是直角三角形 A B C D 我思 ,我进步 已知 :CD是 ABC边 AB上的中线 ,且 ABCD 2 1 (1)若 BD=3 则 AC (2) 若 C=30 ， AB 5 ，则 AC ， BD . 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) B.对边相等 A.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 C 营中热身 D C B A 2.已知 ABC是直角三角形， ABC=900， BD是 斜边 AC上的中线 6 5 10 矩形性质的应用 例题欣赏 例 1.已知 :如图 ,AC,BD是矩形 ABCD的两条对角 线 ,AC,BD相交于点 O,AOD=120 0,AB=2.5cm. 求矩形对角线的长 . 解 : 四边形 ABCD是矩形 , BD=2AB=2 2.5=5(cm). DAB =900, D B C A O AOD=120 0, 你认为例 1还可以 怎么去解？ AC=BD,且 ACOCOA 21 BDODOB 21 .ODOA ODA=OAD= .302 1 2 01 8 0 0 00 矩形的判定 定理 :有三个角是直角的四边形是矩形 . 已知 :如图 ,在四边形 ABCD中 , A=B=C=90 0. 证明 : A=B=C=90 0, A+B=180 0,B+C=180 0. ADBC,ABCD. 求证 :四边形 ABCD是矩形 . 四边形 ABCD是平行四边形 . D B C A 四边形 ABCD是矩形 . 定理 :对角线相等的平行四边形是矩形 . 已知 :如图 ,在 ABCD中 ,对角线 AC=BD. 求证 :四边形 ABCD是矩形 . 证明 : AB=CD,ABCD. AC=DB,BC=CB, ABC DCB. ABC=DCB. 四边形 ABCD是平行四边形 . ABC+DCB=180 0. ABC=90 0. 四边形 ABCD是矩形 . D B C A 例 2.如图 ， E为 ABCD外一点 ,连接 AC、 BD相交于点 O， 且 AE EC, BE ED.试说明 ： ABCD是矩形 . A B C D E O 例题欣赏 证明： 连接 OE 四边形 ABCD是平行四边形 O是 AC、 BD的中点 平行 四边形 ABCD为矩形 (对角线相等的平行四边形是矩形 ) AC=BD EDBEECAE ，又 中，和在 B E DRAECR tt BDOEACOE 21,21 矩形判定的应用 矩形的性质 ,推论 定理 :矩形的四个角都是直角 . 定理 :矩形的两条对角线相等 . 推论 (直角三角形性质 ):直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 . 回顾 思考 矩形的判定 ,直角三角形的判定 定理 :有三个角是直角的四边形是矩形 . 定理 :对角线相等的平行四边形是矩形 . 定理 :如果一个三角形一边上的中线等于这边 的一半 ,那么这个三角形是直角三角形 . 作业布置 : P97 习题 3.4 第 1题，第 3题 P108 第 13题 严格性之于数学家 ,犹如道德之于人 . 条理清晰，因果相应 ,言必有据 .是初学 证明者谨记和遵循的原则 .