几何类问题

C4、面积。如图，A为三角形CDE的边DE上的中点，CD=3BC，形ABD及三角形ACE的面积。几何计算（一） 三角形的等积变换及应用一、内容概述及要求ah1、由三角形的面积计算公式：S二三三角形的面积与形状无关而只与底和高的大小有关。进一步推想可知：（1）要保持三角形的面积不变，一方面可以分别保持三角形的底，则面积的变化与另一个的变 化之积。（2）在三角形中，如果底和高这两个量有其中一个保持不变，则面积的变化与另一个的变化成 比例。（3）在三角形中，如果底和高这两个量都发生变化，则面积的变化等于底和高的变化之积。2、在三角形的面积计算与推理过程中要注意：（1）培养自己进行正确的、多角度的识图能力，特别是关于平行线之间的距离处处相等；（2）将所求部分自觉纳入已知条件充分的、简单可求的图形之内，并进行解题条件和解题关键的 分析。二、例题1、用尽量多的方法，将任意一个三角形分成面积相等的四个三角形。（自己先作任意三角形）2、如图，在梯形ABCD中，AC和BD是对角线，其交点为0,你能够找出几对面积分别相等的三角形?说一说你的想法。3、如图，在三角形ABC中，BE=3AE, CD=2AD。如果三角形ADE的面积为1平方厘米。三角形ABC的5、如图，在三角形ABC中，BD=2AD，AG=2CG, BE=EF=FC。那么阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？并说明理由。6、如图，在平行四边形ABCD中，直线CF与边AB相交于E,边与DA的延长线相交于F,而且AD=2AF,如果三角形ADE的面积为1平方厘米，平行四边形ABCD面积为6厘米。求三角形BEF的面积。7、如图，四边形ABCD的面积为1平方米，而且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH。求四边形EFGH的面积。8、如图，在长方形AEGK的四周上共有12个点，相邻点两点的距离都是1厘米，那么，以这些点为顶点而构成的面积为3平方厘米的三角形共有多少个？C D E9、如图，D，E，F分别是BC、AD、BE上面的三等份点，即BD=2DC，DE=2EA，EF=2FB，而且三角形AABC的面积为27平方厘米，求三角形DEF的面积。10 、B么如图，E是长方形的ABCD的边BC上面的一点，它使得梯形AECD的面积是三角形ABE的面积的2倍，而且BC=9厘米。求BE的长度。11、如图，在平行四边形ABCD中，CE=2EA，CF=2FB，而且平行四边形ABCD的面积为54平方厘米，D求三角形BEF的面积。几何计算（一）练习题1、如图，点 A 、 B 分别为长方形的长、宽上面的中点，那么阴影部分的面积占长方形的面积的几分2、3、之几？如图，如图，在三角形ABC中，EF平行于BC，AB=3AE。正方形ABCD的面积为1平方米，其中三角形BEG的面积是三角形CEG的面积的2倍,角形CFG与三角形DFG的面积相等。那么，该正方形中的四个小三角形的面积之和是多少?4、5、2米?如图，梯形ABCD的面积为45平方厘米，高6厘米。三角形ADE的面积为5平方厘米，BC=10厘如图，米，求阴影部分的面积。6、如图，正方形ABCD的边长为4厘米，CG=3厘米，而长方形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE的长度。分别为64平方厘米和 9平方厘米。求每个长方形的长、宽。7、如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是平行四边形，试证明：平行四边形ABCD的面积等于平行四边形DEFG的面积。8、如图，平行四边形的边BC=10厘米，直角三角形BCE的直角边EC=8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。求CF的长是多少厘米?2）如图，有一个三角形纸片沿虚线折叠得到下图，它的面积与原来三角形面积比为 2:3，而且阴影部分的面积为5平方厘米，求原来三角形的面积。、内容概述几何计算(二)：组合图形的面积计算1、组合图形是相对与简单的基础图开而言的。基础图形：三角形S = ah 2(平行四边形S = ah T长方形T正方形 梯形S =( + bh 2n 兀r 2 弧线形圆S “2 *, C = 2尙T扇形S =歸组合图形则是由若干个简单图形通过一定的组合方式拼接成不规则图形，因此在计算机组合图形的面积时首先分析它是由哪些已知的基础图形通过怎样的方式构造而来,然后运用一些常规剑的技巧与处理手段进行计算。