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2011 全国中考真题解析120 考点汇编梯 形一、选择题1.（2011?宁夏，3，3 分）等腰梯形的上底是2cm，腰长是 4cm，一个底角是 60，则等腰梯形的下底是（）A、5cm B、6cm C、7cm D、8cm 考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质。专题：计算题。分析：过 D 作 DE AB交 BC 于 E，推出平行四边形ABED，得出AD=BE=2cm，AB=DE=DC，推出等边三角形 DEC，求出 EC的长，根据 BC=EB+EC 即可求出答案解答：解：过 D 作 DE AB交 BC 于 E，DE AB，AD BC，四边形 ABED 是平行四边形，AD=BE=2cm，DE=AB=4cm，DEC=B=60，AB=DE=DC，DEC是等边三角形，EC=CD=4cm，BC=4cm+2cm=6cm故选 B点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，全等等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，把等腰梯形转化成平行四边形和等边三角形是解此题的关键2.（2011 新疆乌鲁木齐，9，4）如图梯形 ABCD 中，ADB C、ABCD，AC 丄 BD 于点 O，BAC 60，若BC6，则此梯形的面积为（）A、2 B、13C、62D、23考点：等腰梯形的性质；垂线；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理。专题：计算题。分析：过 O 作 EF AD交 AD 于 E，交 BC 于 F，根据等腰梯形的性质得出ABC DCB，证ABC DCB，推出DBC ACB，求出 DBC ACB 45，根据直角三角形性质求出OF，根据勾股定理求出 OB、OA，OE、AD，根据面积公式即可求出面积解答：解：过 O 作 EF AD交 AD 于 E，交 BC 于 F，等腰梯形 ABCD，AD BC，ABCD，ABC DCB，BC BC，ABC DCB，DBC ACB，AC BD，BOC 90，DBC ACB 45，OBOC，OF BC，OFBFCF21BC26，由勾股定理得：OB3，BAC 60，ABO 30，由勾股定理得：OA1，AB2，同法可求 ODOA1，AD2，OE22，S梯形 ABCD21（ADBC）?EF 21（62）（2226）23故答案为：23点评：本题主要考察对等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂线，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键3.（2011?贵港）如图所示，在梯形ABCD 中，AB CD，E是 BC 的中点，EF AD于点 F，AD=4，EF=5，则梯形 ABCD 的面积是（）A、40 B、30 C、20 D、10 考点：梯形；全等三角形的判定与性质。分析：作延长 DE 交 AB 延长线上点 G，过点 G 作 GH FE，交 FE的延长线上于点H，然后将梯形 ABCD 的面积转化为梯形HGFA 的面积，根据条件首先证明GE=ED，再证出GH=DF，进而得到GH+AF）的长，HF 的长，即可得到答案解答：解：延长 DE 交 AB 延长线上点 G，过点 G 作 GH FE，交FE的延长线上于点 H，CD BA，E是 AB 中点，CED BGE，GE=ED，即点E 也是 GD 的中点，GHF=DFH=90，CD HG，点E也是 GD 的中点，GHE DFE，GH=DF，HE=EF=5，GH+AF=AF+DF=AD=4，梯形ABCD 与梯形 HGFC 的面积相等，S梯形 HGFC=（GH+AF）?HF=4 2 5=20，S梯形 ABCD=20 故选：C点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，梯形的面积公式，解决问题的关键是通过作辅助线，把梯形ABCD 的面积转化为梯形HGFC 的面积求解4.从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件M，“这个四边形是等腰梯形”下列推断正确的是（）A、事件M是不可能事件B、事件M是必然事件C、事件M发生的概率为D、事件M发生的概率为【答案】B【考点】正多边形和圆；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；等腰梯形的判定；随机事件；概率公式【专题】证明题【分析】连接 BE，根据正五边形 ABCDE 的性质得到BC=DE=CD=AB=AE，根据多边形的内角和定理求出 A=ABC=C=D=AED=108，根据等腰三角形的性质求出 ABE=AEB=36，求出CBE=72，推出 BE CD，得到四边形 BCDE是等腰梯形，即可得出答案【解答】解：连接 BE，正五边形 ABCDE，BC=DE=CD=AB=AE，根据多边形的内角和定理得：A=ABC=C=D=AED=(52)1805=108，ABE=AEB=12（180-A）=36，CBE=ABC-ABE=72，C+CBE=180，BE CD，四边形 BCDE 是等腰梯形，即事件M 是必然事件，故选B【点评】本题主要考查对正多边形与圆，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，等腰梯形的判定，必然事件，概率，随机事件，多边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键5.（2011 北京，4，4 分）如图，在梯形ABCD 中，ADBC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的COAO值为（）A21B31C41D91考点：相似三角形的判定与性质；梯形。专题：证明题。分析：根据梯形的性质容易证明AODCOB，然后利用相似三角形的性质即可得到AO：CO的值解答：解：四边形ABCD是梯形，ADCB，AODCOB，COAOBCAD,AD=1，BC=3 31COAO故选 B点评：此题主要考查了梯形的性质，利用梯形的上下底平行得到三角形相似，然后用相似三角形的性质解决问题6.（2011 江苏连云港，7，3 分）如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC 与 EB分别交于点M，N.