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第二部分 空间与图形 课时 18 全等三角形 第四章 图形的认识（一） 知识要点梳理 1. 全等形与全等三角形： （ 1）全等形：能够完全 _的两个图形叫做全等形； 能重合的图形的 _和 _都相同 .平移、翻折、 旋转前后的图形全等 . （ 2）全等三角形：能够完全 _的两个三角形叫做全 等三角形，重合的顶点叫做 _，重合的边叫做 _，重合的角叫做 _. ABC与 A B C 全等，记作 ABC_ A B C （其中，“ ”表示 形状相同，“ =” 表示大小相等） . 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在 _的位置上 . 重合 形状 大小 重合 对应顶点 对应边 对应角 对应 2. 全等三角形的性质： （ 1）全等三角形的对应边 _. （ 2）全等三角形的对应角 _. （ 3）全等三角形的周长、面积 _. （ 4）全等三角形的对应线段（高、中线、角平分线） _. 3. 全等三角形的判定 : （ 1）边边边（ SSS）： _的两个三角形全等 . （ 2）边角边（ SAS）： _ 的两个三角形全等 . （ 3）角边角（ ASA）： _ 的两个三角形全等 . 相等 相等 相等 相等 三边对应相等 两边和它们的夹角对应相等 两角和它们的夹边对应相等 （ 4）角角边（ AAS）： _ 的两个三角形全等 . （ 5）斜边直角边（ HL）： _ 的两个直角三角形全等 . 4. 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的 _；反之，角的内部到角两边的 _的 点在角的平分线上 . 两个角和其中一个角的对边对应相等 斜边和一条直角边对应相等 距离相等 距离相等 5. 线段垂直平分线： （ 1）定义：经过某一条线段的 _，并且 _ 于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称 “ _”. （ 2）性质定理：线段垂直平分线上的点到 _ 相等；反之，到 _相等的点在线段 的垂直平分线上 . 中点 垂直 中垂线 线段两端点的距离 线段两端点的距离 重要方法与思路 证明三角形全等的思路归纳 : 中考考点精练 考点 1 全等三角形的概念和性质 1.（ 2016厦门）如图 2-4-18-1，点 E， F在线段 BC上， ABF与 DCE全等，点 A与点 D，点 B与点 C是对应顶点， AF与 DE交于点 M， 则 DCE= （ ） A. B B. A C. EMF D. AFB A 2. （ 2016成都）如图 2-4-18-3， ABC A B C ，其中 A=36 ， C=24 ，则 B=_. 3. （ 2015柳州）如图 2-4-18-4， ABC DEF，则 EF=_. 120 5 解题指导： 本考点的题型一般为选择题或填空题，难度中等 . 解此类题的关键在于掌握全等三角形的概念及性质定理（注 意：相关要点请查看“知识要点梳理”部分，并认真掌握） . 考点 2 全等三角形的判定 证明： 四边形 ABCD是平行四边形， OA=OC， AB CD. EAO= FCO. 在 AOE和 COF中， AOE COF（ ASA） . 1. （ 2014广州）如图 2-4-18-4， ABCD的对角线 AC,BD相交于 点 O， EF过点 O且与 AB， CD分别相交于点 E,F，求证： AOE COF. 2. （ 2016湘西州）如图 2-4-18-5，点 O是线段 AB和线段 CD的中 点 . （ 1）求证： AOD BOC； （ 2）求证： AD BC. 证明：（ 1） 点 O是线段 AB和线段 CD的中点， AO=BO， DO=CO. 在 AOD和 BOC中， AOD BOC（ SAS） . （ 2） AOD BOC， A= B. AD BC. 解题指导： 本考点的题型一般为解答题，难度中等 . 解此类题的关键在于掌握全等三角形的判定方法与思路（注 意：相关要点请查看“知识要点梳理”部分，并认真掌握） . 注意以下要点： 判定两个三角形全等的一般方法有 SSS、 SAS、 ASA、 AAS、 HL， 同时要结合其他知识点如平行线、平行四边形的性质等来证 明三角形全等 . 另外要注意 AAA、 SSA不能判定两个三角形全 等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一 角对应相等时，角必须是两边的夹角 . 考点 3 角平分线、线段垂直平分线的性质定理 1. （ 2016荆州）如图 2-4-18-6，在 Rt ABC中， C=90 ， CAB的平分线交 BC于 D， DE是 AB的垂直平分线，垂足为点 E. 若 BC=3，则 DE的长为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A 2.