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第五版线性代数同济版本的答案第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1) 解 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644 (2) 解 acbbaccbabbbaaaccc 3abca3b3c3 (3) 解 bc2ca2ab2ac2ba2cb2 (ab)(bc)(ca) (4) 解 x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3 3xy(xy)y33x2 yx3y3x3 2(x3y3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解 逆序数为 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解 逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解 含因子a11a23的项的一般形式为(1)ta11a23a3ra4s其中rs是2和4构成的排列 这种排列共有两个 即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 (1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4 计算下列各行列式 (1) 解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 abcdabcdad1 5 证明: (1)(ab)3; 证明 (ab)3 (2); 证明 (3); 证明 (c4c3 c3c2 c2c1得) (c4c3 c3c2得) (4) (ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd); 证明 =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd) (5)xna1xn1 an1xan 证明 用数学归纳法证明 当n2时 命题成立 假设对于(n1)阶行列式命题成立 即 Dn1xn1a1 xn2 an2xan1 则Dn按第一列展开 有 xD n1anxna1xn1 an1xan 因此 对于n阶行列式命题成立 6 设n阶行列式Ddet(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转 依次得 证明 D3D 证明因为Ddet(aij) 所以 同理可证 7 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式) (1), 其中对角线上元素都是a 未写出的元素都是0 解 (按第n行展开) anan2an2(a21) (2); 解 将第一行乘(1)分别加到其余各行 得 再将各列都加到第一列上 得 x(n1)a(xa)n1 (3); 解 根据第6题结果 有 此行列式为范德蒙德行列式 (4); 解 (按第1行展开) 再按最后一行展开得递推公式 D2nandnD2n2bncnD2n2 即D2n(andnbncn)D2n2 于是 而 所以 (5) Ddet(aij) 其中aij|ij|; 解 aij|ij| (1)n1(n1)2n2 (6), 其中a1a2 an0 解 8 用克莱姆法则解下列方程组 (1) 解 因为 所以 (2) 解 因为 所以 9 问 取何值时 齐次线性方程组有非零解？ 解 系数行列式为 令D0 得 0或1 于是 当0或1时该齐次线性方程组有非零解 10 问取何值时 齐次线性方程组有非零解？ 解 系数行列式为 (1)3(3)4(1)2(1)(3) (1)32(1)23 令D0 得 0 2或3 于是 当0 2或3时 该齐次线性方程组有非零解 第二章矩阵及其运算 1 已知线性变换 求从变量x1 x2 x3到变量y1 y2 y3的线性变换 解 由已知 故 2 已知两个线性变换 求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换 解 由已知 所以有 3 设 求3AB2A及ATB 解 4 计算下列乘积 (1) 解 (2) 解 (132231)(10) (3) 解 (4) 解 (5) 解 (a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3) 5 设 问 (1)ABBA吗? 解 ABBA 因为 所以ABBA (2)(AB)2A22ABB2吗? 解 (AB)2A22ABB2 因为 但 所以(AB)2A22ABB2 (3)(AB)(AB)A2B2吗? 