下列说法错误的是（）A四边形EDCN是菱形B四边形MNCD是等腰梯形CAEM与CBN相似DAEN与EDM全等考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定；菱形的判定；等腰梯形的判定。分析：首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BE CD，AD BC，AC DE，AC=AD=BE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得A 正确，根据等腰梯形的判定方法即可证得 B 正确，利用 SSS即可判定 D 正确，利用排除法即可求得答案解答：解：在正五边形 ABCDE 中，AB=BC=CD=DE=AE，BE CD，AD BC，AC DE，四边形 EDCN 是平行四边形，?EDCN 是菱形；故 A 正确；同理：四边形 BCDM 是菱形，CN=DE，DM=BC，CN=DM，四边形 MNCD 是等腰梯形，故 B 正确；EN=ED=DM=AE=CN=BM=CD，AN=ACCN，EM=BE BM，BE=AC，AEN EDM（SSS），故 D 正确故选 C点评：此题考查了正五边形的性质，菱形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识此题综合性很强，注意数形结合思想的应用7.（2011，台湾省，32,5 分）如图为菱形ABCD 与正方形 EFGH的重迭情形，其中 E在 CD 上，AD 与 GH 相交于 I 点，且 AD HE 若 A=60，且 AB=7，DE=4，HE=5，则梯形 HEDI 的面积为何？（）A、6B、8C、102D、10+2考点：梯形；菱形的性质。专题：计算题。分析：利用菱形和正方形的性质分别求得HE 和 ID、DE 的长，利用梯形的面积计算方法算得梯形的面积即可解 答：解：四 边 形 ABCD为 菱 形 且 A=60?ADE=180 60 =120，又 AD HE?DEH=180 120 =60，作 DM HE 于 M 点，则DEM为 30 60 90 的三角形，又 DE=4?EM=2，DM=2，且四边形 EFGH 为正方形?H=I=90，即四边形 IDMH 为矩形?ID=HM=52=3，梯形 HEDI 面积=8故选 B点评：本题考查了梯形的面积的计算，解题的关键是正确的利用菱形和正方形的性质计算梯形的底和高8.（2011 山东济南，11，3 分）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（）AAC=BDBOBC=OCBCSAOB=S DOCDBCD=BDC考点：等腰梯形的性质。分析：由四边形ABCD是等腰梯形，ADBC，根据等腰梯形的对角线相等，即可证得AC=BD，又由ABCDCB与AOBDOC，证得 B 与 C 正确，利用排除法即可求得答案解答：解：四边形ABCD是等腰梯形，ADBC，AB=CD，AC=BD，故 A 正确；ABC=DCB，BC=CB，ABCDCB（SAS），OBC=OCB，故 B 正确；ABO=DCO，AOB=DOC，AOBDOC（AAS），S AOB=S DOC，故 C 正确利用排除法，即可得D 错误故选 D点评：此题考查了等腰梯形的性质与全等三角形的判定与性质解此题的关键是注意数形结合思想的应用与排除法的应用9.（2011 广西来宾，11，3 分）在梯形ABCD中 如图所示)，已知ABDC.DAB=90,ABC=60 ,EF 为中位线。且BC=EF=4,那么AB=（）DABCEFA.3 B.5 C.6 D.8 考点：梯形中位线定理；含30 度角的直角三角形。专题：计算题。分析：根据已知可求得两底之和的长及腰长等于上底，从而可得到下底的长等于上底长的2 倍，从而不难求得梯形的下底长解答：解：作 CG AB 于 G 点，ABC=60 BC=EF=4，BG=3，EF 为中位线，DC+AB=DC+AG+BG=2EF=2 4=8 AG=DC=（82）2=3，AB=AG+BG=5 故选 B点评：此题综合运用了梯形的中位线定理、直角三角形的性质在该图中，最关键的地方是正确的构造直角三角形10.（2011?临沂，12，3 分）如图，梯形ABCD 中，AD BC，AB=CD AD=2，BC=6，B=6 则梯形 ABCD 的周长是（）A、12 B、14 C、16 D、18 考点：等腰梯形的性质；含30 度角的直角三角形。分析：从上底的两个端点向下底作垂线，构造直角三角形和矩形，求得直角三角形的直角边的长利用告诉的锐角的度数求得等腰梯形的腰长，然后求得等腰梯形的周长解答：解：作 AE BC于 E点，DF BC 于 F点，AD BC，四边形 AEFD 为矩形，AD=2，BC=6，EF=AD=2，BE=CF=（62）2=2，B=60，AB=DC=2BE=2 2=4，等腰梯形的周长为：AB+BC+CD+DA=4+6+4+2=16故选 C点评：本题考查了等腰梯形的性质及含30 的直角三角形的性质，解题的关键是正确的作辅助线构造直角三角形和矩形，从而求得等腰梯形的高11.（2011 山东淄博 7，3 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，AD BC，AB=DC=1，BD 平分ABC，BD CD，则AD+BC 等于（）A.2 B.3 C.4 D.5 考点：等腰梯形的性质。分析：由 AD BC，BD 平分ABC，易证得ABD是等腰三角形，即可求得AD=AB=1，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得 C=2 DBC，然后由 BD CD，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得DBC=30，则可求得BC 的值，继而求得AD+BC 的值解答：解：AD BC，AB=DC，C=ABC，ADB=DBC，BD平分ABC，ABC=2 DBC，ABD=DBC，ABD=ADB，AD=AB=1，C=2 DBC，BD CD，BDC=90，DBC+C=90，C=60，DBC=30，BC=2CD=2 1=2，AD+BC=1+2=3 故选 B点评：此题考查了等腰梯形的性质，等腰三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质等知识此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用12.