动力学专题4-质点的运动微分方程.ppt

1 动力学专题 质点的运动微分方程 山西农业大学工学院 2 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 第 17章（ 4） 质点的运动微分方程 4-2 质点的运动微分方程 4-1 动力学基本定律 3 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 引 言 2. 力学模型： 1. 动力学的研究内容：研究物体的机械运动与它的 质量和受力情况之间的关系。 (1) 质点 ：具有一定质量 ，而其形状和大小对所 研究的问题不起主要作用，可以忽略 不计的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 质点； 刚体作 移动 时 ,刚体 质点。 4 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 (2) 质点系 ：由有限或无限个有着一定联系的质点 组成的系统。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约 束的限制。质点系是力学中普遍 的抽象化模型；包括刚体、弹性 体、流体。 自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的 限制。 刚体 是一个特殊的质点系，由无数个相互间保 持距离不变的质点组成。又称为 不变质点系 。 5 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 3. 动力学分类 ： 质点动力学 质点系动力学 质点动力学 是 质点系动力学 的基础。 4. 动力学的基本问题：大体上可分为两类： 综合性问题： 已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束力。 第一类：已知物体的 运动 情况，求作用 力 ； 第二类：已知物体的受 力 情况，求物体的 运动 。 6 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 4-1 动力学基本定律 动力学基本定律是动力学的基础 ,但它们只能 直接应用于质点。对于质点系 ,应该将它们分别应 用于每一质点 ,然后导出质点系的运动规律。 质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复 杂物体系统的基础， 质点动力学基本方程 给出了质 点 受力与其运动变化 的关系，质点动力学的基础是 三个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成 果基础上提出的，称为 牛顿三定律 。 1. 动力学基本定律 7 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 第一定律（惯性定律） 质点如不受外力作用，则将保持静止或作匀速 直线运动。 质点保持静止或作匀速直线运动，也就是保 持其运动状态不变，这种性质称为惯性。故点的 匀速直线运动，称为 惯性运动 。所以第一定律也 称为惯性定律。 当质点受到外力作用，而这些作用又不互相 抵消时，它的运动状态将按一定规律发生变化。 第二定律就表明了这一变化规律。 8 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 第二定律（力与加速度之间关系的定律） Fam (16-1) 质点受外力作用时，将产生加速度，加速度的 方向与力的方向相同，大小与力的大小成正比。 上式称为 质点动力学基本方程 。 当质点受到多个力作用时，该式中的力 应为 汇交力系的合力；从该式还可以看出，质点质量越 大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性 越大，因此， 质量是质点惯性的度量 。 F 9 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 第三定律（作用与反作用定律） 由于作用与反作用，引起了机械运动在相互 作用的两质点（物体）间发生转移。力就是这种 机械运动转移的反映。 两个质点间相互作用的力，总是大小相等，方 向相反，且沿着同一直线，分别作用在这两个质 点上。 在静力学里，研究物体的平衡用到它。在动力 学里，这一定律依然成立。 10 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 以牛顿三定律为基础的力学，称为 古典力学或 经典力学 ，在此范畴，质量、空间和时间是“绝对” 的，与运动没有关系，但近代物理已经证明，质量、 时间和空间都与物体的运动速度有关，只是当物体 的运动速度远小于光速时，物体的运动对质量、时 间和空间的影响是微不足道的。 2. 惯性参考系 动力学基本定律在其中能正确成立的参考系称 为惯性参考系 ,简称 惯性系 。在一般问题中 ,与地球 固接的参考系或相对于地面作惯性运动的参考系 , 可近似看成惯性系。 11 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 要使车子在水平直线轨道上匀速前进，为什么 还需不断对它施加水平推力？这与惯性定律有无矛 盾？ 试比较下述几种情况下站在电梯中的人对电梯 地板的压力大小： (a) 电梯静止不动； (b) 电梯 匀速上升； (c) 电梯匀速下降； (d) 电梯加速上 升； (e) 电梯减速下降。 思 考 题 4-1 思 考 题 4-2 12 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 以下说法是否正确？ (a) 质点如有运动则它一定 受力，其运动方向总是与所受力的方向一致； (b) 质点运动时，如速度大则它所受的力也大， 速度小则所受的力也小，若速度为零则质点不受力 ； (c) 机车以某一力牵引车辆加速前进时，车辆给机 车的反力必小于机车对列车的牵引力。 思 考 题 4-3 若不计空气阻力，自由下落的石块与向下仍（即 给以向下的初速）的石块，哪一个加速度较大？ 思 考 题 4-4 13 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 4-2 质点的运动微分方程 dd 2 2 Ft rm Fam (16-2) (16-3) 动力学基本方程 是矢量方程，为了便于计算，常 将它改写成投影式，并表示为微分形式的方程，称 为 质点的运动微分方程 。 14 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 y x F t y m F t x m 2 2 2 2 d d d d (16-4) 1. 质点运动微分方程在直角坐标投影 设质量为 m的质点 M，作平面曲线运动。取直 角坐标系 Oxy， 将质点受到的力与加速度在 直角坐 标轴上投影得： 15 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 式 (16-4) 和 (16-5)是两种常用 的质点运动微分方程。可以求 解质点动力学两类问题。 2. 质点运动微分方程在自然轴上投影 n 2 t d d F v m F t v m (16-5) 动力学基本方程在自然轴系上的投影为： 由运动学知 ,ddt tva 2 n va 16 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 5) 求解未知量 。 (1) 第一类：已知质点的 运动 ，求作用在质点上的 力 （ 微分问题 ）解题步骤和要点： 1) 正确选择 研究对象 ；（一般选择联系已知量和 待求量的质点）。 2) 正确进行 受力分析 ,画出受力图； (应在 一般 位臵 上进行分析 )。 3) 正确进行 运动分析 ；（分析质点运动的特征 量）。 4) 选择并列出适当形式的 质点运动微分方程 ； （建立坐标系）。 17 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 5) 求解未知量 。根据力的函数形式决定如何积分， 并利用运动的初始条件，求出质点的运动。 (2) 第二类：已知作用在质点上的 力 ，求质点的 运动 （ 积分问题 ）解题步骤如下： 1) 正确选择 研究对象 。 2) 正确进行受力分析，画出 受力图 。判断力是 什么性质的力（应放在 一般位臵 上进行分析， 对变力建立力的表达式）。 3) 正确进行 运动分析 。 (除应分析质点的运动 特征外，还要确定出其运动初始条件）。 4) 选择并列出适当形式的 质点运动微分方程 。 18 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 桥式起重机跑车用钢丝绳吊挂一质量 为 m的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为 v0，重 物中心至悬挂点距离为 l。突然刹车，重物因惯性绕 悬挂点向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。 解： 1. 选重物 (抽象为质点 )为 研究对象 2. 受力分析 3. 运动分析 ，沿以悬挂点 为圆心 , l为半径的圆弧摆 动。 例题 4-1 19 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 )1( s i ndd , tt mgtvmFma )2( c o s , T 2 nn mgFl vmFma 4. 列出质点运动微分方程 为变量。其中 式得由 v gl v mgF , , )( c o s )2( 2 T ma xTT , 0 , )1( FF 时因此重物作减速运动式知由 )1( 2 0 m a xT gl vmgF 5. 求解未知量 P=mg 20 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 例题 4-1 讨论 (1) 减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳 子长度。 (2) 拉力 FTmax由两部分组成 , 一部分等于物体重量 , 称为静拉力。一部分由加速度引起，称为附加 动拉力。全部拉力称为动拉力。 )1( 2 0 m a xT gl vmgF 21 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 例题 4-2 煤矿用填充机进行填充 , 为保证充填材料抛到 距离为 s=5 m， H=1.5 m的顶板 A处。求 (1)充填材 料需有多大的初速度 v0 ？ (2)初速 与水平的夹 角 0？ 不计空气阻力。 0v 22 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 选择填充材料 M为研究对象，画受力图， M作 斜抛运动。 待求00000000 00 ,s i n,c o s ;0,0,0 vvvvv yxt yx yx vvHysx AMt , , , , , 瞬时 解：已知力为常量，属于第二类问题。 mgP 23 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 列直角坐标形式的质点 运动微分方程并对其积 分运算 42 2 31 2 1 2 1 d d d d d d 0 d d ctcgty ctcx cgt t y c t x mg t v m t v m y x 0,s i n,c o s : 43002001 ccvcvc 代入初始条件得 2 0000 2 1s i n,c o s : gttvytvx 则运动方程为 24 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 2 0000 2 1s i n,c o s : gttvytvx 运动方程为 0 22 0 2 0 c o s2 1t a n : v xgxy 则轨迹方程为 代入最高点 A处值，得： 即 将到达 A点时的时间 t， x=s， y=H 代入运动方程，得 ,0s i ndd 00 gtvty ,s i n 00 gvt gH sgv 2c o s 00 gHv 2s i n 00 25 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 抛射初速度大小与发射角 0为： m / s 5.10m / s5.181.92 5.181.92 581.9 2 2 )s i n()c o s( 22 22 2 00 2 000 gH gH sg vvv 31 5 5.12t a n 2t a nc o ss i nt a n 11 00 001 0 s H v v 26 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 铅垂上抛的物体， 至少应具有多大的初速才可不再回 到地球。这一速度称为第二宇宙速 度。不计空气阻力。 2 2 22 x mg RF R mMfmg x mMfF 所以因为 2 2 2 2 d d x mg R t xm 建立质点运动微分方程 例题 4-3 解：取物体（视为质点 )为研究 对象，建立坐标，并作受力图。 M 地球质量， f 万有引力常数 27 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 x gRgRvv 2 02 2)2( 则在任意位臵时的速度 ) ,0( dd 02 2 0 vvRxtxxm gRRxvmvvv xxx 时 即： )d ddddddddd( dd 222 2 x vvtxxvtvt xxmg Rxvmv xxxxxx 28 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 可见， v随着 x的增加而减小。若 则 在某一位臵 x=R+H 时速度将减小到零，物体回 落。若 时，无论 x多大（甚至为 ），物 体也不会回落。因此脱离地球引力而一去不返 时 （ ）的最小初速度 gRv 220 gRv 220 x k m / s 2.11 km6 3 7 0/skm108.92 2 23 0 gRv （第二宇宙速度） x gRgRvv 2 02 2)2( 29 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 站在磅秤上的人，在他突然下蹲的瞬时，指针 向读数大的一边偏，还是向读数小的一边偏？为什 么？ 思考题 4-4 答：静止时， FN=P 突然下蹲时， aC方向向下， -maC=FN-P， FN=P-maCP, 所以指针向读数小的一边偏。 若人突然站起来的瞬时，则指针向读数大的一 边偏。 30 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程 汽车以大小不变的速度 v通过图示路面上 A、 B 、 C三点。试画出汽车（作为一个质点）通过各该 点时的受力图，并讨论汽车对路面的压力在上述三 点处是否相同？在哪一点处时压力最大？在哪一点 处时压力最小？ 思考题 4-5 31 工程力学教程电子教案 质点的运动微分方程