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目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/616.3 函数的最大（小）值最大（小）值6.2 函数的极值函数的极值第六节函数性态的研究 第二二章 6.1 函数的单调性函数的单调性6.4 函数的凸性函数的凸性目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/62 函数单调性的判定法函数单调性的判定法定理定理 6.1 设RIf:在 I 上连续，在I 内可导,则下述命题成立：（1）f在 I 上单调增 的充要条件是在I 内0 f;)0(f（2）若在I 内0 f,)0(f在 I 上严格单调增 .f（减）（减）则目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/63证证:(1)充分性任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得2121()()()()0 f xf xfxx),(21xx在 I 上单调增f(2)必要性在 I 上单调增（减）.f对I内的任何 ，x仍在 I 内,xxx 则有因此，(0),（减）.设取使目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/64)(xf)0(0)()(lim0 xxfxxfx)0(0)()(xxfxxf从而目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/65例例1.确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21故)(xf的单调增单调增区间为,)1,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1(12xOy12目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/66yxO说明说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,),(,3xxy23xy 00 xyyOx3xy 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/67例例2.证明20 x时,成立不等式.2sinxx证证:令,2sin)(xxxf,2,0()(上连续在则xf，上可导在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(内单调递减在因此xf从而2,0(,2sinxxx0)2()(fxf,2)(处左连续在又xf因此且证明 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/68*证明0tanxx令,tan)(xxx则xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()(2上递减在x从而0)0()(x即),0(,0tan2xxx目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/69例例3.证明：当 10 xxxex112证证:令2()(1)1,(0,1),xf xx ex x 则2()(12)1xfxx e2()4xfxxe 内，)1,0()0,fx上严格单调减，从而在()(0)0,f xf或2(1)1xx ex 因此原不等式成立.时,由于在故f(0,1)在)1,0()(0)0fxf内在 内严格单调减，得f(0,1)由此又知目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/610定义定义:,),()(内有定义在设函数baxf,),(0bax，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时,)()(0 xfxf(1)则称 为 的极大值点极大值点,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值;)(0 xf,)()(0 xfxf(2)则称 为 的极小值点极小值点,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值.)(0 xf极大值点与极小值点统称为极值点极值点.6.2 函数的极值及其求法函数的极值及其求法目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/611注意注意:3x1x4x2x5xOxaby41,xx为极大值点52,xx为极小值点3x不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如例如,1x为极大值点,2)1(f是极大值 1)2(f是极小值 2x为极小值点,函数12xOy12目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/612由费马定理（定理4.1）知，使()0fx的点称为f的驻点.可导函数的极值点必定是它的驻点.但是，反过来不一定成立.例如，0 x 是3()f xx的驻点但不是f的极值点.yOx3xy 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/613定理定理 6.2(极值第一判别法极值第一判别法)设函数在的某邻域内可导，并且f0 x0()0fx（1）若0 xx时，()0;fx0 xx时，()0,fx则f在0 x处取极大值;（2）若0 xx时，()0,fx()0;fx0 xx时，则f在0 x处取极小值;（3）若()fx在0 x的左右两侧符号不变，f在则0 x处不取极值.目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/614注：不可导点也可能是函数的极值点.例如，函数xxf)(在点 x=0处不可导，但函数在该点取得极小值.由定理6.2，我们得到确定函数极值的第一种方法，步骤如下：(1)求出函数 f 在所讨论区间内的所有驻点与不可导点;(2)考察导函数f 在各驻点与不可导点左右两侧符号的变化，判定它们是否为 f 的极值点，是极大值点还是极小值点；(3)求出 f 的极值.目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/615例例4.求函数求函数32)1()(xxxf的极值.解解:1)求导数32)(xxf3132)1(xx35235xx2)求极值可疑点令,0)(xf得;521x令,)(xf得02x3)列表判别x)(xf)(xf0520033.0)0,(),0(52),(520 x是极大值点，其极大值为0)0(f是极小值点，其极小值为52x33.0)(52f目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/616定理定理6.3(极值第二判别法极值第二判别法)处具有在点设函数0)(xxf0 x证证:(1)由于 f 在处二阶可导，故由带peano余项的二阶Taylor公式得二阶导数,且,0)(0 xf0)(0 xf,0)()1(0 xf若则 在点 取极大值;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值.)(xf0 x)()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf)(20 xx2200001()()()()2f xfxxxxx目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/617从而有2200001()()()()()2f xf xfxxxxx由于右端第二项是第一项的高阶无穷小，因此，在0 x的充分小的邻域内，)()(0 xfxf的符号取决于第一项.所以，若0()0,fx则0()()0,f xf x0 x即0()(),f xf xf 在取极大值.(2)类似可证.目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/618定理定理6.36.3 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数,且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)()1(0 xf若则 在点 取极大值;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值.)(xf0 x证证:(1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00时当xx0)(0 xxxf时，故当00 xxx;0)(xf时，当00 xxx,0)(xf0 x0 x0 x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2)类似可证.目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/619例例5.求函数1)1()(32 xxf的极值.解解:1)求导数,)1(6)(22xxxf)15)(1(6)(22 xxxf2)求驻点令,0)(xf得驻点1,0,1321xxx3)判别因,06)0(f故 为极小值;0)0(f又,0)1()1(ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy1O目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/620定理定理6.4(判别法的推广判别法的推广)阶导点有直到在若函数nxxf0)(,0)()()(0)1(00 xfxfxfn,0)(0)(xfn则:数,且1)当 为偶数时,n,0)(0)(时xfn0 x是极小点;,0)(0)(时xfn0 x是极大点.2)当 为奇数时,n0 x为极值点,且0 x不是极值点.)()()(000 xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0 xfxf)(0nxxonnxxnxf)(!)(00)(当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,0 xx故结论正确.