（2011 年四川省绵阳市，11，3 分）已知等腰梯形ABCD 中，AB CD，对角线 AC、BD 相交于 O，ABD=30，AC BC，AB=8cm，则 COD 的面积为（）A、4 33cm2B、43cm2C、2 33cm2D、23cm2考点：等腰梯形的性质 专题：几何图形问题 分析：由已知ABD=30，可得CAB=30，又因为AC BC，根据直角三角形中 30 度所对的角是斜边的一半可求得BC，AC，的长；进而求出三角形 ACB 的面积，再求出三角形 COB 的面积，所以求出三角形 AOB 的面积，又因为 AB CD所以AOB DOC，利用相似的性质：面积之比等于相似比的平方即可求出COD的面积解答：解：AC BC，ABD=30，CAB=30，AB=8cm，BC=4cm，AC=4 3cm，S ABC=12 4 4=8 3cm，梯形ABCD 是等腰梯形，CD AB，CAB=DCA=30，CAB=30，DAC=DCA=30，CD=AD=BC=4cm，D0=4 33，S ADO=4 33 4=8 33，S AOB=S ABC-S ADO=16 33 AB CD，AOB DOC，（DCAB）2=S DOC=4 33，故选 A点评：此题主要考查等腰梯形的性质：等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；等腰梯形同一底上的两个角相等；等腰梯形两条对角线相等13.（2011?宜昌，12，3 分）如图，在梯形ABCD 中，AB CD，AD=BC，点 E、F、G、H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，则下列结论一定正确的是（）A、HGF=GHEB、GHE=HEFC、HEF=EFGD、HGF=HEF考点：等腰梯形的性质；三角形中位线定理；菱形的判定与性质。专题：计算题。分析：利用三角形中位线定理证明四边形HEFG 是平行四边形，进而可以得到结论解答：解：连接 BD，E、F、G、H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，HE GE=12BD，HE=GE=12BD 四边形 HEFG 是平行四边形，HGF=HEF，故选 D点评：本题考查了等腰梯形的性质及三角形的中位线定理，解题的关键是利用中位线定理证得四边形为平行四边形14.（2011 湖南长沙，10，3 分）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，B 45，AD2，BC4，则梯形的面积为（）A3 B4 C6 D8 DCBA考点：等腰梯形专题：梯形分析：如下图，过点A、D分别作AEBC、DFBC，则四边形AEFD是矩形，从而EFAD2；易知ABEDCF，由BC4 得BEFC1；再由B 45，AEB 90，得AEBE1，故S梯形ABCD21(ADBC)AE21(2 4)13，因此，选 AFEABCD解答：A点评：梯形的问题往往通过作辅助线，将其转化三角形、平行四边形、矩形等问题来解决，本题中就是将其转化为两个等腰直角三角形和一个矩形，从而求出该梯形的高，使得问题得以顺利解决15.（2011?南充，10，3 分）如图，ABC和 CDE 均为等腰直角三角形，点 B，C，D 在一条直线上，点 M 是 AE 的中点，下列结论：tan AEC=BCCD；S ABC+S CDES ACE；BM DM；BM=DM 正确结论的个数是（）A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个考点：锐角三角函数的定义；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；梯形中位线定理。专题：证明题。分析：根据等腰直角三角形的性质及ABC CDE的对应边成比例知，ACABBCECEDCD；然后由直角三角形中的正切函数，得tan AEC=ACEC，再由等量代换求得tan AEC=BCCD；由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b2 2ab（a=b 时取等号）解答；、通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答解答：解：ABC和 CDE 均为等腰直角三角形，AB=BC，CD=DE，BAC=BCA=DCE=DEC=45，ACE=90；ABC CDEACABBCECEDCD tan AEC=ACEC，tan AEC=BCCD；故本选项正确；S ABC=12a2，S CDE=12b2，S梯形 ABDE=12（a+b）2，S ACE=S梯形 ABDES ABCS CDE=ab，S ABC+S CDE=12（a2+b2）ab（a=b 时取等号），S ABC+S CDES ACE；故本选项正确；过点 M 作 MN 垂直于 BD，垂足为 N点M 是 AE 的中点，则 MN 为梯形中位线，N为中点，BMD 为等腰三角形，BM=DM；故本选项正确；又 MN=12（AB+ED）=12（BC+CD），BMD=90，即 BM DM；故本选项正确故选 D点评：本题综合考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线定理、锐角三角函数的定义等知识点在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边16.（2011 四川遂宁，7，4 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，AD BC，AB=DC，AD=3，AB=4，B=60，则梯形的面积是（）A、103B、203C、6+43D、12+83考点：等腰梯形的性质；三角形内角和定理；含30 度角的直角三角形；勾股定理。专题：计算题。分析：过 A 作 AE BC于 E，过 D 作 DF BC于 F，证平行四边形AEFD 和 Rt AEB Rt DFC，推出 AD=EF=3，AE=DF，BE=CF，求出BAE，根据含 30 度角的直角三角形性质求出BE、CF，根据勾股定理求出AE，即可求出答案解答：解：过 A 作 AE BC于 E，过 D 作 DF BC于 F，AE BC，DF BC，AE DF，AD BC，四边形 AEFD 是平行四边形，AD=EF=3，AE=DF，B=60，AEB=90，BAE=30，BE=21AB=2，AEB=DFC=90，AE=DF，AB=CD，Rt AEB Rt DFC，BE=CF=2，BC=2+2+3=7，由勾股定理得：AE=22BEAB=23，梯形的面积=21（AD+BC）AE=21（3+7）23=103，故选 A点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质等知识点的理解和掌握，能求出AE 和 BC 的长是解此题的关键17.