《二元一次方程组》复习

第五章二元一次方程组复习提高一、复习目标1了解二元（三元）一次方程（组），以及二元（三元）一次方程（组）的解的概念.2会灵活运用代入（或加减）消元法解二元一次方程组，会解简单的三元一次方程.3会列二元一次方程组解简单的应用题.4.理解二元一次方程的解与一次函数图像上的点的坐标之间的关系.5理解二元一次方程组的解与对应的两个一次函数图像的交点坐标之间的关系.二、知识、思想方法梳理（一）知识梳理1含有未知数，并且所含未知数的项的次数都是的方程叫二元一次方程.适合这个二元一次方程的的值，叫这个二元一次方程的一个解。一般地，一个二元一次方程有个解.2含有未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫二元一次方程组，二元一次方程组中各个方程的，叫做这个二元一次方程组的解.3解二元一次方程组的基本思路是即把“二元”变为“一元”，常见的两种方法是消元法和消元法.4代入消元法及主要步骤：将其中一个方程中某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为，从而求解，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.5加减消元法及主要步骤：将方程组中的一个（或两个）方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相等（或互为相反数），再将两个变形后的方程相减（或相加），从而消去一个未知数，化二元一次方程组为，从而求解，这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法.6列方程（组）解应用题的一般步骤：审（题）：审清题意，弄懂已知是什么，未知是什么，有哪些等量关系（找关键词）；设（未知数）：选择一个未知量（一般是与所求问题有直接关系的量），用未知数表示出来，注意叙述清晰完整，该带单位的要带单位.列（代数式和方程）：根据题目中某些等量关系，将其余未知量用含有未知数的代数式表示出来，将所设未知数和所列代数式代入另外的等量关系建立方程（组），注意等号两边单位要统一，意义要一致.解方程（组）：写出必要的解题步骤即可.（检）验：第一，是否方程（组）的解；第二，是否符合题意；第三，是否符合实际答：根据所得结果做出回答，注意叙述简洁明了，该带单位的要带单位.7一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的的图象相同，是一条 .8一般地，从图象的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的的解；解一个相当于确定相应两条直线交点的坐标.9先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫法.（二）思想、方法梳理1转化思想 2方程思想 3数形结合 4消元思想三、典型题目选讲例 1.将方程 10-2（3-y）=3（2-x）变形，用含x的代数式表示y是_例 2下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）.A725xyyx B043112yxyx C3434532yxxyD12382yxyx例 3（1）已知mynxnymx和是方程231xy的解，则代数式2635mn的值为（2）已知5,3yx是方程22axy的一个解,那么a的值是例 4解下列方程组:（1）用代入法解:22534yxyx（2）用代入法解:672953yxyx（3）用加减法解422822yxyx（4）用加减法解43)1(3)43(2023yxyx（5）6323228xyxyxyxy（6）598xzzyyx（7）6654564233832zyxzyxzyx例 5（1）若方程组8)1(534ykkxyx的解中x的值比y的值的相反数大1，则k（2）关于x、y的二元一次方程组23412xykx(k)yk的解中x和y的值互为相反数，则k（3）若方程组130 xyxky的解也是方程25xy的解，则k（4）若方程组2234axbyxy与2456axbyxy的解相同，则a，b .例 6甲、乙两人同解方程组232AxByCxy，甲正确解得11xy，乙抄错了C，解得26xy，则ABC .例 7已知340 xyz，280 xyz，求222xyzxyyzzx的值例 8当a为何整数值时，方程组02162yxayx有正整数解.例 9（1）若方程组2223xyxy无解，则在同一坐标系中，直线2yx和32yx的位置关系必定是 .（2）已知直线2ykx与21yx的图象交于点P（1，-1），则方程组221kxyxy的解是 .例 10 已知直线364yx与、xy轴交于点A、B，直线324yx交y轴于点C，两直线交点为P.求 PCA的面积.习题1、1、已知方程（m+2）1mx+（n-3）y28n=5 是关于 x、y 的二元一次方程，求m2+2mn+n的值1-1、如果（x+y-5）2和|3y-2x+10|的值互为相反数，则（）Ax=-3，y=2 Bx=2，y=3 Cx=0，y=5 Dx=5，y=0 1-2、对于有理数x、y 定义一种运算“*”：x*y=ax+by，其中a、b 为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算已知1*2=8，（-2）*3=5，求 3*5 的值1-3、对于有理数x，y，定义一种新的运算“*”：x*y=ax+by+c，其中 a，b，c 为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知3*5=15，4*7=28，求 1*1 