解 (AB)(AB)A2B2 因为 而 故(AB)(AB)A2B2 6 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A20 则A0 解 取 则A20 但A0 (2)若A2A 则A0或AE 解 取 则A2A 但A0且AE (3)若AXAY 且A0 则XY 解 取 则AXAY 且A0 但XY 7 设 求A2 A3 Ak 解 8 设 求Ak 解 首先观察 用数学归纳法证明 当k2时 显然成立 假设k时成立，则k1时， 由数学归纳法原理知 9 设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵 证明 因为ATA 所以 (BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB 从而BTAB是对称矩阵 10 设A B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA 证明 充分性 因为ATA BTB 且ABBA 所以 (AB)T(BA)TATBTAB 即AB是对称矩阵 必要性 因为ATA BTB 且(AB)TAB 所以 AB(AB)TBTATBA 11 求下列矩阵的逆矩阵 (1) 解 |A|1 故A1存在 因为 故 (2) 解 |A|10 故A1存在 因为 所以 (3) 解 |A|20 故A1存在 因为 所以 (4)(a1a2 an 0) 解 由对角矩阵的性质知 12 解下列矩阵方程 (1) 解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 13 利用逆矩阵解下列线性方程组 (1) 解 方程组可表示为 故 从而有 (2) 解 方程组可表示为 故 故有 14 设AkO (k为正整数) 证明(EA)1EAA2 Ak1 证明 因为AkO 所以EAkE 又因为 EAk(EA)(EAA2 Ak1) 所以 (EA)(EAA2 Ak1)E 由定理2推论知(EA)可逆 且 (EA)1EAA2 Ak1 证明 一方面 有E(EA)1(EA) 另一方面 由AkO 有 E(EA)(AA2)A2 Ak1(Ak1Ak) (EAA2 A k1)(EA) 故 (EA)1(EA)(EAA2 Ak1)(EA)两端同时右乘(EA)1 就有 (EA)1(EA)EAA2 Ak1 15 设方阵A满足A2A2EO 证明A及A2E都可逆 并求A1及(A2E)1 证明 由A2A2EO得 A2A2E 即A(AE)2E 或 由定理2推论知A可逆 且 由A2A2EO得 A2A6E4E 即(A2E)(A3E)4E 或 由定理2推论知(A2E)可逆 且 证明 由A2A2EO得A2A2E 两端同时取行列式得 |A2A|2 即 |A|AE|2 故 |A|0 所以A可逆 而A2EA2 |A2E|A2|A|20 故A2E也可逆由 A2A2EO A(AE)2E A1A(AE)2A1E 又由 A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E (A2E)(A3E)4 E 所以 (A2E)1(A2E)(A3E)4(A2 E)1 16 设A为3阶矩阵 求|(2A)15A*| 解 因为 所以 |2A1|(2)3|A1|8|A|18216 17 设矩阵A可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*)1(A1)* 证明 由 得A*|A|A1 所以当A可逆时 有 |A*|A|n|A1|A|n10 从而A*也可逆 因为A*|A|A1 所以 (A*)1|A|1A 又 所以 (A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)* 18 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A* 证明 (1)若|A|0 则|A*|0 (2)|A*|A|n1 证明 (1)用反证法证明 假设|A*|0 则有A*(A*)1E 由此得 AA A*(A*)1|A|E(A*)1O 所以A*O 这与|A*|0矛盾，故当|A|0时 有|A*|0 (2)由于 则AA*|A|E 取行列式得到 |A|A*|A|n 若|A|0 则|A*|A|n1 若|A|0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立 因此|A*|A|n1 19 设 ABA2B 求B 解 由ABA2E可得(A2E)BA 故 20 设 且ABEA2B 求B 解 由ABEA2B得 (AE)BA2E 即 (AE)B(AE)(AE) 因为 所以(AE)可逆 从而 21 设Adiag(1 2 1) A*BA2BA8E 求B 解 由A*BA2BA8E得 (A*2E)BA8E B8(A*2E)1A1 8A(A*2E)1 8(AA*2A)1 8(|A|E2A)1 8(2E2A)1 4(EA)1 4diag(2 1 2)1 2diag(1 2 1) 22 已知矩阵A的伴随阵 且ABA1BA13E 求B 解 由|A*|A|38 得|A|2 由ABA1BA13E得 ABB3A B3(AE)1A3A(EA1)1A 23 设P1AP 其中 求A11 解 由P1AP 得APP1 所以A11 A=P11P1. |P|3 而 故 24 设APP 其中 求(A)A8(5E6AA2) 解 ()8(5E62) diag(1158)diag(555)diag(6630)diag(1125) diag(1158)diag(1200)12diag(100) (A)P()P1 25 设矩阵A、B及AB都可逆 证明A1B1也可逆 并求其逆阵 证明 因为 A1(AB)B1B1A1A1B1 而A1(AB)B1是三个可逆矩阵的乘积 所以A1(AB)B1可逆 即A1B1可逆 (A1B1)1A1(AB)B11B(AB)1A 26 计算 解 设 则 而 所以 即 27 取 验证 解 而 故 28 设 求|A8|及A4 解令 则 故 29 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆 求 (1) 解 设 则 由此得 所以 (2) 解 