（ 2015茂名）如图 1-4-2-9， OC是 AOB的平分线， P是 OC上 一点， PD OA于点 D， PD=6，则点 P到边 OB的距离为 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 A 3. （ 2014深圳）如图 2-4-18-8，在 Rt ABC中， C=90 ， AD 平分 CAB， AC=6， BC=8， CD=_. 3 解题指导： 本考点的题型一般为选择题或填空题，难度中等 . 本考点单独 考查的情况很少，常在综合型解答题中涉及，故应牢固掌握 . 解答本考点的有关题目，关键在于掌握角平分线和线段垂直平 分线的性质定理 . 注意以下要点： （ 1）角平分线上的点到角两边的距离相等，角的内部到角两 边的距离的点在角的平分线上； （ 2）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线 段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 . 考点巩固训练 考点 1 全等三角形的概念和性质 1. 如图 2-4-18-9,若 ABE ACF，且 AB=5， AE=2，则 EC的长 为 （ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 2.5 2. 如图 2-4-18-10， ABC ADE， B=80 ， C=30 ， DAC=35 ，则 EAC的度数为 （ ） A. 40 B. 35 C. 30 D. 25 B B 3. 如图 2-4-18-11， ABC BAD，如果 AB=6 cm， BD=5 cm， AD=4 cm，那么 BC= （ ） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 无法确定 4. 如图 2-4-18-12，已知 ACE DBF，下列结论正确的有 （ ） AC=DB; AB=DC; 1=2; AE DF; S ACE=S DBF; BC=AE; BF EC. A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 A C 考点 2 全等三角形的判定 5. 如图 2-4-18-13， AB=AC， AD=AE， BAC= DAE. 求证： ABD ACE. 证明： BAC= DAE， BAC+ CAD= DAE+ CAD， 即 BAD= CAE. 在 ABD和 ACE中， ABD ACE（ SAS） . 6. 如图 2-4-18-14所示，在 Rt ABC中， AB=AC， D,E是斜边 BC上两点，且 DAE =45 ，将 ADC绕点 A顺时针旋转 90 后，得到 AFB，连接 EF. 求证： AED AEF. 证明： AFB是 ADC绕点 A顺时针旋转 90 得到的， AD=AF， FAD=90 .又 DAE=45 ， FAE=90 - DAE=90 -45 =45 = DAE. 在 AED与 AEF中， AED AEF（ SAS） . 7. 如图 2-4-18-15，在 ABC中， AB=CB， ABC=90 ， D为 AB 延长线上一点，点 E在 BC边上，且 BE=BD，连接 AE， DE， DC. （ 1）求证： ABE CBD； （ 2）若 CAE=30 ，求 CDB的度数 . （ 1）证明：在 ABE和 CBD中， ABE CBD（ SAS） . （ 2）解： ABE CBD， AEB= CDB. AEB为 AEC的外角， AEB= ACB+ CAE=45 +30 =75 . CDB=75 . 考点 3 角平分线、线段垂直平分线的性质定理 8. 如图 2-4-18-16， AD BC， ABC的角平分线 BP与 BAD的角 平分线 AP相交于点 P，作 PE AB，垂足为点 E. 若 PE=3，则两平 行线 AD与 BC间的距离为 （ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 不能确定 C 9. 如图 2-4-18-17， ABC中， AB=5， AC=6， BC=4，边 AB的垂 直平分线交 AC于点 D，则 BDC的周长是 （ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 C 10. 如图 2-4-18-18，在 ABC中， C=90 ， DE垂直平分 AB， 分别交 AB， BC于点 D， E. 若 CAE= B+30 ，求 AEB的度数 . 解： DE垂直平分 AB， AE=BE. B= EAB. C=90 ， CAE= B+30 ， B+30 + B+ B=90 . B=20 . AEB=180 -20 -20 =140 .
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