的值1-4、（河北）九章算术是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里一次方程组是由算筹布置而成的九章算术中的算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图（1）、（2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y 的系数与对应的常数项，把图（1）所示的算筹图中方程组形式表述出来，就是3x+2y=19，x+4y=23 类似地，图（2）所示的算筹图可表述为（）A、2x+y=11，4x+3y=27 B、2x+y=11，4x+3y=22 C、3x+2y=19，x+4y=23 D、2x+y=6，4x+3y=27 1-5、已知方程组ax+5y=15(1)，4x-by=-2(2)，由于甲看错了方程（1）中的 a 得到方程组的解为x=-3，y=1，乙看错了方程（2）中的 b 得到方程组的解为x=1，y=4若按正确的a、b 计算，求原方程组的解1-6、若mx34+ny3=2009 是关于 x，y 的二元一次方程，且 mn 0，0m+n 3，则 m-n 的值是（）A34 B2 C 4 D-2 1-7、关于 x，y 的二元一次方程（a-1）x+（a+2）y+5-2a=0，当 a 取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（）A、x=3，y=-1 B、x=2，y=-0 C、x=-3，y=1 D、x=1，y=2 1-8、若方程组x-(c+3)xy=3，2ax-3by=4 是关于 x，y 的二元一次方程组，则代数式a+b+c 的值是2、已知关于x、y 的方程 2x3a-2-3y2a+3b+5=1 是二元一次方程，求a2-2ab+b2的值2-1、关于 x，y 的二元一次方程组x+y=1-m，x-3y=5+3m 中，m与方程组的解中的x 或 y 相等，则 m的值为（）。2-2、如图 1，在边长为a 的大正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2这个拼成的长方形的长为30，宽为 20则图 2 中部分的面积是（）。2-3、在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：如图掷到A区和 B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外的部分（掷中一次记一个点）现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：小华：77 分小芳 75 分小明：（）分（1）求掷中A区、B区一次各得多少分？（2）依此方法计算小明的得分为多少分？2-4、如图，几块大小不等的正方形纸片A、B、，I，无重叠地铺满了一块长方形已知正方形纸片E的边长为7，求其余正方形的边长3、已知方程组221253xyabxxyay的解是，求求 a2+3ba的值3-1、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d 对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d例如，明文1，2，3，4 对应密文5，7，18，16当接收方收到密文14，9，23，28 时，则解密得到的明文为（）A、7，6，1，4 B、6，4，1，7 C、4，6，1，7 D、1，6，4，7 3-2、若 x，y 为实数，且满足|x 3|+=0，则2012yx的值是。3-3、若实数a、b 满足|3a 1|+b 2=0，则ba的值为。3-4、解方程组4、某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的A，B两种长方体形状的无盖纸盒现有正方形纸板140 张，长方形纸板360 张，刚好全部用完，问能做成多少个A型盒子？多少个B型盒子？（1）根据题意，甲和乙两同学分别列出的方程组如下：甲：x+2y=140，4x+3y=360，；乙：x+y=140，4x+23y=360，根据两位同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y 表示的意义：甲：x 表示（），y 表示（）；乙：x 表示（），y 表示（）；（2）求出做成的A型盒子和B型盒子分别有多少个（写出完整的解答过程）？4-1、某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（长方形的宽与正方形的边长相等）（1）现有正方形纸板50 张，长方形纸板l 00 张，若要做竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个根据题意，完成以下表格：若纸板全部用完，求x、y 的值；（2）若有正方形纸板80 张，长方形纸板n 张，做成上述两种纸盒，纸板恰好全部用完已知162n172，求 n 的值4-2、为安置100 名中考女生入住，需要同时租用6 人间和 4 人间两种客房，若每个房间都住满，则租房方案共有（）A8 种 B9 种 C16 种 D 17 种4-3、为庆祝“六?