第十二章广积分与含参量积分

第十二章广义积分与含参量积分一。广义积分1. 无穷积分与瑕积分定义:f (x)dx = lim f f (x)dxp T+8a设 a 为瑕点，f f (x)dx = lim f f (x)dx。a2。收敛充要条件8项+a+8f (x)dX收 敛=* 0,3A 0, Vp , p A, J2 f (x)dx 0,38 0(5 b - a), Vx , x e (a, a + 8), 12af f (x)dx a, | f (x)| 卯(x)，则+3中(x)dx攵敛 n +3 f (x)dx攵敛；aa+3 |f (x)dx发散 n +3中(x)dx发散。若 Vx e (a,b,| f (x) 1时收敛；x 1时发散。 xX0极限形式：lim xXf (x) = d, (0 d 0)，x T+8若 X 1,0 d v +8， 则+8 f (x)dx收敛;a若 X 1,0 v d +8， 则+8f (x)dx发散。设 a 为 f (x)的瑕点，lim( x - a)x f (x) = d, (0 d +8)，x Ta+若 x v 1,0 1,0 v d 0, f (x) e Ca, +8), F(x)=f f (t)dt在a, +8)上有界，a则当x 0时，+8夹项收敛。x Xa若 f (x) e C(a,b,(a为瑕点),F(x)=ff (t)dt 在(a, b上有界， x则当人0时，J (x - a)Xf (x)dx收敛a二.含参量积分(一)概念：1.定义(1)含参变量的有限积分:I(x) = f f (x, y)dy,x e a,b;cd (x)F(x) = J f (x, y)dy,x e a,b.c ( x )(2)含参变量的无穷积分：I(x) = ff (x, y)dy, x e a, b。c2.3.无界函数的广义积分可以化为无穷限的广义积分。含参量无穷积分可以化为函数级数：f f (x, y)dy =男 F f (x, y)dyck =1 a其中aj为单调增加趋于无穷的数列，a1 = c。所以，含参量无穷积分的理论可平行于函数级数来建立。 (二)含参量无穷积分一致收敛判别法1.利用定义判别：V0,3A c,VM A,Vxe a,b, J f (x,y)dy 0,3M c, VA1, A2 M, Vx e a,b, J2 f (x, y)dyAiI(x) = f f (x, y)dy在a, b上一致收敛o任给单调递增数列a :lima = +co,a = c, Ff (x, y)dy 在a,b上一致收敛。n ns n1n T anJ g (yy)dy3. M-判别法：若有控制函数g(y)满足:|/3, y)| V g(y), Vx e a,b, y e c, +8);+8I(x) = J f (x, y)dy 在a, b上一致收敛。c4.阿贝尔判别法：若(1) J f (x, y)dy关于在x e a, b 一致收敛;c(2) g(x, y)My单调，并关于x为一致有界；则+8 f (x, y)g(x, y)dy关于 x在a, b上一致收敛。5.狄立克莱判别法：若(1) J f (x, y)dy对于A c和x e a, b 一致有界；(2) g (x, y)对y单调，并当y T+8时g (x, y)关于a, b上的x一致趋于零；则J f (x, y)g(x, y)dy关于x在a,b上一致收敛。c+86. 证明不一致收敛的方法:(1 ) 若 3s 0, VM c, 3x e a,b, J f (x, y)dy +8 f (x, y)dy在a, b上不一致收敛。若 f (x, y)在a, b; c, +8)连续，又 +8 f (x, y)dy 在a, b)上收敛，但在x = b处发散，则+8 f (x, y)dy在a, b)上不一致收敛。(见例4)（三）含参量积分的分析性质:性质含参量定积分I (x) = jf (x, y )dyc含参量无穷积分I(x) = f f (x, y)dyc条件结论条件结论连f (x, y) G C(R) R = a, b; c, d I(x) g Ca, bf (x, y) g C a, b; c, +);I (x) GCa,b续性G = (x, y) c(x) y d(x),a x 0, -8 b v+8上连续，且-xe-ax2 sin bx 0, -8 b +8，又因为，j xe-ax2dx收敛，所以，j -e-ax2 sin bxdx, 在(-8, +8) 一致收0+8 b +8一J e-ax2 cos bxdx 02a0(8。