（2011?柳州）如图，阴影部分是一块梯形铁片的残余部分，量得 A=100，B=115，则梯形另外两个底角的度数分别是（）A、100、115 B、100、65 C、80、115 D、80、65 考点：梯形。专题：计算题。分析：由梯形的性质可知：A+D=180，B+C=180，继而可求出答案解答：解：由题意得：A+D=180，B+C=180，A=100，B=115，D=80，C=65 故选 D点评：本题考查了梯形的知识，难度不大，熟练掌握梯形的性质是关键二、填空题1.（2011 江苏南京，10，2 分）等腰梯形的腰长为5cm，它的周长是 22cm，则它的中位线长为6 cm考点：梯形中位线定理；等腰梯形的性质。专题：计算题。分析：根据等腰梯形的腰长和周长求出AD+BC，根据梯形的中位线定理即可求出答案解答：解：等腰梯形的腰长为 5cm，它的周长是 22cm，AD+BC=22 55=12，EF为梯形的中位线，EF=（AD+BC）=6 故答案为：6点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，梯形的中位线定理等知识点的理解和掌握，理解梯形的中位线定理 知道EF=12（AD+BC）是解此题的关键2.（2011?江苏宿迁，15，3）如图，在梯形 ABCD 中，AB DC，ADC 的平分线与BCD的平分线的交点 E恰在 AB 上 若AD=7cm，BC=8cm，则 AB 的长度是cm 考点：梯形；等腰三角形的判定与性质。分析：由角平分线的性质与平行线的性质，易证得ADE与 BEC 是等腰三角形，即AE=AD，BE=BC，又由 AD=7cm，BC=8cm，则A 可求得 B 的长度解答：解：ADC 的平分线与BCD的平分线的交点 E 恰在 AB 上，1=2，3=4，AB DC，2=5，3=6，1=5，4=6，AE=AD，BE=BC，AD=7cm，BC=8cm，AB=AE+BE=AD+BC=7+8=15（cm）故答案为：15点评：此题考查了梯形的性质，平行线的性质以及角平分线的定义 此题难度不大，注意有平行线与角平分线出现，一般会有等腰三角形出现3.（2011 盐城，15，3 分）将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是考点：等腰梯形的判定.分析：一组对边平行，一组对边不平行的是梯形，两地角相等的梯形是等腰梯形，因为放在一张矩形纸上可先判断出是梯形，然后证明两底角相等解答：解：放置在一张矩形纸片上，ADBC，AB和DC不平行，四 边 形ABCD是 梯 形 ABC=EDC，BCD=EDC，ABC=DCB，四边形ABCD是等腰梯形故答案为：等腰梯形点评：本题考查梯形的概念和等腰梯形的判定，一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是，底角相等的梯形是等腰梯形，本题先判定是梯形，再判定是等腰梯形4.（2011 内蒙古呼和浩特，16，3）如图所示，在梯形ABCD 中，AD BC，CE是 BCD 的平分线，且 CE AB，E为垂足，BE=2AE，若四边形 AECD 的面积为 1，则梯形 ABCD 的面积为 _ 考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；梯形分析：首先延长BA 与 CD，交于F，即可得FAD FBC与 BCE FCE，然后 S FAD=x，即可求得 S FBC=16x，S BCE=S FEC=8x，S四边形 AECD=7x，又由四边形 AECD 的面积为 1，即可求得梯形 ABCD的面积解答：解：延长 BA 与 CD，交于 F，AD BC，FAD FBC，CE是 BCD 的平分线，BCE=FCE，CE AB，BEC=FEC=90，EC=EC，BCE FCE（ASA），BE=EF，BE=2AE，BF=4AF，设S FAD=x，S FBC=16x，S BCE=S FEC=8x，S四边形 AECD=7x，四边形 AECD的面积为 1，7x=1，x=17，梯形ABCD 的面积为：S BCE+S四边形 AECD=15x=157故答案为：157点评：此题考查了梯形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识 此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用5.（2011 陕西，16，3 分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，对角线ACBD，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD面积的最大值考点：梯形；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质。专题：计算题。分析：过 D 作 DE AC交 BC 的延长线于 E，DH BC于 H，得到四边形ADEC 是平行四边形，推出AC=DE，AD=CE=3，BFH=BDE=90，求出BH=EH=DH=5，根据梯形的面积公式21（AD+BC）?DH，即可求出答案解答：解：过 D 作 DE AC交 BC 的延长线于 E，DH BC于 H，DE AC，AD BC，四边形 ADEC 是平行四边形，AC=DE，AD=CE=3，BFH=BDE=90，BH=EH=21（3+7）=5，DH=5，梯形的面积的最大值是21（AD+BC）?DH=21 10 5=25，故答案为：25点评：本题主要考查对梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线把梯形转化成平行四边形和三角形是解此题的关键6.