数学教案垂直于弦的直径教学教案

数学教案垂直于弦的直径教学教案 第课时 垂直于弦的直径一 教学目标：(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱 教学重点、难点：重点：垂径定理及应用；从感性到理性的学习能力 难点：垂径定理的证明 教学学习活动设计：一实验活动，提出问题：1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力觉察：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.2、提出问题：老师引导学生观察、分析、觉察和提出问题.通过“演示实验观察感性理性引出垂径定理 二垂径定理及证明：已知：在O 中，CD 是直径，AB 是弦，CDAB，垂足为 E 求证：AE=EB，=，=证明：连结 OA、OB，则 OA=OB又CDAB，直线 CD 是等腰OAB 的对称轴，又是O 的对称轴所以沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，A 点和 B 点重合，AE 和 BE 重合，、分别和、重合因此，AE=BE，=，=从而得到圆的一条重要性质 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 组织学生剖析垂径定理的条件和结论：CD 为O 的直径，CDAB AE=EB，=，=.为了运用的方便，不易出现错误，将原定理表达为：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，预防学生记混.三应用和训练 例 1、如图，已知在O 中，弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm，求O 的半径 分析：要求O 的半径，连结 OA，只要求出 OA 的长就可以了，因为已知条件点 O 到 AB 的距离为 3cm，所以作 OEAB 于 E，而 AEEB AB=4cm 此时解 RtAOE即可 解：连结 OA，作 OEAB 于 E 则 AE=EB AB=8cm，AE=4cm 又OE=3cm，在 RtAOE 中，(cm)O 的半径为 5 cm 说明：学生独立完成，老师指导解题步骤；应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长 a、圆半径 r、弦心距 d、弓形高 h 关系：r=h+d；r2=d2+(a/2)2 例 2、已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点求证 AC=BD 证明略 说明：此题为根底题目，对各个层次的学生都要求独立完成 练习 1：教材 P78 中练习 1，2 两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流 指导学生归纳：构造垂径定理的根本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线弦心距.四小节与反思 教师组织学生进行：知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用 方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足过圆心；垂直于弦；则可得平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧 五作业 教材 P84 中 11、12、13 第二课时 垂直于弦的直径二 教学目标：1使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；2通过对推论的探讨，逐渐培养学生观察、比较、分析、觉察问题，概括问题的能力促进学生制造思维水平的开展和提高 3渗透一般到特别，特别到一般的辩证关系 教学重点、难点：重点：垂径定理的两个推论；对推论的探究方法 难点：垂径定理的推论 1 学习活动设计：(一)分解定理对定理的剖析 1、复习提问：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.2、剖析：教师指导(二)新组合，觉察新问题：A 层学生自己组合，小组交流，B 层学生老师引导，包含原定理，一共有 10 种(三)探究新问题，归纳新结论：1平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.2弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.3 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.4圆的两条平行线所夹的弧相等.(四)稳固练习：练习 1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧这句话对吗为什么 在推论 11中，为什么要附加“不是直径这一条件 练习 2、按图填空：在O 中，1假设 MNAB，MN 为直径，则_，_，_；2 假设 ACBC，MN 为直径，AB 不是直径，则则_，_，_；3假设 MNAB，ACBC，则_，_，_；4假设=，MN 为直径，则_，_，_ 此题目的：稳固定理和推论 五应用、反思 例、四等分 A 层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成 教材 P80 中的第 3 题图，是典型的错误作.此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材 P80 中的第 3 题图的比照，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解培养学生的思维能力 六小结：知识：垂径定理的两个推论 能力：推论的研究方法；平分弧的作图 七作业：教材 P84 中 14 题 第三课时 垂径定理及推论在解题中的应用 教学目的：要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类商量思想的应用意识.通过例 4赵州桥对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来效劳于实践的辩证唯物主义思想 教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用 教学难点：如何进行辅助线的添加 教学内容：(一)复习 1垂径定理及其推论 1：对于一条直线和一个圆来说，具备以下五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：直线过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧.可简记为：“知 2 推 3 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.2应用垂径定理及其推论计算这里不管什么层次的学生都要自主研究 涉及四条线段的长：弦长 a、圆半径 r、弦心距 d、弓形高 h 关系：r=h+d;r2=d2+(a/2)2 3常添加的辅助线：学生归纳 作弦心距；作半径.-构造直角三角形 4 可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.(二)应用例题：让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳 例 1、1300 多年前，我国隋代建筑的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4 米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为 7.2 米，求桥拱的半径(精确到 0.1 米)说明：对学生进行爱国主义的教育；应用题的解题思路：实际问题转化，构造直角三角形数学问题 例 2、已知：O 的半径为 5，弦 ABCD，AB=6，CD=8.求：AB 与 CD间的距离.让学生画图 解：分两种情况：1当弦 AB、CD 在圆心 O 的两侧 过点 O 作 EFAB 于 E，连结 OA、OC，又ABCD，EFCD 作辅助线是难点，学生往往作 OEAB，OFAB，就得 EF=OE+OF，错误的结论 由 EF 过圆心 O，EFAB，AB=6，得 AE=3，在 RtOEA 中，由勾股定理，得，同理可得：OF=3 EF=OE+OF=4+3=7 2当弦 AB、CD 在圆心 O 的同侧 同1的方法可得：OE=4，OF=3 说明：此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形