静电唯一性定理

静电唯一性定理我们将证明，如果我们得到了满足给定边界条件的泊松方程的解，那么，这个解是唯 的。这就是静电唯一性定理。下面我们证明这一定理并初步介绍它的应用。在由边界面S包围的求解区域V内，若：1) 区域/内的电荷分布给定；2) 在边界面s上各点，给定了电势甲| ,或给定了电势法向偏导数些， 则V内的电势唯一确定。以上的表述就是静电唯一性定理。下面，我们用反证法证明静电唯一性定理。证：假定在区域V内的电荷密度分布为p(x),且有两个不同的解和满足泊松方程 及给定边界条件(给定的电势值(p|或电势法向偏导数查)。艮sdnSV2Q) =, V2(p =12并有p I =p =|2dV=0(2-2-5)V因|V|2 0,满足上式的条件只能是在求解区域v内各点V。= 0。因此，(P1 -(P2=常数如果在边界上(或部分边界上)给定了电势(ps，则因s =色s，此常数为零；若全部边界 条件给出的不是电势，而是(dp/dn)s，此常数不一定为零。但由式E = -Vp，区域V内的电 场唯一确定，一个常数并不改变电场的基本特性，通常为了方便，此常数可选择为零。由此，我们最初假定p1和p2是两个不同的电势解是不成立的。这样我们就证明了静电 唯一性定理。在边界上各点给定电势值ps的条件通常我们称为第一类边界条件；而给定法向偏导数 条件(dp/dn)s则称为第二类边界条件。从式(2-2-4)来看，若部分边界上给出第一类边界条件， 部分边界上给出第二类边界条件，并不改变我们的结论。若空间存在不同的介质，显然这种情况并没有影响我们的证明过程。因此也不改变我们 的结论。但在实际中，我们通常是将每一种介质作为一个子区域来求解电势问题。子区域之 间的电势通过电势的边值关系连接(衔接)起来而得到整个空间的电势解。因此，在这种情 况下，还必须给出介质分界面的电荷密度，这仍然是“给出求解区域内的电荷分布”情况。若空间存在导体，导体区域不是我们的求解区域，而导体表面则是求解区域的边界。因 此，若空间存在导体，则必须给出导体上的电势或导体所带电荷量，否则不能得到唯一解。 给出了导体上的电势，这是属于第一类边界条件。对于给出了导体所带的电量Q，因导体电 荷分布在表面上，面电荷密度p?，而Pfds = Q，因此这种情况仍属于第二类边界条件问题，其中s为包围导体的封闭面。在应用静电唯一性定理时，要注意的是，有时边界面在无穷远处。静电唯一性定理有两个重要的意义：(1) 它指明了确定电势解的条件是什么。这些条件是：i) 求解区域内的电荷分布情况必须给出(包含Pf = 0)；ii) 求解区域边界上各点必须给定电势值ps，或电势法向偏导数四。s(2) 因满足给定边界条件的泊松方程的解是唯一的，因此我们可以尝试解。只要尝试解 满足区域内电荷分布，满足边界条件，此尝试解就是唯一解。从实际的观点来看，静电唯一性定理的意义在于：无论我们用什么方法，一旦得到了满 足给定边界条件的泊松方程的解，则此解是唯一的，而不用担心有其它的解。这个无论什 么方法”，指的是系统的分析方法、或机灵的猜测、或幸运的猜测、或简单的记住了过去的 类似解而给出符合问题的变形等等方法。需要指出的是：“满足泊松方程的解”意味着解满足了求解区域内的电荷分布。或者说 给定电荷分布既是给定了泊松方程的具体形式。因此，根据静电唯一性定理，确定电势解的 全部条件(简称定解条件)为泊松方程的具体形式和所有边界条件。