（2011 四川广安，20，3 分）如图 4 所示，直线OP经过点P(4,43)，过x轴上的点 l、3、5、7、9、11分别作x轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S1、S2、S3Sn，则Sn关于n的函数关系式是_考点：梯形，面积问题，函数解析式专题：规律探究问题分析：设直线OP的函数解析式为ykx，根据题意可知44 3k，所以3k所以3yx当1x时，3y；当3x时，3 3y；当5x时，5 3y；当7x时，7 3y；当9x时，9 3y；当11x时，11 3y；所以133324312S，2537321234332S，39311322034352S，所以4 3 21nSn解答：4 3 21nSn点评：运用待定系数法可以确定一次函数的解析式，根据函数解析式，已知自变量x的值可求得函数y的值，从而可以确定每个梯形的上底与下底的长，根据梯形的面积公式可计算出每个梯形的面积，由此发现规律，根据规律可得Sn关于n的函数关系式7.（2011 重庆江津区，13，4 分）在梯形ABCD中，ADBC，中位线长为 5，高为 6，则它的面积是30 考点：梯形中位线定理。专题：计算题。分析：利用梯形的中位线的定义求得两底和，在利用梯形的面积计算方法计算即可解答：解：中位线长为 5，AD+BC 2 510，梯形的面积为：106230，故答案为 30点评：本题考查的知识比较全面，需要用到梯形和三角形中位线定理以及平行四边形的性质8.（2011 湖北咸宁，15，3 分）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BCAB，2AD，4BC，点E在AB边上，且CE平分BCD，DE平分ADC，则点E到CD的距离为考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；直角梯形。分析：首先由过点E作EFCD于F，过点D作DHBC于H，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，即可得四边形ABHD是矩形，又由CE平分BCD，DE平分ADC，即可得AD=FD，BC=FC，即可求得CD的长，继而在RtDHC中求得DH的长，则可得点E到CD的距离解答：解：过点E作EFCD于F，过点D作DHBC于H，ADBC，ABBC，A=B=90 CE平分BCD，DE平分ADC，AE=EF，BE=EF，EF=AE=BE=AB，ADEFDE，CEFCEB，DF=AD=2，CF=CB=4，CD=6，ABBC，DHBC，ADBC，A=B=BHD=90，四边形ABHD是矩形，DH=AB，BH=AD=2，CH=BCBH=2，在RtDHC中，DH=22CHCD42，EF=22点E到CD的距离为 22故答案为：22点评：此题考查了梯形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质以及直角三角形的性质等知识此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法9.（2011 江苏连云港，16，3 分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为 8，则这个等腰梯形的对角线长为_.考点：等腰梯形的性质；勾股定理；梯形中位线定理。专题：几何图形问题；数形结合。分析：首先由等腰梯形的性质，求得MN BC，EF21（AD+BC），然后过点 D 作 DK AC交 BC的延长线于 K，过点 D 作 DH BC于 H，即可得四边形ACFD 是平行四边形，四边形MNHD是矩形，则可得BDK是等腰梯形，由三线合一的知识，可得BH=EF，在 Rt BDH 中由勾股定理即可求得答案解答：解：如图：已知：AD BC，AB=CD，E，N，F，M 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点，且 EF2+MN2=8 求：这个等腰梯形的对角长解：过点 D 作 DK AC交 BC 的延长线于 K，过点 D 作 DH BC 于H，AD BC，AB=CD，E，N，F，M 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点，EF=21（AD+BC），MN BC，AC=BD，四边形 ACFD 是平行四边形，DK=AC=BD，CK=AD，BH=CH=21BK=21（BC+CK）=21（BC+AD），BH=EF，四边形 MNHD是矩形，DH=MN，在Rt BDH 中，BD2=BH2+DH2=EF2+MN2=8，BD=22这个等腰梯形的对角长为22故答案为：22点评：此题考查了等腰梯形的性质，平行四边形与矩形的性质与判定以及等腰三角形，直角三角形的性质等知识此题综合性很强，而且需要同学们将文字语言翻译成数学语言，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法10.（2011 四川眉山，15，3 分）如图，梯形ABCD中，如果ABCD，AB=BC，D=60，AC丄AD，则B=120 考点：等腰梯形的性质。专题：计算题。分析：由D=60，AC丄AD，得到ACD=30，而ABCD，根据平行线的性质得到BAC=ACD=30，又因为 AB=BC，根据等腰三角形的性质得到BCA=BAC=30，最后根据三角形的内角和定理计算出B 的度数解答：解：D=60，AC丄AD，ACD=90 60 =30，ABCD，BAC=ACD=30，又AB=BC，BCA=BAC=30，B=180 30 30 =120 故答案为：120 点评：本题考查了梯形的性质：梯形的两底边平行也考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理11.（2011 福建福州，13，4 分）如图，直角梯形ABCD中，ADBC，C=90，则A+B+C=270 度考点：直角梯形；平行线的性质分析：根据平行线的性质得到A+B=180，由已知C=90，相加即可求出答案解 答：解：ADBC，A+B=180，C=90，A+B+C=180 +90 =270，故答案为：270点评：本题主要考查对直角梯形，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出A+B的度数是解此题的关键12.2011 福建福州，15，4 分）以数轴上的原点O为圆心，3 为半径的扇形中，圆心角AOB=90，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角CPD=60，点P在数轴上表示实数a，如图如果两个扇形的圆弧部分（?AB和?CD）相交，那么实数a的取值范围是考点：圆与圆的位置关系；实数与数轴分析：两扇形的圆弧相交，界于DA两点重合与CB两点重合之间，分别求出此时PD的长，PC的长，确定a的取值范围解答：解：当AD两点重合时，PO=PDOA=5 3=2，此时P点坐标为a=2，当BC两点重合时，PO=22PC-OB=225-3=4，此时P点坐标为a=4，则实数a的取值范围是4a2故答案为：4a2点评：本题考查了圆与圆的位置关系，实数与数轴的关系关键是找出两弧相交时的两个重合端点13.