证证:利用 在 点的泰勒公式,)(xf0 x可得目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/621例如例如,例5中1)1()(32 xxf,)35(24)(2 xxxf0)1(f所以1x不是极值点.极值的判别法(定理1 定理3)都是充分的.说明说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如例如:)(xf,)sin2(212xx,20 x0 x2)0(f为极大值,但不满足定理1 定理3 的条件.1xy1O目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/6226.3 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求 在 内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2)最大值 maxM,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf最小值 minm,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/623特别特别:当 在 上单调单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到.对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点.目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/624)1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例6.求函数xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值.解解:显然,)(2541Cxf且)(xf,)1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx121862xx内有极值可疑点在,)(2541xf2,1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5)1(f,4)2(f5)(25f故函数在0 x取最小值 0;在1x及25取最大值 5.,)2)(1(6xx,)2)(1(6xx412512xyO目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/625因此也可通过例例6.求函数说明说明:)()(2xfx)(x求最值点.)(xf与最值点相同,由于)(x令(自己练习)xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值.目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/626(k 为某常数)例例7.铁路上 AB 段的距离为100 km,工厂C 距 A 处20AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运为使货物从B 运到工 20AB100C解解:设,(km)xAD x则,2022xCD)100(320522xkxky)1000(x,)34005(2xxky23)400(40052xky 令,0 y得,15x又,015 xy所以 为唯一的15x极小值点,故 AD=15 km 时运费最省.总运费厂C 的运费最省,从而为最小值点,问D点应如何取?DKm,公路,价之比为3:5,目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/6276.4 函数的凸性函数的凸性定义6.1（凸函数）设f：IR，若,21Ixx,1,0)()1()()1(2121xfxfxxf则称 f 为 I 上的凸 函数.120,1,xx 若)()1()()1(2121xfxfxxf则称 f 为 I 上的严格凸 函数.)()(（凹）（凹）目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/628定理定理6.5 设函数 f 在区间 I 上一阶可导，若f 在 I 上严格单调增则 f 在 I 是(凸）严格凸 的.（单调增）,证：仅证 f 在 I 上是严格凸的结论，关于 f 是凸的证明完全类似.在 I 上严格单调增，f 设)(,2121xxIxx则 1,0令,)1(210 xxx则.201xxx在,01xx与上分别用Lagrange定理，存在),(01xx与使,20 xx),(20 xx目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/62920200020()()()()()()()f xf xfxxf xfxxx10100010()()()()()()()f xf xfxxf xfxxx从而有)()1()(21xfxf001020()()()(1)()f xfxxxxx1020120()(1)()(1)0,xxxxxxx由于12012()(1)()(1)f xf xfxfxx故因此，f 是 I 上的严格凸函数.目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/630推论推论6.1设函数 f 在区间 I 上二阶可导，若,()0 xI fx 则 f 在 I 是严格凸 的.(凸）),0(定义6.2 连续曲线 y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点.yOx目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/631xyO例例8.判断曲线4xy 的凹凸性.解解:,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x,0 y故曲线4xy 在),(上是凸的.说明说明:1)若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线)(xfy,0连续在点x0)(0 xf或不存在,且)(xf 在 两侧异号异号,0 x则点)(,(00 xfx是曲线)(xfy 的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/632例例9.求曲线3xy 的拐点.解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此点(0,0)为曲线3xy 的拐点.Oxy凸凹目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/633xxy24362)(3632xx对应271121,1yy例例10.求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点.解解:1)求y,121223xxy2)求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx3)列表判别)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上是凸的,是凹的,点(0,1)及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凸凸32)1,0(),(271132xyO目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/634利用函数的凸性也可以证明一些不等式.例例11.设1x与2x为任意两个实数，且,21xx 证明不等式221212xxxxeee证：若 f 为 区间I 上的严格凸函数，则不等式)()1()()1(2121xfxfxxf成立.取,21该式变为2)()()2(2121xfxfxxf因此，只要证明xexf)(是),(上的严格凸函数，由上式立即得所证不等式.目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/635内容小结内容小结1.可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在 I 上严格单调递增Ixxf,0)()(xf在 I 上严格单调递减2.连续函数的最值最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/6363.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0 或不存在的点(2)第一充分条件)(xf 过0 x由正正变负负)(0 xf为极大值)(xf 过0 x由负负变正正)(0 xf为极小值(3)第二充分条件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf为极大值)(0 xf为极小值0)(,0)(00 xfxf(4)判别法的推广目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/6372.曲线凹凸与拐点的判别Ixxf,0)(上严格凸的在曲线Ixfy)(Ixxf,0)(+上严格凹的在曲线Ixfy)(拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/638思考与练习思考与练习 1,0上,0)(xf则,)1(,)0(ff)0()1(ff的大小顺序是()0()1()0()1()(ffffA)0()0()1()1()(ffffB)0()1()0()1()(ffffC()(0)(1)(0)(1)Dffff提示提示:利用)(0)(xfxf 单调增加,)10()()0()1(fff及B1.设在目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/639 .),(21)e1,(21212.曲线2e1xy的凸区间是凹区间是拐点为提示提示:)21(e222xyx),(2121),(21及及yOx)e1,(2121)e1,(2121 ;第五节 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/640作业作业 P159 3（2）（4）;7（1）；8；12（1）（3）；第五节
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