一”国际儿童节，鸡冠区某小学组织师生共360 人参加公园游园活动，有A、B两种型号客车可供租用，两种客车载客量分别为45 人、30 人，要求每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有（）A3种 B4 种 C5 种 D6 种竖式纸盒（个）横式纸盒（个）x y 正方形纸板（张）x 长方形纸板（张）3y 5、某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000 元；经粗加工后销售，每吨利润可达 4500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500 元当地一家农工商公司收购这种蔬菜140 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16 吨；如果进行精加工，每天可加工6 吨，但两种加工方式不能赔不是进行受季节条件的限制，公司必须在15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研究了三种加工方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多地进行精加工，来不及加工的蔬菜在市场上全部销售；方案三：将部分蔬菜进行粗加工，其余蔬菜进行精加工，并恰好在15 天完成你认为哪种方案获利最多？为什么？5-1、已知：用2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车载满货物一次可运货10 吨；用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车载满货物一次可运货11 吨某物流公司现有31 吨货物，计划同时租用A 型车 a 辆，B 型车 b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物根据以上信息，解答下列问题：（1）1 辆 A 型车和 1 辆车 B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若 A 型车每辆需租金100 元/次，B 型车每辆需租金120 元/次请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费5-2、如图，长青化工厂与A、B 两地有公路、铁路相连这家工厂从A 地购买一批每吨1000 元的原料运回工厂，制成每吨8000 元的产品运到B 地已知公路运价为1.5 元/（吨?千米），铁路运价为1.2 元/（吨?千米），且这两次运输共支出公路运输费15000 元，铁路运输费 97200 元求：（1）该工厂从A 地购买了多少吨原料？制成运往B 地的产品多少吨？（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？6、星期天，小明和七名同学共8 人去郊游，途中，他用20 元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐 2 元一杯，奶茶3 元一杯，如果20 元钱刚好用完(1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？(2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？7、某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：李老师：“平安客运公司有60 座和 45 座两种型号的客车可供租用，60 座客车每辆每天的租金比45 座的贵 200 元”小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆 60 座和 2 辆 45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5000 元”小明：“我们九年级师生租用5 辆 60 座和 1 辆 45 座的客车正好坐满”根据以上对话，解答下列问题：（1）平安客运公司60 座和 45 座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（2）按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？8、奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择如果买4 个笔记本和2 支钢笔，则需86 元；如果买 3 个笔记本和1 支钢笔，则需57 元（1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？（2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10 支，那么超出部分可以享受8 折优惠，若买(0)x x支钢笔需要花y元，请你求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10 个，请帮小明判断买哪种奖品省钱9、某商场计划拨款9 万元从厂家购进50 台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别是：甲种电视机每台1500 元，乙种电视机每台2100 元，丙种电视机每台2500 元（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案，（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150 元，销售一台乙种电视机可获利200 元，销售一台丙种电视机可获利250 元在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售进获利最多，你会选择哪种进货方案？（3）若商场准备用9 万元同时购进三种不同型号的电视机50 台，请你设计进货方案10、为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造根据预算，共需资金 1575 万元改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230 万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205 万元（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？