第5课时二项式定理3522

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二项式定理 一、内容归纳 1 知识精讲:(1)二项式定理:nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110(Nn)其通项是1rTrrnrnbaC (r=0,1,2,n),知 4 求 1,如:555156baCTTnn 亦可写成:1rTrnrnabaC)(nnnnrrnrnrnnnnnbCbaCbaCaCba11110(Nn)特别地:nnnrnrnnnnnxCxCxCxCx101(Nn)其中,rnC二项式系数。而系数是字母前的常数。(2)二项展开式系数的性质:对称性,在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即,22110knnknnnnnnnnnnCCCCCCCC 增减性与最大值:在二项式展开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大,即n偶数:122maxnnnrnTCC;如 果 二 项 式 的 幂 指 数 是 奇 数,中 间 两 项 的 二 项 式 系 数 相 等 并 且 最 大,即 1211212121maxnnnnnnrnTTCCC。所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于n2即nnnnnCCC210;奇 数 项 的 二 项 式 系 数 和 与 偶 数 项 的 二 项 式 系 数 和 相 等,即131202nnnnnCCCC (3)二项式定理的应用:近似计算和估计、证不等式,如证明:Nnnnn,322取nn112的展开式中的四项即可。2重点难点:二项式定理,和二项展开式的性质。3思维方式:一般与特殊的转化,赋值法的应用。4特别注意:二项式的展开式共有 n+1 项,rrnrnbaC是第 r+1 项。通项是1rTrrnrnbaC (r=0,1,2,n)中含有rnbaTr,1五个元素,只要知道其中四个即可求第五个元素。注意二项式系数与某一项系数的异同。当 n 不是很大,|x|比较小时可以用展开式的前几项求nx)1(的近似值。二、问题讨论 例 1(1)nnnnnnCCCC1321393等于 ()An4 B。n43 C。134n D.314 n(2)若n为奇数,则777712211nnnnnnnCCC被 9 除得的余数是 ()A0 B。2 C。7 解:(1)设nnnnnnnCCCCS1321393,于是:nnnnnnnCCCCS3333333221=13333332210nnnnnnnCCCCC 故选 D(2)777712211nnnnnnnCCC11918nn=1191991111nnnnnnnCC 因为n为奇数,所以原式=291991111nnnnnnCC 所以,其余数 为 7,选 C 例 2(1)(优化设计 P179 例 1)如果在nxx421 的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的有理项。(2)(优化设计 P179 例 2)求321xx的展开式的常数项。(3)在5223 xx的展开式中,求x的系数(即含x的项的系数)解:(1)展开式中前三项的系数分别为 1,2n,8)1(nn,由题意得:22n=1+8)1(nn得n=8。设第 r+1 项为有理项,43168121rrrrxcT,则 r 是 4 的倍数,所以 r=0,4,8。有理项为295412561,835,xTxTxT。【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时,常用通项公式,用待定系数法确定 r。(2)法一:321xx61xx,其展开式的通项为 2266111rrrrrxxCT 22661rrrrxC,令0226 r得3r 所以,常数项为204T 法二:解析:321xx=21xx21xx21xx得到常数的情况有:三个括号中全取-2,得(-2)3 一个括号取|x,一个括号取x1,一个括号取-2,得)2(1213CC=-12,因此常数项为-20。(3)5223 xx=xCxCxx1545155522121 含x的项为xxCC24022515415,即含x的项的系数为 240 【思维点拨】密切注意通项公式的使用。练习:(优化设计 P180 思考讨论)(1)在732)1)(1(xxxx的展开式中,求4x的系数。(2)求4)44(xx的展开式中的常数项。(3)求543)1()1()1(xxx50)1(x的展开式中3x的系数。解:(1)原式=6474)1)(1()1(11xxxxx,展开式中4x的系数为141)1(464C(2)4)44(xx=48442)2()44(xxxxx,展 开 式 中 的 常 数 项 为1120)1(24448C(3)方法一:原式=xxxxxx351483)1()1(1)1(1)1()1(3x的系数为451C。方法二:展开式中3x的系数为:353433CCC350C353444CCC350C 3545CC350C451C 例 3(优化设计 P180 例 3)、设 an1qq2qn1(nN*,q1),AnC1na1C2na2Cnnan.(1)用 q 和 n 表示An(2)当13q时,求nnnA2lim 解:q1,anqqn11.AnC1na1C2na2Cnnan qq11 C1nqq112C2nqqn11Cnn q11(C0nC1nC2nCnn)(C0nqC1nq2C2nqnCnn)nnqq)1(211(2)nnA2 nqq21111 因为13q且 q1,所以021q1 所以nnnA2lim=q11【思维点拨】:本题逆用了二项式定理及 C0nC1nCnn2n,这些重要的数学模型常常运用于解题过程中.例 4、若432 x=44332210 xaxaxaxaa,求(1)2420aaa231aa 的值。(2)3210aaaa的值。【解析】:(1)在使用赋值法前,应先将2420aaa231aa 变形为:2420aaa231aa=43210aaaaa43210aaaaa 才能发现x应取什么特殊值:令x=1,则43210aaaaa=432 令x=1 则43210aaaaa=432 因此:2420aaa231aa=432432=43232=1(2)因 为43210aaaaa=43210aaaaa=432,而16244a 所以,3210aaaa=43216 【思维点拨】用赋值法时要注意展开式的形式。思考题:设9922105433321xaxaxaaxx 则286420aaaaa297531aaaaa 解:02212549210aaaa 所以,286420aaaaa297531aaaaa 9210aaaa98210aaaaa=0 备用题:例 5 已知nx()221(。(1)若展开式中第 5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数。(2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项。【解】(1)5642nnnCCCn=7 或n=14。当n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4和 T5 T4的系数=2352213437C;T5的系数=702214347C 当n=14 时展开式中二项式系数最大是项是 T8,T8的系数=343222177714C。(2)由210nnnCCC=79,可得n=12,设1kT顶的系数最大。1212124121221xx,1112121112124444kkkkkkkkCCCC,k1,求证3)11(2nn 证明:2111111)11(1221nCnCnCnCnnnnnnnn nnnnnnnnnnnnnn12321!1!321!212112 2112112122121212!1!31!212112nnn .32131n 从而3)11(2nn【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题,它的取舍根据题目而定。三、课堂小结:1、二项式定理及二项式系数的性质。通项公式。2、要取分二项式系数与展开式项的系数的异同。3、证明组合恒等式常用赋值法。四、作业布置 优化设计 P180
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