1)敛，从而，I (b) = f 一xe-ax2 sin bxdx = e-ax2 sin bx 2a0所以，di (b)布b1(坑 2ab涩db n I (b) = ce 4a， 2a当 b = 0, n c = I (0) = tf e-ax2dx = 1，由(8。1 )式，得2 a0I(b) = -、I(b) = -b- -e专=-bi-e-艾。2a2a 2 * a4a a+fJ f (x, y)dx 在 y ec, d上2.设在a, +f； c, d 内成立不等式 | f (x, y)| 0,BM 0,VA M,Vy e c,d, 丁F(x,y)dx A+fJ F (x, y)dx sA+f+f+f从而有，AAAJ f (x, y)dx J f (x, y) dx 0上一致收敛。0方法一：用阿贝尔判别法因为(1) +ff(x)dx收敛，即关于ye0,+f) 致收敛;0(2) e-xy 0上方法二：VB B 0, e-xy关于x在B, Bf非负、单调减少，f (x)在B,B可积，由积分第二中值定理，对一切y0,毛eB,B,有Je-xyf(x)dx = e-By Jf (x)dx 0上一致收敛。00+6+6因为丁 f (x)dx收敛，-xyf (x)dx在y 0上一致收敛，所以，00Vs 0,3M 0, j f (x)dx 3, j e-xyf (x)dx 3,当x e 0,M时，1 -e-xy 0,Vy :0 y 8，有1 - e-My S, 3(B +1)B =00 y 2 4& U3，E Z 2eo .An又因为/(*, y)在。,+3；C,d连续，所以，在A , A ; C, d 致连续.12对。,可日京),V居【1气，有21ff)-f(x,d)dx f f(x,d)dx-f /(x, J) - f(x, y )dx 0AAA所以，t f (x, y)dx关于yec,d)非一致收敛.A 2e -80004-po C0S t5o证明：F(x) = f 力在(l,+8)上连续可微。lxe(厦门大学2002年试卷)CQQ t证明：Vx e(1,+co),q,8u(1+co),尤 ea,Z?,/(x,r) =,00tx、 cos?,7f (x,/) = hn在3 Vvz 0, Vx e a,b, J cos W e时，(y 0),由狄立克莱判别法知tx tJ f(x, t)dt在a, b 一致收敛，从而F(x)在a, b连续可微，因此，F(x) xe在君连续可微，由Xo的任意性，心在(1,+8)连续可微。6.设 f (t)在(8, +8)连续，证明：lim J f(m)dx = f (0) 0 nT+81 + X0(武汉大学2003年试卷)证明：因为f (t)在(8, +8)连续，Xn对任意的自然数n, t = 1+x C0,1,条日o,1-t日,1，从而，f (X)在0, 1有界，c Xn- 一设f (笊) 0(8 1),0Xn1 + X)dx f (0)J80f()dx +1 + xxnf仁汕f (0)18 f (；(1-8 ) f (0) + J f ( dx,0,1-81 + &1 + x18E n N, f ()f (0) 8，从而有(亡)1(0) 00)同时收敛，且0n=if = lim/zSy(n/z) oh0|0n=l2.判别下列无穷积分的敛散性:(1)+F5 cosx ,Jax ；x + 100o(2)J xsin(x3)dr.o(3)sinxj 1xlnx23.证明，若函数y在。,+8)可导，且单调减少，lim /(x) = o,而积X+oo4.判别广义积分fxp sin(xq)dx (q 0)的绝对收敛与条件收敛。5.证明，若瑕积分j f (x)dx收敛(0是瑕点)，且函数f (x)在(0, 1)上0单调，则lim1 & (k) f (x)dx。f n n k =10(n e N)。6.已知七土 = 1 二(a 0)，计算 f-dX-a + x22 0,b 0。08. 判别下列积分在指定区间上的一致收敛性：(1) T * _ x2 dx，在 R 上；(y 2 + x 2)21单 x sin yx ,(2) J dx ,在a, +8)上(a 0 )；1 + x 20+8(3) J e-xy sin xdx，在(0, +8)上。09. 证明，若f (x, y)在区域D (a x v+8； c y d)上连续，且非负，又+8+8函数 I (y) = 丁 f (x, y)dx 在c, d 连续，则丁 f (x, y )dx 在c, d 上一致收+810.证明，若丁 f (x)dx收敛,0+8+8则 lim J e-xyf (x)dx = J f (x)dx。y项+0