（2）若该县的A类学校不超过5 所，则B类学校至少有多少所？（3）我市计划今年对该县A、B两类学校共6 所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担若今年国家财政拨付的改造资金不超过400 万元；地方财政投入的改造资金不少于70 万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10 万元和 15 万元请你通过计算求出有几种改造方案？11、某工厂计划生产A，B 两种产品共10 件，其生产成本和利润如下表：A 种产品B 种产品成本（万元 件）3 5 利润（万元 件）1 2（1）若工厂计划获利14 万元，问 A，B 两种产品应分别生产多少件？（2）若工厂投入资金不多于44 万元，且获利多于14 万元，问工厂有哪几种生产方案？（3）在（2）条件下，哪种方案获利最大？并求最大利润12、某商店以6 元/千克的价格购进某种干果1140 千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x 天的总销量y1（千克）与x 的关系为y1=x2+40 x；乙级干果从开始销售至销售的第t 天的总销量y2（千克）与t 的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：t 1 2 3 y221 44 69（1）求 ab 的值；（2）若甲级干果与乙级干果分别以8 元/千克的 6 元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6 千克？（说明：毛利润=销售总金额进货总金额这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）13、修建润扬大桥，途经镇江某地，需搬迁一批农户，为了节约土地资源和保护环境，政府决定统一规划建房小区，并且投资一部分资金用于小区建设和补偿到政府规划小区建房的搬迁农户.建房小区除建房占地外，其余部分政府每平方米投资100 元进行小区建设；搬迁农户在建房小区建房，每户占地100 平方米，政府每户补偿4 万元，此项政策，吸引了搬迁农户到政府规划小区建房，这时建房占地面积占政府规划小区总面积的20%.政府又鼓励非搬迁户到规划小区建房，每户建房占地120 平方米，但每户需向政府交纳土地使用费2.8 万元，这样又有20 户非搬迁户申请加入.此项政策，政府不但可以收取土地使用费，同时还可以增加小区建房占地面积，从而减少小区建设的投资费用.若这 20 户非搬迁户到政府规划小区建房后，此时建房占地面积占政府规划规划小区总面积的40%.（1）设到政府规划小区建房的搬迁农户为x 户，政府规划小区总面积为y 平方米.可得方程组解得（2）在 20 户非搬迁户加入建房前，请测算政府共需投资 _ 万元；在20 户非搬迁户加入建房后，请测算政府将收取的土地使用费投入后，还需投资_万元.（3）设非搬迁户申请加入建房并被政府批准的有z户，政府将收取的土地使用费投入后，还需投资p 万元.用含 z 的代数式表示p；当 p 不高于 140 万元，而又使建房占地面积不超过规划小区总面积的35%时，那么政府可以批准多少户非搬迁户加入建房？14、为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动。某家电公司销售给农户的型冰箱和型冰箱在启动活动前一个月共售出960 台，启动活动后的第一个月销售给农户的型和型冰箱的销量分别比启动活动前一个月增长30%、25%，这两种型号的冰箱共售出1228 台。（1）在启动活动前的一个月，销售给农户的型冰箱和型冰箱分别为多少台？（2）若型冰箱每台价格是2298 元，型冰箱每台价格是1999 元，根据“家电下乡”的有关政策，政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴，问：启动活动后的第一个月销售给农户的1228 台型冰箱和型冰箱，政府共补贴了多少元（结果保留2 个有效数字）？15、某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240 辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的,x=y=)(小时x)(吨yO8 24103A B C 安装.生产开始后，调研部门发现：1 名熟练工和2 名新工人每月可安装8 辆电动汽车；2 名熟练工和3 名新工人每月可安装14 辆电动汽车.（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）如果工厂招聘n（0n10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000 元的工资，给每名新工人每月发 1200 元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？16、萧山新星塑料厂有甲、乙、丙三辆运货车，每辆车只负责进货或出货，丙车每小时的运输量最多，乙车每小时的运输量最少，乙车每小时运6 吨，下图是甲、乙、丙三辆运输车开始工作后，仓库的库存量y（吨）与工作时间x（小时）之间的函数图像，其中OA段只有甲、丙两车参与运输，AB段只有乙、丙两车参与运输，BC段只有甲、乙两车参与运输。(1)甲、乙、丙三辆车中，谁是进货车？(2)甲车和丙车每小时各运输多少吨？(3)由于仓库接到临时通知，要求三车在8 小时后同时开始工作，但丙车在运送10 吨货物后出现故障而退出，问：8 小时后，甲、乙两车又工作了几小时，使仓库的库存量为6 吨？