资源描述
2 . 9 变上限定积分 一、变上限定积分 三、积分上限函数及其导数 二、积分中值定理 积分上限的函数 积分上限的函数的导数 一、变上限定积分 设函数 f(x)在区间 a, b上连续，并且设 x为 a, b上的一点 考察函数 f(x)在部分区间 a, x上的定积分 此定积分是区间 a, b上的函数， 称为变上限定积分，记为 dxxfxa )( ( x ) dxxfxa )( 为避免混淆 ,积分变量和积分上限用不同字母 ,变上限定积分记为 ( ) ( ) , .xax f t d t x a b M 证明 因为 m f (x) M ，所以 从而 M (ba) m y=f (x) f (x) dx ba m(ba) O x y a b 引理 设 M 及 m 分别是函数 f(x)在外 a， b上的最大值及最 小值，则 m ( b a ) ba f ( x ) dx M ( b a ) ( a b ) ba m d x ba f ( x ) dx ba M dx ， m ( b a ) ba f ( x ) dx M ( b a ) ( a b ) 二、积分中值定理 ： 定理 1 (积分中值定理 ) 如果函数 f(x)在闭区间 a, b上连 续， 则在积分区间 a, b上至少存在一个点 x ， 使下式成立： ba f (x)dx f (x )(ba) -积分中值公式 y=f (x) O x y a b f (x) f (x) dx ba =f (x)(ba) 证明 由引理 ， 各项除以 ba , 得 再由连续函数的介值定理 , 在 a, b上至少存在一点 x , 使 于是两端乘以 b a 即得积分中值公式 m ( b a ) ba f ( x ) dx M ( b a ) ( a b ) ， m ab 1 ba f ( x ) dx M ， f ( x ) ab 1 ba f ( x ) dx ， 积分中值定理： 定理 1 (积分中值定理 ) 如果函数 f(x)在闭区间 a, b上连 续， 则在积分区间 a, b上至少存在一个点 x ， 使下式成立： ba f (x)dx f (x )(ba) -积分中值公式 定理 2 如果函数 f(x)在区间 a, b上连续 , 则其变上限积分 在 a, b上具有导数 , 并且它的导数是 (x) f(x) (a x 0，则同理可证 (a+0)f(a)； 若 xb ，取 Dx0)上 f(t)0， (xt)f(t)0且 (xt)f(t)不恒为零 ， 所以 从而 F(x)0(x0)，这就证明了 F(x) 在 (0, )内为单调增加函数 证明 dxd dtttfx )(0 x f ( x ) ， dxd dttfx )(0 f ( x ) 证明 dxd dtttfx )(0 x f ( x ) ， dxd tfx )(0 f ( x ) 2 0 0 0 )( )()()()( x x x dttf dtttfxfdttfxxf 2 0 0 )( )()()( x x dttf dttftxxf 2 0 0 0 )( )()()()( x x x dttf dtttfxfdttfxxf 2 0 0 )( )()()( x x dttf dttftxxf dttfx )(0 0 ， dttftxx )()(0 0 ， 例 6 f ( x ) 在 0, ) 内连续且 f ( x ) 0 证明函数 F ( x ) x x dttf dtttf 0 0 )( )( 例 4 例 5 设 )( xf 在 1,0 上连续，且 1)( xf .证明 1)(2 0 dttfx x 在 1,0 上只有一个解 . 证 ,1)(2)( 0 dttfxxF x ( ) 2 ( ) 0 ,F x f x 故( ) 1,fx 由 于 )( xF 在 1,0 上为单调增加函数 . ,01)0( F 10 )(1)1( dttfF 10 )(1 dttf ,0 所以 0)( xF 即原方程在 1,0 上只有一个解 . 令 作业 习题 2.7 1(1)(4),5,6
展开阅读全文