（2011 四川达州，11，3 分）如图，在梯形ABCD中，ABCD，对角线AC、BD交于点O，则sAOD=sBOC（填“”、“=”或“”）考点：梯形；三角形的面积。专题：数形结合。分析：根据题意可判断出ABD和ABC的同底等高，由此可判断出两者的面积相等，进而可判断出sAOD和sBOC的关系解答：解：由题意得：ABD和ABC的同底等高，sABD和sABC相等，sAOD=sABDsAOB=sABCsAOB=sBOC故答案为：=点评：本题考查了梯形及三角形的面积，难度一般，解答本题的关键是根据梯形的性质判断出ABD和ABC的同底等高14.（2010 河南，15，3 分）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，C=60，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则BFG的周长为3+3考点：直角梯形；等边三角形的性质；解直角三角形分析：首先由已知ADBC，ABC=90 点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证AGDBGF，得到BF=AD，从而求出BFG的周长解答：解：已知ADBC，ABC=90，点E是BC边的中点，即AD=BE=CE=3，四边形ABED为平四边形，DEC=90，A=90，又C=60，DE=CE?sin60=33=3，又，DEF是 等 边 三 角 形，DF=DE=AB=3，AGD=EDF=60 ，ADG=30 ，AG=AD?cot30=333=1，DG=2，FG=DFDG=1，BG=31=2，AGDBGF，BF=AD=3，BFG的周长为 2+1+3=3+3，故答案为：3+3点评：此题考查的知识点是直角梯形、等边三角形的性质及解直角三角形，解题的关键是先由已知推出直角三角形CED，再通过DEF是等边三角形，解直角三角形证明三角形全等求解15.(2011 襄阳，17，3 分)如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD6，BC16，E是BC的中点点P以每秒 1 个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒 2 个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动点P停止运动时，点Q也随之停止运动当运动时间秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形考点：梯形；平行四边形的性质。专题：动点型。分析：由已知以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，(1)当Q运动到E和B之间，(2)当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由ADBC，所以当PDQE时为平行四边形根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解解答：解：由已知梯形，(1)当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：2t2166t，解得：t314，(2)当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：2162t6t，解得：t2，故答案为：2 或314点评：此题考查的知识点是梯形及平行四边形的性质，关键是由已知明确有两种情况，不能漏解16.（2011 湖北十堰，13，3 分）如图等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，AB/DE，BC=8，AB=6，AD=5，则 CDE 的周长是.考点：等腰梯形的性质。专题：计算题；几何变换。分析：根据等腰梯形的性质可得到DE 将梯形分为一个平行四边形和一个等边三角形，则此时CDE的周长就不难求得了解答：解：AD BC，AB DE ABED 是平行四边形 DE=CD=AB=6，EB=AD=5 CE=8 5=3 CDE的周长是 6+6+3=15 点评：此题主要考查了等腰梯形的性质和平行四边形的判定及性质17.（2011 邵阳，16，3 分）如图所示，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=BC，ACBC，B=60，BC=2cm，则上底DC的长是2 cm 考点：等腰梯形的性质；含30 度角的直角三角形.分析：由在等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=BC，B=60，即可求得DAC=CAB=30，又由ABCD，可证得DCA=CAB，则可得DAC=DCA，即可证得CD=AD=BC，问题得解解答：解：ABCD，AD=BC，DAB=B=60，ACBC，ACB=90，CAB=30，DAC=CAB=30，ABCD，DCA=CAB，DAC=DCA，CD=AD=BC=2cm 故答案为 2点评：此题考查了等腰梯形的性质，以及等腰三角形的判定与性质等知识此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用18.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD BC，对角线 AC、BD 把等腰梯形分成了四个小三角形，任意选取其中两个小三角形是全等三角形的概率是16【考点】概率公式；全等三角形的判定；等腰梯形的性质【专题】计算题【分析】首先根据等腰梯形的性质，可证得与全等，又由树状图，可得所有等可能的结果与任意选取其中两个小三角形是全等三角形的情况，然后有概率公式即可求得答案【解答】解：AD BC，AOD COB，AB=AC，ABC=DCB，AB=CD，BC=CB，ABC DCB，ACB=DBC，AOB=DOC，AOD DOC画树状图得：一共有 12 种等可能的结果，任意选取其中两个小三角形是全等三角形的有2 种，任意选取其中两个小三角形是全等三角形的概率是21126故答案为：16【点评】此题考查了等腰梯形的性质，全等三角形的判定，以及树状图法求概率此题综合性较强，难度适中，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比19.