设 则 由此得 所以 30 求下列矩阵的逆阵 (1) 解 设 则 于是 (2) 解 设 则 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 1 把下列矩阵化为行最简形矩阵 (1) 解 (下一步 r2(2)r1 r3(3)r1 ) (下一步 r2(1) r3(2) ) (下一步 r3r2 ) (下一步 r33 ) (下一步 r23r3 ) (下一步 r1(2)r2 r1r3 ) (2) 解 (下一步 r22(3)r1 r3(2)r1 ) (下一步 r3r2 r13r2 ) (下一步 r12 ) (3) 解 (下一步 r23r1 r32r1 r43r1 ) (下一步 r2(4) r3(3) r4(5) ) (下一步 r13r2 r3r2 r4r2 ) (4) 解 (下一步 r12r2 r33r2 r42r2 ) (下一步 r22r1 r38r1 r47r1 ) (下一步 r1r2 r2(1) r4r3 ) (下一步 r2r3 ) 2 设 求A 解 是初等矩阵E(1 2) 其逆矩阵就是其本身 是初等矩阵E(1 2(1) 其逆矩阵是 E(1 2(1) 3 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵 (1) 解 故逆矩阵为 (2) 解 故逆矩阵为 4 (1)设 求X使AXB 解 因为 所以 (2)设 求X使XAB 解 考虑ATXTBT 因为 所以 从而 5 设 AX 2XA 求X 解 原方程化为(A2E)X A 因为 所以 6 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的r阶子式? 解 在秩是r的矩阵中 可能存在等于0的r1阶子式 也可能存在等于0的r阶子式 例如 R(A)3 是等于0的2阶子式 是等于0的3阶子式 7 从矩阵A中划去一行得到矩阵B 问A B的秩的关系怎样? 解 R(A)R(B) 这是因为B的非零子式必是A的非零子式 故A的秩不会小于B的秩 8 求作一个秩是4的方阵 它的两个行向量是(1 0 1 0 0) (1 1 0 0 0) 解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵 此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量 9 求下列矩阵的秩 并求一个最高阶非零子式 (1); 解 (下一步 r1r2 ) (下一步 r23r1 r3r1 ) (下一步 r3r2 ) 矩阵的 是一个最高阶非零子式 (2) 解 (下一步 r1r2 r22r1 r37r1 ) (下一步 r33r2 ) 矩阵的秩是2 是一个最高阶非零子式 (3) 解 (下一步 r12r4 r22r4 r33r4 ) (下一步 r23r1 r32r1 ) (下一步 r216r4 r316r2 ) 矩阵的秩为3 是一个最高阶非零子式 10 设A、B都是mn矩阵 证明AB的充分必要条件是R(A)R(B) 证明 根据定理3 必要性是成立的 充分性 设R(A)R(B) 则A与B的标准形是相同的 设A与B的标准形为D 则有AD DB由等价关系的传递性 有AB 11 设 问k为何值 可使 (1)R(A)1 (2)R(A)2 (3)R(A)3 解 (1)当k1时 R(A)1 (2)当k2且k1时 R(A)2 (3)当k1且k2时 R(A)3 12 求解下列齐次线性方程组: (1) 解对系数矩阵A进行初等行变换 有 A 于是 故方程组的解为 (k为任意常数) (2) 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有 A 于是 故方程组的解为 (k1 k2为任意常数) (3) 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有 A 于是 故方程组的解为 (4) 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有 A 于是 故方程组的解为 (k1 k2为任意常数) 13 求解下列非齐次线性方程组: (1) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有 B 于是R(A)2 而R(B)3 故方程组无解 (2) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有 B 于是 即 (k为任意常数) (3) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有 B 于是 即 (k1 k2为任意常数) (4) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有 B 于是 即 (k1 k2为任意常数) 14 写出一个以为通解的齐次线性方程组 解 根据已知 可得 与此等价地可以写成 或 或 这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组 15 取何值时 非齐次线性方程组 (1)有唯一解 (2)无解 (3)有无穷多个解? 解 (1)要使方程组有唯一解 必须R(A)3 因此当1且2时方程组有唯一解. (2)要使方程组无解 必须R(A)R(B) 故 (1)(2)0 (1)(1)20 因此2时 方程组无解 (3)要使方程组有有无穷多个解 必须R(A)R(B)3 故 (1)(2)0 (1)(1)20 因此当1时 方程组有无穷多个解. 