导数经济分析中的应用

边际的概念边际的概念 经济学中常见的边际函数经济学中常见的边际函数 弹性分析弹性分析 需求价格弹性需求价格弹性第六节第六节 导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用 导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济管导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用理等许多领域都有十分广泛的应用.下面介绍导数下面介绍导数(或微分或微分)在经济分析中的一些简单应用在经济分析中的一些简单应用.在经济学中我们关心的是当自变量取得一个很小的改变在经济学中我们关心的是当自变量取得一个很小的改变量时量时,函数的变化率是多少函数的变化率是多少,以及如何用瞬时变化率近似以及如何用瞬时变化率近似描述平均变化率描述平均变化率.这种研究问题的方法这种研究问题的方法,称之为边际分析称之为边际分析.一、边际概念一、边际概念 定义定义1 设设 y=(x)为可导为可导函数函数,则称则称(x)的导函数的导函数 为为(x)的边际函数的边际函数.在点在点 x0的值的值 称为称为(x)在在 x0 处的边处的边际函数值际函数值(或变化率、变化速度等或变化率、变化速度等).()fx 0()fx 0000()()()limxf xxf xfxx 0000()()()(lim0)xf xxf xfxx 000()()()f xxf xfxx 0(),xx 当当即即很很小小 时时 有有0 ()yfxx 即即 在经济学中在经济学中,通常取通常取x=1,就认为就认为x达到很小达到很小(再小无再小无意义意义).).故有故有000()()()yf xxf xfx 在经济分析中在经济分析中,常略去常略去“近似近似”二字二字,就得就得(x)在在 x0 处的处的边际值边际值 .0()fx 经济意义经济意义:即当自变量即当自变量 x 在在 x0 的基础上再增加一个单的基础上再增加一个单位时位时,函数函数 f(x)的改变量的改变量.1.边际成本边际成本二、经济学中常见的边际函数二、经济学中常见的边际函数总成本函数总成本函数 C=C(Q)的导数的导数例例1 某机械厂某机械厂,生产某种机器配件的最大生产能力为每生产某种机器配件的最大生产能力为每日日100件件,假设日产品的总成本假设日产品的总成本 C(元元)与日产量与日产量 x(件件)的的函数为函数为21()6020504C xxx 称为边际成本函数称为边际成本函数.0()()()limQC QQC QCQQ 求求:(1)日产量日产量75件时的总成本和平均成本件时的总成本和平均成本;(2)当日产量由当日产量由75件提高到件提高到90件时件时,总成本的平均改变量总成本的平均改变量;(3)当日产量为当日产量为75件时的边际成本件时的边际成本.解解 (1)日产量日产量75件时的总成本和平均成本件时的总成本和平均成本(2)当日产量由当日产量由75件提高到件提高到90件时件时,总成本的平均改变量总成本的平均改变量C(75)/75=106.08(元元/件件)(90)(75)9075CCCx C(75)=7956.25(元元)101.25(/)元元 件件(3)当日产量为当日产量为75件时的边际成本件时的边际成本1()602Cxx 75(75)()xCC x 97.5()元元2.边际收益边际收益总收益函数总收益函数 R=R(Q)的导数的导数称为称为边际收益函数边际收益函数.例例2 某企业产品的市场需求函数为某企业产品的市场需求函数为 其中其中P为价格为价格,Q为需求量为需求量.求求P Q 80(1)总收益函数总收益函数;(2)边际收益函数边际收益函数;(3)计算计算Q=200和和Q=450时的边际收益时的边际收益,并解释其经济意义并解释其经济意义.0()()()limQR QQR QRQQ 解解 (1)总收益函数为总收益函数为R=R(QQ)=)=P P Q=80QQ 2 (2)边际收益函数为边际收益函数为()800.2R QQ(3)计算计算Q=200 和和 Q=450时的边际收益分别为时的边际收益分别为(200)800.2 20040R (450)800.2 45010R 即当即当Q=200个单位时个单位时,边际收益为边际收益为40,其经济意义是销售量其经济意义是销售量在在200个单位的基础上多销售一个单位产品时个单位的基础上多销售一个单位产品时,收益将收益将增加增加40个单位个单位;而当而当Q=450单位时单位时,边际收益为边际收益为10,其其经济意义是销售量在经济意义是销售量在450个单位的基础上多销售一个单位个单位的基础上多销售一个单位 当销售量为当销售量为Q,总利润为总利润为L=L(Q)时时,称称 为销售量为销售量为为Q 时的边际利润时的边际利润,它近似等于销售量为它近似等于销售量为Q 时再多销售一时再多销售一个单位产品所增加或减少的利润个单位产品所增加或减少的利润.()L Q 3.边际利润边际利润总利润函数总利润函数 L=L(Q)=R(Q)C(Q)的导数的导数称为边际利润函数称为边际利润函数.0()()()limQL QQL QL QQ 产品时，收益将减少产品时，收益将减少10个单位个单位.例例3 某糕点加工厂生产某糕点加工厂生产A 类糕点的总成本函数和总收入类糕点的总成本函数和总收入函数分别是函数分别是 22()10020.02 ()70.01.C xxxR xxx和和 求边际利润函数和当日产量分别是求边际利润函数和当日产量分别是200公斤公斤,250公斤和公斤和300公斤时的边际利润公斤时的边际利润.并说明其经济意义并说明其经济意义.