（2011 年广西桂林，16，3 分）如图，等腰梯形ABCD中，ABDC,BEAD,梯形ABCD 的周长为 26，DE=4，则BEC的周长为考点：等腰梯形的性质；平行四边形的判定与性质分析：由 AB DC，BE AD，即可证得四边形ADEB 是平行四边形，则可得 AD=BE，AB=DE，又由梯形 ABCD 的周长为 26，DE=4，即可求得BEC的周长答案：解：AB DC，BE AD，四边形 ADEB 是平行四边形，AD=BE，AB=DE，四边形 ABCD 是等腰梯形，BC=AD，梯形ABCD 的周长为 26，AD+CD+BC+AB=AD+DE+EC+BC+AB=BE+2DE+EC+BC=26，DE=4，BE+EC+BC=18 故答案为：18点评：此题考查了等腰梯形的性质与平行四边形的判定与性质此题难度不大，解题的关键是整体思想与数形结合思想的应用20.（2011 四川泸州，17，3 分）如图，半径为2 的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是考点：二次函数的最值；等腰梯形的性质；解直角三角形分析：根据圆心为 O，则OA=OB=OC=OD=2，设腰长为x，设上底长是 2b，利用勾股定理得出，则x2-（2-b）2=R2-b2=CP2，再利用二次函数最值求出即可解答：解：圆心为O，则OA=OB=OC=OD=2，设腰长为x，设上底长是 2b，过 C 作直径的垂线，垂足是P，则 x2-（2-b）2=R2-b2=CP2代入整理得 b=2 42x，所以，y=4+2x+2b=4+2x+4 22x=22x+2x+8，该梯形周长的最大值是 18故答案为 18点评：此题主要考查了二次函数的最值以及等腰梯形的性质和解直角三角形，根据题意得出x2-（2-b）2=R2-b2=CP2，从而利用二次函数最值求法求出是解决问题的关键21.（2011?南充 17，6 分）如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC，点 E，F 在 BC 上，且 BE=FC，连接 DE，AF求证：DE=AF 考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：先根据等腰梯形的性质获得ABF DCE所需要的条件，再利用全等的性质得到DE=AF 解答：证明：四边形 ABCD 为等腰梯形且 AD BC，AB=DC B=C，（1 分）又 BE=FC，BE+EF=FC+EF即 BF=CE，（2 分）ABF DCE，（3 分）DE=AF（4 分）点评：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角三、解答题1.（2011 江苏苏州，23，6 分）如图，已知四边形ABCD 是梯形，AD BC，A=90，BC=BD，CE BD，垂足为E（1）求证：ABD ECB；（2）若DBC=50，求DCE的度数考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质分析：（1）因为这两个三角形是直角三角形，BC=BD，因为 AD BC，还能推出ADB=EBC，从而能证明：ABD ECB（2）因为DBC=50，BC=BD，可求出BDC的度数，进而求出DCE的度数解答：解：（1）AD BC，ADB=EBC CE BD，A=90，A=CEB，在 ABD 和 ECB 中，,.ACEBADBEBCBDCB ABD ECB；（2）DBC=50，BC=BD，EDC=65，又 CE BD，CED=90，DCB=90-EDC=25 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，以及直角梯形的性质，直角梯形有两个角是直角，有一组对边平行2.（2011 江苏无锡，26，6 分）如图，等腰梯形MNPQ 的上底长为 2，腰长为 3，一个底角为 60 正方形ABCD 的边长为 1，它的一边 AD 在 MN 上，且顶点 A 与 M 重合现将正方形ABCD 在梯形的外面沿边 MN、NP、PQ 进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q 重合即停止滚动（1）请在所给的图中，用尺规画出点A 在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求正方形在整个翻滚过程中点A 所经过的路线与梯形MNPQ的三边 MN、NP、PQ 所围成图形的面积S考点：扇形面积的计算；等腰梯形的性质；弧长的计算；解直角三角形。专题：作图题；几何综合题。分析：（1）根据点 A 绕点 D 翻滚，然后绕点 C 翻滚，然后绕点 B 翻滚，半径分别为1、2、1，翻转角分别为90、90、150，据此画出圆弧即可（2）根据总结的翻转角度和翻转半径，求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可解答：解：（1）作图如图；（2）点A 绕点 D 翻滚，然后绕点 C 翻滚，然后绕点 B 翻滚，半径分别为 1、2、1，翻转角分别为 90、90、150，S=22121436011502360)2(9023601180=2+65+2=37+2点评：本题考查了扇形的面积的计算、等腰梯形的性质、弧长的计算，是一道不错的综合题，解题的关键是正确的得到点A 的翻转角度和半径3.（2011 新疆建设兵团，24，10 分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD4，BC9，B 45 动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动（1）求AB的长；（2）设BPx，问当x为何值时PCQ的面积最大，并求出最大值；（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形分析：（1）作AEBC，根据题意可知BE的长度，然后，根据B的正弦值，即可推出AB的长度；（2）作QFBC，根据题意推出BPCQ，推出CP关于x的表达式，然后，根据C的正弦值推出高QF关于x的表达式，即可推出面积关于x的二次函数式，最后根据二次函数的最值即可推出x的值；（3）首先假设存在M点，然后根据菱形的性质推出，BAPBBAP 45，这是不符合三角形内角和定理的，所以假设是错误的，故AB上不存在M点解答：解：（1）作AEBC，等腰梯形ABCD中，AD4，BC9，BE（BCAD）22.5，B 45，AB522，（2）作QFBC，等腰梯形ABCD，BC 45，点P和点Q的运动速度、运动时间相同，BPx，BPCQx，BC9，CP9x，QF22x，设PQC的面积为y，y（9x）?22x12，即y24x2924x，当xb2a92时，y的值最大，当x92时，PQC的面积最大，（3）假设AB上存在点M，使得四边形PCQM为菱形，等腰梯形ABCD，BC 45，CQCPBPMP，BCMPB 45，BMP 45，BAPBBMP 45，不符合三角形内角和定理，假设不存在，边AB上不存在点M，使得四边形PCQM为菱形点评：本题主要考查等腰梯形的性质、解直角三角形、二次函数的最值、内角和定理、菱形的性质，关键在于根据图形画出相应的辅助线，熟练掌握相关的性质定理即可4.