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第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算课后篇巩固提升1.已知e1,e2为单位向量,且e1e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,ab,则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3解析由题意可得ab=0,e1e2=0,|e1|=|e2|=1,(2e1+3e2)(ke1-4e2)=0,2k-12=0,k=6.答案B2.如图,空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则FGAB=()A.34B.14C.12D.32解析由题意可得,FG=12AC,FGAB=12ACAB=1211cos60=14,故选B.答案B3.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)(AB-AC)=0,则ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析因为DB+DC-2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB+AC,所以(DB+DC-2DA)(AB-AC)=(AB+AC)(AB-AC)=AB2-AC2=0,所以|AB|=|AC|,因此ABC是等腰三角形.答案B4.已知矩形ABCD,PA平面ABCD,则以下等式中可能不成立的是()A.DAPB=0B.PCBD=0C.PDAB=0D.PACD=0解析选项A,DAABDAPAPAAB=ADA平面PABDAPBDAPB=0;选项C,同选项A知ABPD=0;选项D,PA平面ABCDPACDPACD=0;选项B,若BDPC=0,则BDPC,又BDPA,所以BD平面PAC,故BDAC,但在矩形ABCD中不一定有BDAC,故选B.答案B5.已知空间四边形ABCD中,ACD=BDC=90,且AB=2,CD=1,则AB与CD所成的角是()A.30B.45C.60D.90解析根据已知ACD=BDC=90,得ACCD=DBCD=0,ABCD=(AC+CD+DB)CD=ACCD+|CD|2+DBCD=|CD|2=1,cos=ABCD|AB|CD|=12,AB与CD所成的角为60.答案C6.已知空间向量a,b满足|a|=|b|=1,且a,b的夹角为3,O为空间直角坐标系的原点,点A,B满足OA=2a+b,OB=3a-b,则OAB的面积为()A.523B.543C.743D.114解析|OA|=(2a+b)2=4|a|2+|b|2+4ab=4+1+41112=7,|OB|=(3a-b)2=9a2-6ab+b2=9-61112+1=7,则cosAOB=OAOB|OA|OB|=6|a|2-|b|2+ab7=6-1+11127=1114,从而有sinAOB=1-11142=5314.所以OAB的面积S=12|OA|OB|sinAOB=12775314=534.故选B.答案B7.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则ab+bc+ca的值为.解析由a+b+c=0两边平方得(a+b+c)2=0,所以a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,ab+bc+ca=-a2+b2+c22=-9+1+162=-13.答案-138.四棱柱ABCD-A1B1C1D1各棱长均为1,A1AB=A1AD=BAD=60,则点B与点D1两点间的距离为.解析四棱柱ABCD-A1B1C1D1各棱长均为1,A1AB=A1AD=BAD=60,BD1=BA+AD+DD1,BD12=(BA+AD+DD1)2=BA2+AD2+DD12+2BAAD+2BADD1+2ADDD1=1+1+1+211cos120+211cos120+211cos60=2,|BD1|=2.点B与点D1两点间的距离为2.答案29.在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,D=60,PA平面ABCD,PA=6,求PC的长.解因为PC=PA+AD+DC,所以|PC|2=PC2=(PA+AD+DC)2=|PA|2+|AD|2+|DC|2+2PAAD+2PADC+2ADDC=62+42+32+2|AD|DC|cos120=61-12=49,所以|PC|=7,即PC=7.10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为D1C1的中点,试求A1C1与DE所成角的余弦值.解设正方体的棱长为1,AB=a,AD=b,AA1=c,则|a|=|b|=|c|=1,ab=bc=ca=0.A1C1=AC=AB+AD=a+b,DE=DD1+D1E=DD1+12D1C1=c+12a,A1C1DE=(a+b)c+12a=ac+bc+12a2+12ab=12a2=12.又|A1C1|=2,|DE|=52,cos=A1C1DE|A1C1|DE|=12252=1010,A1C1与DE所成角的余弦值为1010.
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