偏导数和全微分的概念

1.偏导数和全微分的概念一.偏导数 设二元函数 在区域 有定义 是 的内点.若 (常数),一元函数 在 可导,即极限 存在,则称此极限是函数 在 关于 的偏导数,表为类似若 (常数),一元函数 在 可导,即极限 存在,则称此极限是函数 在 关于 的偏导数,表为(,)zf x y2D R00(,)px yD0y y0(,)f x y0 x0000000(,)(,)lim,(,)xf xx yf x yxx yDx 00(,)p x yx0000(,)(,)0000,(,),(,)xyxyxxzfzxyfxyxx或0 xx0y0000000(,)(,)lim,(,)yf xyyf xyxyyDy (,)zf x y(,)zf x y00(,)p x yy0000(,)(,)0000,(,),(,)xyxyyyzfzxyfxyyy或0(,)f x y若函数 在区域 任意 都存在关于 (关于 )的偏导数,则称函数 在区域 存在关于(关于 )的偏导数,也简称偏导数,表为一般情况下 元函数 在点 关于 的偏导数 是极限由此可见,多元函数的偏导数就是多元函数分别关于每一个自变量的导数,因此可按一元函数的求导法则和求导公式来求偏导数(,)zf x yD(,)x yxy(,)zf x yDxy,(,),(,)xxzfz x y fx yxx或(,(,),(,)yyzfz x y fx yyy或n12(,)nuf x xx12(,)nnQ x xxR(1,2,)kx knQkux110(,)(,)limkkknknQxkkf xxxxf xxxuxx 二.全微分 对于一元函数 ，我们曾研究过 关于 的微分，它具有两个特性，即;(i)它与自变量的改变量成比例，即 ，(ii)当自变量的改变量 充分小时，它与函数的改变量 之差是较自变量的改变量 为更高阶的无穷小量,现在我们讨论多元函数情形，例如，对于二元函数 ，我们也从同样的思想出发，引进如下定义.全微分的定义 若函数 的全改变量 可表示为 且其中 与 ，无关而仅与 ，有关，则称函数)(xfy yx)()(dxxxxfdyx)(xodyy),(yxfu),(yxfu u),(),(yxfyyxxfu)(22yxoyBxABA,xyxyx 在点 可微，并称 为 在点 的全微分，记为 或 ，即 若 在点 可微，则有这就是说若 在点 可微，则 存在且等于 .完全一样地可以证明此时 也存在且等于 .故有),(yxf),(yxyBxA),(yxf),(yxdu),(yxdfyBxAyxdfdu),(),(yxf),(yxf),(yx),(yxxyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0AxxoxAx)(lim20),(yxfxA),(yxfyBnndxxudxxudxxudu2211 定理 若 及 在点 及其一领域内存在，且在这一点它们都连续，则函数 在该点可微.),(yxfx),(yxfy),(yx),(yxfu 例4 设 ，则有 .例5 写出 的全微分.)sin(),(yxezyxfzx22xyyxuxydydxydyxxydxdu2222dyxyxdxyxy)2()2(22三、高阶偏导数与高阶全微分 类似于一元函数，可以定义高阶偏导数，就二元函数来说 及 仍是 ，的二元函数，还可以讨论它们关于 或 的偏导数，这些就称为函数 的二阶偏导数.例如，关于 再求偏导数，即 就称为 关于 的二阶偏导数，记为 或 ，也可记为 .相仿地，还有),(yxfu),(yxfx),(yxfyxyxy),(yxfxux)(xux),(yxfx22xuxxf2xf二元函数的二阶偏导数一共有四个，其中 和 称为混合偏导数.同样，还可以定义更高阶的偏导数，如 ，或记为 ，或记为等等.例6 设（1），（2）求二阶偏导数.定理 若 及 在点 都连续，则 .xyyxu),(yxeyxuxsin),(xyfyxf),(yx),(),(yxfyxfyxxyxffxx)(2333xuxffxyyx)(2xfyx)(定理 若 在点 都连续，则yxxyff 及),(yx),(),(yxfyxfyxxy