（2011重庆市，24，10 分）如图,在直角梯形ABCD中，AB CD,AD DC,AB=BC,且AE BC.求证：AD=AE；若 AD=8，DC=4，求 AB 的长.考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：（1）连接 AC，证明ADC与 AEC 全等即可；24题图BACDE（2）设 AB=x，然后用 x 表示出 BE，利用勾股定理得到有关x 的方程，解得即可答案：24解：（1）连接 AC AB CD ACD=BAC AB=BC ACB=BAC ACD=ACB AD DC AE BC D=AEC=900 AC=AC ADCAEC AD=AE（2）由（1）知：AD=AE，DC=EC 设 ABx,则 BE=x 4，AE=8 在 Rt ABE 中A EB=900由勾股定理得：2228(4)xx解得：x=10 AB=10 24题图BACDEA B E G C D F 24 题图点评：本题考查梯形，矩形、直角三角形的相关知识解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解5.（2010重庆，24，10 分）如图，梯形ABCD中，ADBC，DCB=45，CD=2，BDCD过点C作CEAB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF（1）求EG的长；（2）求证：CF=AB+AF考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理分析：（1）根据BDCD，DCB=45，得到DBC=DCB，求出BD=CD=2，根据勾股定理求出BC=22，根据CEBE，点G为BC的中点即可求出EG；（2）在线段CF上截取CH=BA，连接DH，根据BDCD，BECD，推 出 EBF=DCF，证 出 ABDHCD，得 到AD=BD，ADB=HDC，根 据ADBC，得到 ADB=DBC=45 ，推 出ADB=HDB，证出ADFHDF，即可得到答案A B E G C D F 24 题答图解答：（1）解：BDCD，DCB=45，DBC=45 =DCB，BD=CD=2，在RtBDC中BC=22BDCD=22，CEBE，点G为BC的 中 点，EG=12BC=2答：EG的长是2（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，BDCD，BECE，EBF+EFB=90，DFC+DCF=90，EFB=DFC，EBF=DCF，DB=CD，BA=CH，ABDHCD，AD=DH，ADB=HDC，ADBC，ADB=DBC=45，HDC=45，HDB=BDCHDC=45，ADB=HDB，AD=HD，DF=DF，ADFHDF，AF=HF，CF=CH+HF=AB+AF，CF=AB+AF点评：本题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键6.（2011?贺州）如图，在梯形 ABCD 中，AB CD，AB=3CD，对角线 AC、BD 交于点 O，中位线 EF与 AC、BD 分别交于 M、N 两点，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD 面积的（）A、B、C、D、考点：梯形中位线定理；三角形中位线定理。分析：首先根据梯形的中位线定理，得到EF CD AB，再根据平行线等分线段定理，得到M，N 分别是 AD，BC 的中点；然后根据三角形的中位线定理得到CD=2EM=2NF，最后根据梯形面积求法以及三角形面积公式求出，即可求得阴影部分的面积与梯形ABCD 面积的面积比解答：解：过点 D 作 DQ AB，交 EF于一点 W，EF 是梯形的中位线，EF CD AB，DW=WQ，AM=CM，BN=DN EM=CD，NF=CD EM=NF，AB=3CD，设CD=x，AB=3x，EF=2x，MN=EF（EM+FN）=x，S AME+S BFN=EM WQ+FN WQ=（EM+FN）QW=x?QW，S梯形 ABFE=（EF+AB）WQ=QW，S DOC+S OMN=CD DW=xQW，S梯形 FECD=（EF+CD）DW=xQW，梯形ABCD 面积=xQW+xQW=4xQW，图中阴影部分的面积=x?QW+xQW=xQW，图中阴影部分的面积是梯形ABCD 面积的：=故选：C点评：此题考查了三角形中位线定理、平行线等分线段定理和梯形的中位线定理和梯形面积与三角形面积求法，解答时要将三个定理联合使用，以及得出各部分对应关系是解决问题的关键7.（2011?广东汕头）如图，直角梯形纸片ABCD 中，AD BC，A=90，C=30，折叠纸片使BC 经过点 D，点 C 落在点 E 处，BF是折痕，且 BF=CF=8（1）求BDF的度数；（2）求 AB 的长考点：直角梯形；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形。专题：综合题。分析：（1）利用等边对等角可以得到FBC=C=30，再利用折叠的性质可以得到EBF=CBF=30，从而可以求得所求角的度数（2）利用上题得到的结论可以求得线段BD，然后在直角三角形ABD中求得 AB 即可解答：解：（1）BF=CF=8，FBC=C=30，折叠纸片使 BC 经过点 D，点 C 落在点 E处，BF 是折痕，EBF=CBF=30，EBC=60，BDF=90；（2）EBC=60 ADB=60，BF=CF=8 BD=B
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