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2022-2023学年天津市第二十五中学高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1已知函数f（x）x2ax3在（0，1）上为减函数，函数g（x）x2aln x在（1，2）上为增函数，则a的值等于A1B2C0D【答案】B【详解】试题分析：函数f（x）x2ax3在（0，1）上为减函数，所以，即，函数g（x）x2aln x在（1，2）上为增函数，即，当，即恒成立，即，所以同时满足两个条件的，故选【解析】1导数的基本应用；2函数的性质2函数的单调递减区间是()ABCD【答案】B【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可【详解】函数的定义域是（0，+），y=1+= ，令y（x）0，解得：0x1，故函数在（0，1）递减，故选B【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，是一道常规题3若函数满足，则的值为（）A1B2C0D【答案】C【解析】求导得到，取带入计算得到答案.【详解】，则，则，故.故选：C.【点睛】本题考查了求导数值，意在考查学生的计算能力和应用能力.4设函数，则是A奇函数，且在（0,1）上是增函数B奇函数，且在（0,1）上是减函数C偶函数，且在（0,1）上是增函数D偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A【详解】试题分析：由题意得，函数的定义域为，解得，又，所以函数的奇函数，由，令，又由，则，即，所以函数为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数在上增函数，故选A.【解析】函数的单调性与奇偶性的应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的判定、函数的单调性的判定与应用、复合函数的单调性的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于基础题.5函数yf(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）ABCD【答案】D【分析】由图可知f(x)在(0，)，(，0)上都是减函数，所以可得x0和x0时，导函数均为负，从而可得答案【详解】函数f(x)在(0，)，(，0)上都是减函数，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0.故选：D6函数的单调减区间是（）ABC，D【答案】D【分析】由函数的导数小于零，解不等式即可求解.【详解】，令，解得，所以函数的单调递减区间是.故选：D7函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（）ABCD【答案】B【分析】先研究函数在区间上的单调性，再根据单调性求最值即可.【详解】解：，解得，再根据二次函数性质得在上，在上，所以函数在单调递增，在单调递减，所以，所以.所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是基础题.8若函数在点处的切线方程为，则函数的增区间为（）ABCD【答案】C【分析】首先将代入得到切点为，求导得到，从而得到，解方程组得到，再利用导数求解单调区间即可.【详解】将代入得到，所以切点为.因为，所以，所以，当时，为增函数.所以函数的增区间为.故选：C9若函数f(x)axln x在x处取得极值，则实数a的值为()ABC2D【答案】A【分析】对a分两种情况讨论，当a0时，f(x)在(0，)递减不合题意.当a0时，当x时，f(x)取得极小值，即，解之即得解.【详解】当a0时，f(x)在(0，)递减不合题意，a0.f(x)a (x0)，令f(x)0，即a0，得x.当x时，f(x)0，f(x)递减；当x时，f(x)0，f(x)递增当x时，f(x)取得极小值，f(x)无极大值，即a.故答案为A【点睛】(1)本题主要考查函数的极值的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求函数的极值的一般步骤:先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值.一般地，函数在点连续时，如果附近左侧0，右侧0，那么是极大值.一般地，函数在点连续时，如果附近左侧0，那么是极小值.10已知函数f(x)4x3sinx，x(1，1)，如果f(1a)f(1a2),.故答案为.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法. (2)由于函数先增后减，所以要比较的大小.12曲线在点处的切线的倾斜角是_.【答案】#【分析】求出导数，得切线斜率，由斜率得倾斜角【详解】，时，切线斜率为1，又倾斜角范围是，所以切线倾斜角为故答案为：13若函数f(x)x3mx2x1在R上无极值点，则实数m的取值范围是_.【答案】【分析】求导，利用判别式小于等于0得出实数m的取值范围.【详解】f(x)3x22mx1.由题意得4m2120，解得，即实数m的取值范围是.故答案为：14已知函数，则的图象在处的切线方程为_.【答案】【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程.【详解】，又，在处的切线方程为，即.故答案为：.15设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，当时，且则不等式的解集是_.【答案】【分析】构造函数，根据已知，利用函数的奇偶性、导数进行求解.【详解】设，则，因为当时，所以当时，所以函数在上单调递增，又，分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以，即是上的奇函数，故函数在上单调递增，又，所以，所以，不等式等价于，解得或，不等式的解集是解集为.故答案为：.三、解答题16若函数，当时，函数有极值（1）求函数的解析式，并求其在点处的切线方程；（2）若方程有个不同的根，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用函数的极值求出可得函数的解析式，根据导数的几何意义可求得切线方程；（2）利用导数研究函数的性质，得到函数的图象，根据图象可得结果.【详解】（1），由题意得，解得，经检验符合题意，故所求函数的解析式为，在点处的切线方程为，即（2）由（1）可得，令，得或当变化时，的变化情况如下表：递增递减递增因此，当时，有极大值，当时，有极小值，所以函数的图象大致如图所示若有个不同的根，则直线与函数的图象有个交点，所以即实数的取值范围为【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17已知函数，若在处与直线相切（1）求，的值；（2）求在，上的最大值【答案】（1）；（2） .【分析】（1）对进行求导，先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率列出关于，的方程求得，的值（2）判定函数的单调性，可得函数的极大值就是最大值，求出函数的极值可确定出最大值【详解】（1）函数，函数在处与直线相切，解得；（2），当时，令得：，令，得，在，上单调递增，在，上单调递减，所以函数的极大值就是最大值，（1）【点睛】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用考查运算求解能力、化归与转化思想属于中档题18设函数在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又（1）求的解析式；（2）若在区间上恒有成立，求的取值范围【答案】（1）（2）【详解】（1） 由已知，即解得 （2）令，即或又在区间上恒成立，19已知函数(1)时，求的最小值；(2)若在上递增，求实数的取值范围.【答案】(1)3(2)【分析】(1)对函数求导，利用函数的单调性即可求出最小值；(2)先求导，分离参数，转化成恒成立问题，再构造函数，求出参数的取值范围.【详解】（1）当时，由，得到易知：恒成立时，；时，所以当时，的最小值为（2）又在区间上递增，在上恒成立.由，得到，即令，单调递增，即当时，当且仅当时取等号所以20设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求(2)证明: 【答案】（1）；（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1 )可得的解析式，为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得.试题解析：（1）函数的定义域为，.由题意可得，.故，.（2）证明：由（1）知，从而等价于.设函数，则.所以当，；当时，.故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为.设函数，则.所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为.综上，当时，即.【解析】1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：确定函数的定义域；对求导；令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）的证明过程就是利用导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，进而得证的.
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