2、常规技巧介绍与举例：1)相加法将所求图形分解为几个已知的基础图形之各，分别计算后再相加。2)如图：阴影部分=正方形圆)3)4)要求阴影部分面积，先作辅助线：连接AC。这样便将阴影部分转化为两个已知的三角形。添加辅助线法根据具体情况在所求图形中添加辅助线，将所求图形转化为若干个已知的基础图形的和、差，再用相加法或相减法处理。割补法将所求图形的某一个部分切割下来后在不改变面积的前提下补到图形中的另一位置，从而使所求图形转化为一个基础图形或一个简单、直观易求的图形。如图：为计算阴影部分的面积，先将右边的部分切下补到左边则阴影部分转化为一个等腰直角三角形。注：割补法实际上是重新组合法的一个特例：在割补法中还可融入间接计算的思想而割补阴影部分以外的空白部分。6）对称添补法在观察所求图形时常常发现：直接求非常困难，而如果能够作出所求图形的对称图形时再来计算将使问题变得相当简单。如图：如已知半径的长度）通过对称添补可知1阴影部分=（4圆一等腰直角三形）宁27）重叠法将某些所求图形看成在某一个基础图形中作若干个另外的基础图形而形成的重叠部分，这样再利用容斥原理解题。1阴影部分可以看成一个正方形中作两个以它的边长为半径的丁圆41而成的重叠部分。因此：阴影部分=圆X2正方形4二、例题与习题1、求下列各题中阴影部分的面积。（单位：厘米）2、3、5、用同样的长方形条砖在一花丛周围镶成一个正方形边框，如图，边框的周长为264 厘米，里边小正方形的面积为900平方厘米。求每块条砖的长、宽各是多少厘米？6、一块长方形钢板，长截下4 分米、宽截下1 分米后成了一块正方形钢板。如图，面积比原来减少7、8、9、49 平方分米。求原来长方形钢板的面积。如图，积。如图，如图，有一个圆心角为45度的扇形，其中直角三角形BOC的直角边为6厘米。求阴影部分的面大正方形的面积比小正方形面积多24平方厘米，等腰直角三角形ABC的腰长10厘米，现在以A为圆心、EF为圆弧组成扇形AEF,这样阴影部分甲、乙面积相等。求扇形AEF的面积。10、有一根圆柱形木材长6米，如果将它锯成3段圆柱形木料，其表面积将增加12.56平方分米。已知每立方厘米木材重4.5克，那么这根木材原来重多少千克？11、有一个高10分米的无盖圆柱形铁桶，如果将高减少2分米后，所得圆柱形铁桶的表面积就减少12.56平方分米。那么这个铁桶原来的容积是多少？几何计算（二） 练习题1、如右图，有一个直径为3 厘米的半圆，已经移动到C点。求阴影部分的面积。2、一个梯形，如果上底增加4 厘米、下底和高不变，它的面积将增加5 平方厘米；如果是高增加5 厘米、上底和下底都不变，则面积增加30 平方厘米。求原梯形的面积。3、一个圆锥比一个圆柱小1200 立方厘米，圆柱的底面积是400 平方厘米，比圆锥的底面积小20%而圆锥高36 厘米。那么圆柱的高是多少厘米？4、如图，求阴影部分的面积。5、有 5 个外边长为 10 厘米的正方形木框，木框的宽度是1 厘米，将它们（如图）摆放在桌面上，求桌面被木框盖住的面积。6、如图，E、F、G、H分别为正方形ABCD各边的中点，求阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比。7、在一只底面半径为30厘米的圆柱形水桶中有一段直径为20厘米的圆柱形钢材，当钢材从水桶中取出时，水桶中的水面下降5 厘米。那么这一段钢材有多长？（假设钢材原来完全没入水中）8、如图，在直角梯形ABCD中，上底AD=8厘米，下底BC=18厘米，高CD=6厘米，且AE=ED, BC=3FC,三角形EGD与三角形CGF的面积相等。求阴影部分的面积。的长方形。那么原来正方形的面积是多少？10、用同样大小的长方形纸片摆成如图所示的图形，已知每张小纸片的宽是12 厘米，求阴影部分的总面积。11、一个长方形被两条直线分成4个长方形，其中三个的面积分别为扭平方米、8半方米、平方米，求另一个长方形的面积。12 、如图，是由一个边长为1米的正方形与一个梯形拼接而成的“火炬”，其中梯形的上底长1.5米；A、B分别为梯形上底和下底的中点，而且AB正好为梯形的高，长0.5米；CD长3米，求 阴影部分的面积13、如图，在棱长为 4 厘米的正方体木块的每个面的中心打一个与正方体的棱平行的洞，洞口是边长为 1 厘米的正方形，洞穿透正方体，求挖洞后的木块的表面积和体积。