16 非齐次线性方程组当取何值时有解？并求出它的解 解 要使方程组有解 必须(1)(2)0 即1 2 当1时 方程组解为 或 即 (k为任意常数) 当2时 方程组解为 或 即 (k为任意常数) 17 设 问为何值时 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解 解 B 要使方程组有唯一解 必须R(A)R(B)3 即必须 (1)(10)0所以当1且10时 方程组有唯一解. 要使方程组无解 必须R(A)R(B) 即必须 (1)(10)0且(1)(4)0 所以当10时 方程组无解. 要使方程组有无穷多解 必须R(A)R(B)3 即必须 (1)(10)0且(1)(4)0 所以当1时 方程组有无穷多解此时，增广矩阵为 B方程组的解为 或 (k1 k2为任意常数) 18 证明R(A)1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT 使AabT 证明 必要性 由R(A)1知A的标准形为 即存在可逆矩阵P和Q 使 或 令 bT(1 0 0)Q1 则a是非零列向量 bT是非零行向量 且AabT 充分性 因为a与bT是都是非零向量 所以A是非零矩阵 从而R(A)1 因为 1R(A)R(abT)minR(a) R(bT)min1 11 所以R(A)1 19 设A为mn矩阵 证明 (1)方程AXEm有解的充分必要条件是R(A)m 证明 由定理7 方程AXEm有解的充分必要条件是R(A)R(A Em)而| Em|是矩阵(A Em)的最高阶非零子式 故R(A)R(A Em)m 因此 方程AXEm有解的充分必要条件是R(A)m (2)方程YAEn有解的充分必要条件是R(A)n 证明 注意 方程YAEn有解的充分必要条件是ATYTEn有解 由(1) ATYTEn有解的充分必要条件是R(AT)n 因此，方程YAEn有解的充分必要条件是R(A)R(AT)n 20 设A为mn矩阵 证明 若AXAY 且R(A)n 则XY 证明 由AXAY 得A(XY)O 因为R(A)n 由定理9 方程A(XY)O只有零解 即XYO 也就是XY第四章向量组的线性相关性 1 设v1(1 1 0)T v2(0 1 1)T v3(3 4 0)T 求v1v2及3v12v2v3 解 v1v2(1 1 0)T(0 1 1)T (10 11 01)T (1 0 1)T 3v12v2v33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T (31203 31214 30210)T (0 1 2)T 2 设3(a1a)2(a2a)5(a3a) 求a 其中a1(2 5 1 3)T a2(10 1 5 10)T a3(4 1 1 1)T 解 由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得 (1 2 3 4)T 3 已知向量组 A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)T B b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T 证明B组能由A组线性表示 但A组不能由B组线性表示 证明 由 知R(A)R(A B)3 所以B组能由A组线性表示 由 知R(B)2 因为R(B)R(B A) 所以A组不能由B组线性表示 4 已知向量组 A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)T B b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T 证明A组与B组等价 证明 由知R(B)R(B A)2 显然在A中有二阶非零子式 故R(A)2 又R(A)R(B A)2 所以R(A)2 从而R(A)R(B)R(A B) 因此A组与B组等价 5 已知R(a1 a2 a3)2 R(a2 a3 a4)3 证明 (1) a1能由a2 a3线性表示 (2) a4不能由a1 a2 a3线性表示 证明 (1)由R(a2 a3 a4)3知a2 a3 a4线性无关 故a2 a3也线性无关 又由R(a1 a2 a3)2知a1 a2 a3线性相关 故a1能由a2 a3线性表示 (2)假如a4能由a1 a2 a3线性表示 则因为a1能由a2 a3线性表示 故a4能由a2 a3线性表示 从而a2 a3 a4线性相关 矛盾 因此a4不能由a1 a2 a3线性表示 6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为 所以R(A)2小于向量的个数 从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B 因为 所以R(B)3等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关 7 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A 由 知 当a1、0、1时 R(A)3 此时向量组线性相关 8 设a1 a2线性无关 a1b a2b线性相关 求向量b用a1 a2线性表示的表示式 解 因为a1b a2b线性相关 故存在不全为零的数1 2使 1(a1b)2(a2b)0 由此得 设 则 bca1(1c)a2 cR 9 设a1 a2线性相关 b1 b2也线性相关 问a1b1 a2b2是否一定线性相关？