几个常用函数的导数应用

几个常用函数的几个常用函数的导数导数一、复习一、复习1.解析几何中解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值求值;物理学中物理学中,物体运动过程中物体运动过程中,在某时刻的瞬时速在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同都是极限思想得到本质相同 的数学表达式的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式公式导数导数,导数源于实践导数源于实践,又服务于实践又服务于实践.2.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:(1)()();yf xxf x 求函数的增量(2):()();yf xxf xxx求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim.xyyfxx 求极限，得导函数说明说明:上面的方上面的方法中把法中把x换成换成x0即为求函数在即为求函数在点点x0处的处的 导数导数.说明说明:上面的方法中把上面的方法中把x换成换成x0即为求函数在点即为求函数在点x0处的导数处的导数.3.函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值处的函数值,即即 .这也是求函数在点这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。)(0 xf)(xf 0|)()(0 xxxfxf 4.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.5.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。0()fx（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即000()()().y f xf x x x作业评讲：作业评讲：求曲线求曲线 过原点的过原点的 的切线方程。的切线方程。22 xy2 22 2yxyx 或练习：求过曲线练习：求过曲线y=x3上的点上的点P(1,1)的切线方程的切线方程教学目标教学目标 1掌握五个公式，理解公式的证明过程 2学会利用公式，求一些函数的导数【教学重点】用定义推导常见函数的导数公式【教学难点】公式的推导二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.0()CC 公式一：为常数:(),yf xC解1)函数函数y=f(x)=c的导数的导数.()()0,yf xxf xCC 0,yx0()lim0.xyf xCx 二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数1x 公式二：:(),yf xx解2)函数函数y=f(x)=x的导数的导数.()()(),yf xxf xxxxx 1,yx0()lim1.xyf xxx 二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数22xx公式三：（）2:(),yf xx解3)函数函数y=f(x)=x2的导数的导数.222()()()2,yf xxf xxxxxxx 222,yxxxxxxx 220002()()limlimlim(2)2.xxxyxxxf xxxxxxx 二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数211xx 公式三：（）1:(),yf xx解4)函数函数y=f(x)=1/x的导数的导数.11()()()xyf xxf xxxxxx x 1,()yxxx x200111()()limlim.()xxyf xxxxx xx 21)()2)(),3)(),14)(),5)()yf xCyf xxyf xxyf xxyf xx1y 21 yx 2yx表示表示y=x图象上每一点处的切线图象上每一点处的切线斜率都为斜率都为1这又说明什么这又说明什么?0y 表示表示y=C图象上每一点处的切线图象上每一点处的切线斜率都为斜率都为0这又说明什么这又说明什么?探究：探究：画出函数画出函数y=1/x的图像。根据图像，的图像。根据图像，描述它的变化情况。并求出曲线在描述它的变化情况。并求出曲线在点（点（1,1）处的切线方程。）处的切线方程。x+y-2=012yx原函数导函数f(x)c f(x)f(x)x f(x)f(x)x2f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)012x几个常用函数的导数几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式11.(),()0;2.(),();3.()sin,()cos;4.()cos,()sin;5.(),()ln(0);6.(),();17.()log,()(0,1);ln8.nnxxxxaf xcfxf xxfxnxf xxfxxf xxfxxf xafxaa af xefxef xxfxaaxa 公式 若则公式 若则公式 若则公式 若则公式 若则公式 若则公式 若则且公式 若1()ln,();f xxfxx则 例1求下列函数的导数（1）y2 （2）y=x1245313(4)xyx（）y=三三.典例分析典例分析0y 1112yx5544yxx 25523355yxx例例2.已知已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线是曲线y=x2上的两点，上的两点，(1)求在点求在点P的曲线的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。(2)求在点求在点Q的曲线的曲线y=x2的切线方程的切线方程。(3)求与直线求与直线PQ平行的曲线平行的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。三三.典例分析典例分析题型：求曲线的切线方程题型：求曲线的切线方程2yx解(1),(2)：2(1,1),(2,4)PQyx都是曲线上的点。11|2,xPy 在 点的切线的斜率k22|4,xy在Q点的切线的斜率k12(1),210Pyxxy 在 点的切线方程:即：。44(2),440yxxy在Q点的切线方程:即：。例例2.已知已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线是曲线y=x2上的两点，上的两点，(1)求在点求在点P的曲线的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。(2)求在点求在点Q的曲线的曲线y=x2的切线方程的切线方程。(3)求与直线求与直线PQ平行的曲线平行的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。三三.典例分析典例分析题型：求曲线的切线方程题型：求曲线的切线方程2yx解(3)：4 11,2 1PQ直线的斜率k11,440214yxxy 与PQ平行的切线方程:即：。00|21,x xyx切线的斜率k01,2x1 1(,)2 4M切点;2)11.yxy例3.已知，1)求求曲线在点（，）处的切线方程12()()yxx解1)：1:1(1).2yx 2)切线方程11212x1.2 x1212x22x11即：y=00,),xy解：设切点(01,2kyx又切线0001(),2yyx xx切线方程：74切线过(4,),20014yx00071(4)42yxx，200017224yxx0017xx解得:或149),44切点为(1，)或(7,11491(1)(4)4242yxyx切线方程：或24104490 xyxy 即：或14原函数导函数f(x)cf(x)f(x)xf(x)f(x)x2f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)012x几个常用函数的导数几个常用函数的导数四、小结四、小结基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式11.(),()0;2.(),();3.()sin,()cos;4.()cos,()sin;5.(),()ln(0);6.(),();17.()log,()(0,1);ln8.nnxxxxaf xcfxf xxfxnxf xxfxxf xxfxxf xafxaa af xefxef xxfxaaxa 公式 若则公式 若则公式 若则公式 若则公式 若则公式 若则公式 若则且公式 若1()ln,();f xxfxx则五、练习五、练习:求曲线求曲线y=x2在点在点(1,1)处的切线与处的切线与x轴、直线轴、直线x=2所所围城的三角形的面积。围城的三角形的面积。