14、如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=10厘米，D为斜边AC上的中点；以AD为半径画弧父AB于E,以BD为半径画弧叫BC于F。求阴影部分的面积。9、把一个正方形的条边减少20%，相邻的另一条边增加2 厘米，即得到一个与原来正方形面积相等趣味几何图形的计数一、内容概述1、图形的计数是要注意的是防止计数重复或遗漏，同时找到一个合适的方法并尽可能发现出简易的 规律。2、计数图形最基本的方法是分类有序组合法：一方面注意将所要计数的对象分成若干互不相交的类 别；另一方面在计数每一类时能够按照大小、方位顺序来数。但是容易发现：分类有序组合法的过程相当麻烦，如果能够寻求到一定的计数规律而加以运用， 将使得计数的过程变得简便而且增加了准确度。在图形的计数中正是发现了线段的计数规律而加以 推广运用：推广到角、共顶点的三个角形、网格长方形以及长方体。线段的计数规律：在一条线上如果共有n个须，那么它上面的线段总条数为：n + (n-1) + (n-2) + + 3 + 2 +1 二 n(n +1)2推广到网格长方形中求长方形的总数为：长方形个数=长上面的线段条数X宽上面的线段条数推广到网格长方形中求长方体的总数为：长方体个数=长上面的线段条数X宽上面的线段条数X高上面的线段条数3、计数图形的发展规划是：线段三角形长方形和正方形， 同时将平面图形中的平行四边形、梯形和立体图形中的长方体、正方体作为补充，主要在于培养学生的分类思维和有序思维。二、例题1、数一数，图中有多少条线段？AB C DE2、图中有多少个三角形？3、图中共有多少个长水方形？4、图中有多少个长方体？5、图中有多少个正方形？6、图中有多少条线段？7、图中所有三角形的总个数是多少个？8、图中有多少个小于 180的角？D9、由27个棱长为1的小正方体拼成的一个大正方体，问：一共有多少个长方体（不包括正方体）？10 、数一数，下图中各有多少条线段？片飞C b e11、数一数，下列各图中各有多少个锐角？13、数一数，下列各图各有多少个长方形？14、数一数，下列各图各有多少个三角形？图形的计量一、长度的计算1、如图，由6 个边长是 2厘米的正方形拼成，粗线的长就是这个图形的周长，你能算出这个图形的周长是多少厘米吗？一I一I12、如图，0, 02，03分别是大圆内三个小圆的圆心，试比较大圆周长和三个小圆周长之和哪个长些?3、四个一样的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形（如图），大正方形面积是 49 平方米，小正方形面积是4 平方米，问长方形的短边长度几米？4、一个正三角形ABC,每边长1米。在每边上从顶点开始每隔2厘米取一点，然后从这些点出发作平行于其它两条边的平行直线（见下图），这些平行直线相截长三角形 ABC 中，且得到许多边长为2厘米的正三角形。（1）求边长为2厘米的正三角形个数；二、面积的计算1、2、一个长方形被两条直线分成四个长方形（如图），其中三个的面积分别为 20 公亩、25 公亩和 303、公亩，求另一个长方形（即阴影部分）的面积是多少公亩？5、1、2、的长方体洞，以B为底打一个前后对穿的长方体洞，以C为底打一个左右穿通的长方体洞，所得几何体的体积是多少？习题4、图中的每一个小长方形的面积为1，那么图中四边形的面积是多少？1、如图，共有多少个三角形？共有多少个平行四边形？共有多少个梯形？2、如图，共有多少个长方形？共有多少个梯形？/3、数一数，下列各图各有多少条线段？各有多少个三角形？4、如图，有多少个正方形？XXXXXXXXX6、如图，等腰直角三角形的直角边长为 2 厘米，7、如图，求阴影部分的面积。5、如图，两个正方形的大小相等，大圆的面积为S,四个相同小圆的面积之和为S，比较S，S?的 大小。8、9、有一个立方体，棱长为5，如果它的左上方切去一个边长分别为 5、 3、 2 的长方体（如图），那么它的表面积减少了多少？如图，平行四边形的面积为54平方厘米，AC=3AE, BC=3BF。阴影部分的面积为多少平方厘米?10、如图，任意相邻三个点构成的三角形的面积都是2平方厘米，求三角形ABC的面积。11、棱长为1 米的正方体2100个，堆成一个实心的长方体，它的高是10米，长、宽都大于高，求长方体的长与宽的和。12、小马虎在算一个长方体的体积时，把长少算了3，宽多算了 3，这样体积比原来少了 27立方厘 米。求原来长方体的体积。相减法将所求图形看成几个基础图形之差，分别计算后再相减。重新组合法将所求图形根据不改变面积的原则和计算上的需要分拆重新组合成一个新