试举例说明之 解 不一定 例如 当a1(1 2)T, a2(2 4)T, b1(1 1)T, b2(0 0)T时 有 a1b1(1 2)Tb1(0 1)T, a2b2(2 4)T(0 0)T(2 4)T 而a1b1 a2b2的对应分量不成比例 是线性无关的 10 举例说明下列各命题是错误的 (1)若向量组a1 a2 am是线性相关的 则a1可由a2 am线性表示 解 设a1e1(1 0 0 0) a2a3 am0 则a1 a2 am线性相关 但a1不能由a2 am线性表示 (2)若有不全为0的数1 2 m使1a1 mam1b1 mbm0成立 则a1 a2 am线性相关, b1 b2 bm亦线性相关 解 有不全为零的数1 2 m使1a1 mam 1b1 mbm 0原式可化为1(a1b1) m(ambm)0 取a1e1b1 a2e2b2 amembm 其中e1 e2 em为单位坐标向量 则上式成立 而a1 a2 am和b1 b2 bm均线性无关 (3)若只有当1 2 m全为0时 等式1a1 mam1b1 mbm0才能成立 则a1 a2 am线性无关, b1 b2 bm亦线性无关 解 由于只有当1 2 m全为0时 等式由1a1 mam1b1 mbm 0成立 所以只有当1 2 m全为0时 等式1(a1b1)2(a2b2) m(ambm)0成立 因此a1b1 a2b2 ambm线性无关 取a1a2 am0 取b1 bm为线性无关组 则它们满足以上条件 但a1 a2 am线性相关 (4)若a1 a2 am线性相关, b1 b2 bm亦线性相关 则有不全为0的数 1 2 m使1a1 mam0 1b1 mbm0同时成立 解 a1(1 0)T a2(2 0)T b1(0 3)T b2(0 4)T 1a12a2 01221b12b2 01(3/4)2120 与题设矛盾 11 设b1a1a2 b2a2a3 b3a3a4 b4a4a1 证明向量组b1 b2 b3 b4线性相关 证明 由已知条件得 a1b1a2 a2b2a3 a3b3a4 a4b4a1于是 a1 b1b2a3 b1b2b3a4 b1b2b3b4a1从而 b1b2b3b40 这说明向量组b1 b2 b3 b4线性相关 12 设b1a1 b2a1a2 br a1a2 ar 且向量组a1 a2 ar线性无关 证明向量组b1 b2 br线性无关 证明 已知的r个等式可以写成上式记为BAK 因为|K|10 K可逆 所以R(B)R(A)r 从而向量组b1 b2 br线性无关 13 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组 (1)a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T a3(2 4 2 8)T 解由 知R(a1 a2 a3)2 因为向量a1与a2的分量不成比例 故a1 a2线性无关 所以a1 a2是一个最大无关组 (2)a1T(1 2 1 3) a2T(4 1 5 6) a3T(1 3 4 7) 解 由 知R(a1T a2T a3T)R(a1 a2 a3)2 因为向量a1T与a2T的分量不成比例 故a1T a2T线性无关 所以a1T a2T是一个最大无关组 14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组 (1) 解 因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组. (2) 解 因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组 15 设向量组(a 3 1)T (2 b 3)T (1 2 1)T (2 3 1)T的秩为2 求a b 解 设a1(a 3 1)T a2(2 b 3)T a3(1 2 1)T a4(2 3 1)T 因为 而R(a1 a2 a3 a4)2 所以a2 b5 16 设a1 a2 an是一组n维向量 已知n维单位坐标向量e1 e2 en能由它们线性表示 证明a1 a2 an线性无关 证法一 记A(a1 a2 an) E(e1 e2 en) 由已知条件知 存在矩阵K 使EAK 两边取行列式 得|E|A|K|可见|A|0 所以R(A)n 从而a1 a2 an线性无关 证法二 因为e1 e2 en能由a1 a2 an线性表示 所以R(e1 e2 en)R(a1 a2 an)而R(e1 e2 en)n R(a1 a2 an)n 所以R(a1 a2 an)n 从而a1 a2 an线性无关 17 设a1 a2 an是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是 任一n维向量都可由它们线性表示 证明 必要性 设a为任一n维向量 因为a1 a2 an线性无关 而a1 a2 an a是n1个n维向量 是线性相关的 所以a能由a1 a2 an线性表示 且表示式是唯一的 充分性 已知任一n维向量都可由a1 a2 an线性表示 故单位坐标向量组e1 e2 en能由a1 a2 an线性表示 于是有nR(e1 e2 en)R(a1 a2 an)n即R(a1 a2 an)n 所以a1 a2 an线性无关 18 设向量组a1 a2 am线性相关 且a10 证明存在某个向量ak (2km) 使ak能由a1 a2 ak1线性表示 证明 因为a1 a2
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