解解 (1)总利润函数为总利润函数为L(x)=R(x)C(x)251000.01xx 边际利润函数为边际利润函数为()50.02L xx (2)当日产量分别是当日产量分别是200公斤、公斤、250公斤和公斤和300公斤时的公斤时的200(200)()1xLL x 边际利润分别是边际利润分别是 其经济意义其经济意义:当日产量为当日产量为 200公斤时公斤时,再增加再增加1公斤公斤,则总利润可增加则总利润可增加1元元.当日产量为当日产量为 250公斤时公斤时,再增加再增加1公斤公斤,则总利润无增加则总利润无增加.当日产量为当日产量为300公斤时公斤时,再增加再增加1公斤公斤,则反而亏损则反而亏损1元元.结论结论:当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的()0)L x ,反而使企业无利可图反而使企业无利可图.零点时零点时 (250)0L (300)1L 三、弹性分析三、弹性分析 弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变化时化时,所作出反映的强弱程度所作出反映的强弱程度.即弹性是用来描述一即弹性是用来描述一个量对另一个量的相对变化率的一个量个量对另一个量的相对变化率的一个量.定义定义2 若函数若函数 y=(x)在点在点 x0 0 的某邻域内有定义的某邻域内有定义,0()0,f x 则称则称 x 和和 y 分别是分别是 x 和和 y 在点在点x0 处的绝对处的绝对增量增量,000 lim,xy yx x 存存在在0().x 则称极限值为函数则称极限值为函数 f(x)在在 x0 点处的点处的点弹性点弹性,记为记为定义定义3 设设 y=(x)当当0 x 时时,极限极限00000()()()f xxf xxyxyf x 与与分别为自变量分别为自变量 x 与与(x)在点在点 x0 处的相对增量处的相对增量.并称并称(1)若若 y=(x)在点在点 x0 处可导处可导.则它在则它在 x0 处的处的点弹性点弹性为为 0000()lim()xxyxxy (3)弹性是一个无量纲的数值弹性是一个无量纲的数值,这一数值与计量单位无关这一数值与计量单位无关.000()()fxxf x 0(2)()x 的经济意义是：在的经济意义是：在 x0 处处,当当 x 发生发生1的改变的改变,0()%x 则则(x)就会产生就会产生的改变的改变.(4)弹性函数为弹性函数为0()lim()xyxxxy ()()fxxf x 0()0(0)x 当当时，时，x 与与y 的的变化方向相同变化方向相同(相反相反).由弹性定义可知由弹性定义可知:例例4 当当a、b、k为常数时为常数时,求下列函数的弹性函数及在点求下列函数的弹性函数及在点 x=1处的点弹性处的点弹性,并阐述其经济意义并阐述其经济意义.(1)()(2)()bxkf xaef xx ，()(1)()()fxxxf x 由由(1)b 故故()(2)()()fxxxkf x 由由(1)k 故故 解解bxbxxabebxae 当当b 0时时,x 增加增加(或减少或减少)1%,(x)就增加就增加(或减少或减少)b%;当当b 0)或降或降价价(p 0)对总收益的影响对总收益的影响.下面利用需求弹性的概念下面利用需求弹性的概念,可以可以得出价格变动如何影响总收益的结论得出价格变动如何影响总收益的结论.利用需求价格弹性来分析价格变动对总收益的影响利用需求价格弹性来分析价格变动对总收益的影响.总收益总收益 R 对对 P 的导数是总收益关于的导数是总收益关于价格的边际收益价格的边际收益()RdR PQP QPdP (1)PQQQ(1)(1)pdQQE 总收益总收益 R 表示为价格表示为价格 P 的函数需求函数的函数需求函数()()R PP QP Q P在某价格处在某价格处,根据需要价格弹性的大小根据需要价格弹性的大小,可分为三种情况可分为三种情况:(1)(1)pdRQ pEQ p (1)若若 (称为高弹性称为高弹性)时时,则则R 与与p 异号异号.此时此时,降价降价(p 0)将使收益减少将使收益减少;1dE (2)若若 (称为低弹性称为低弹性)时时,则则R 与与p 同号同号.此时此时,1dE 降价降价(p 0)将使收益增加将使收益增加;(3)若若 (称为单位弹性称为单位弹性)时时,则则 .此时此时,无论是降无论是降价还是提价均对收益没有明显的影响价还是提价均对收益没有明显的影响.1dE 0R1.151p 当当 p=5 时时,(高弹性高弹性),此时降价使收益增加此时降价使收益增加;提价使收益减少提价使收益减少.1p 当当 p=4.35 时时,(单位弹性单位弹性),此时此时,降价降价、提价对收提价对收益没有明显的影响益没有明显的影响;当当 p=4时时,(低弹性低弹性),此时降价使收益减少此时降价使收益减少;0.92 1p 提价使收益增加提价使收益增加;由此对例由此对例5而言而言:下面利用需求弹性的概念下面利用需求弹性的概念,还可以得出价格变动如何影响还可以得出价格变动如何影响需求量的结论需求量的结论.()()()pQppdQpQ pQ pdp dQdQdpQp p dQpQQdpp ppQp pQpQp 需需求求量量的的相相对对改改变变量量为为需需求求量量的的改改变变量量为为 例例6 某商品的需求量为某商品的需求量为2660单位单位,需求价格弹性为需求价格弹性为1.4.若该商品价格计划上涨若该商品价格计划上涨8%(假设其他条件不变假设其他条件不变),问该商问该商品的需求量会降低多少品的需求量会降低多少?解解 设该商品的需求量为设该商品的需求量为Q,在价格上涨时的改变量为在价格上涨时的改变量为8%,1.4ppp 且且ppQQp Q=Q 26601.4 8%2660298