第七章 气体分子运动论

第七章气体分子运动论一、教材系统的安排与教学目的1、教材的安排本章教材的安排，可按讲授顺序概括为以下六个方面（1）分子运动论的基本概念。（2）理想气体状态方程及其微观理论。（3）分子热运动能量的统计规律。（4）气体分子热运动速率的统计分布规律。（5）气体分子的平均自由程，气体内的迁移现象。（6）分子力，范德瓦耳斯方程。2、教学目的（1）使学生确切理解气体压强、温度和内能的微观实质，以及气体分子平均自由程的 观念；掌握麦克斯韦分子速率分布律以及对理想气体实验定律的微观解释。（2）使学生对气体的微观结构和气体内进行的过程建立起鲜明的物理图象，并掌握一 些基本的数量级，如气体在标准状态下的分子数密度、在室温下分子的平均速率和平均平 动动能，分子的有效直径，在标准状态下分子的平均自由程。（3）使学生了解气体分子运动论的研究方法，初步理解统计的概念和求统计平均的方 法，并明确统计规律的特点。二、教学要求1、理解分子运动论的基本概念。2、理解气体状态方程及其微观理论：明确方程中各量的含义、方程的适用条件及单位 制的选用。3、理解气体压强的微观实质和压强公式。4、理解温度的微观实质、温度与分子平均平动能的关系。5、确切地理解分布函数的概念，掌握麦克斯韦速率分布律的公式，理解分布曲线的特 征，并由此而进一步掌握计算三种速率（平均速率、最可几速率、均方根速率）的方法。6、确切理解平均自由程人和平均碰撞次数的概念，掌握它们的计算公式。7、了解分子间相互作用力的规律，了解真实气体的范德瓦耳斯方程。三、内容提要PV PV1、理想气体状态方程T =号2 n适用于两个状态之间 12M PV RT n适用于某种状态时几个变量间的关系R说明：适用于平衡态，即在不受外界影响的条件下，宏观性质不随时间变化的状态。2、理想气体压强D 21 -（1）公式P -g =mv2 :为分子的平均平动能P nKT n表明压强与温度成正比（2）意义：表明压强在实质上是气体分子在单位时间内施于单位面积器壁的平均冲量。 它是大量微观量的统计平均值。3、温度的微观实质与T的关系： = KT实质：温度标志着物体内部分子无规则运动的剧烈程度，它是大量分子热运动的 也是含有统计意义的。(1)(2)集体表现，4、麦克斯韦分子速率分布律(1)分布函数：f (v)= 咨 n它表明了在速率附近单位速率间隔内的分子数占总分 Ndv分布律：等=/(v* = 4UtJ、32mv22 - e 2KTv2dv子数的比例。它表明了在任一速率间隔vv+dv区间内的分子数占总分子数的比例。式中N为总分 子数。注意公式仅适用于平衡态，即温度T不变的状态。5、气体分子的三种速率(1)最可几速率vp:与分布函数f(v)的极大值相对应的速率，其大小为：2 KT：2 RT8 KT8 RT平均速率v :大量气体分子速率的算术平均值，v =.、：顽=，顷(3) 方均根速率tv2 :大量气体分子速率平方的平均值，其大小为:1=V 2_ ：3KT _ 3RTR(4) 应用：在讨论速率分布时，需用到最可几速率；在计算分子的平均平动能时，要 用到方均根速率；在讨论分子的碰撞时，要用到算术平均速率。6、平均自由程厂与平均碰撞次数Z1(1) 平均自由程：大量自由程之平均值。其公式为X=y;2nd 2n(2) 平均碰撞次数：单位时间内一个分子和其他分子相碰撞的平均次数。其公式为Z =七2兀 d 2Vn7、范德瓦耳斯方程(1) 对理想气体状态方程的两个修正：分子本身体积的修正；分子力修正：增加 了气体的内压力作用。四、解题步骤本章的解题重点在于应用理想气体状态方程。故解题步骤为：1、确定研究对象：往往是一段被封闭的气体柱；2、明确研究对象的初始状态与终了状态如何，找出已知量与未知量；3、列出理想气体状态方程，注意单位要统4、求解，必要时也应进行讨论。五、典型例题例1、一氧气瓶的容积是32升，其中氧气的压强是130大气压。规定瓶内氧气压强降到10 大气压时就得充气，以免混入其他气体而需要洗瓶。今有一玻璃室，每天需用1.0大气压 的氧气400升，问一瓶氧气能用几天?解法一：设未使用前和需要充气时瓶内氧气的质量分别是M1和M2。根据理想气体状态方 程PV = MRTRPV 可得：M1 = -Rt1 PVM 2 =四-RTV1=V2若设M3为每天用掉的质量则:图7-1式中P，V1是未使用前氧气的压强和体积，P2, V2是使用到需要充气时氧气的压强和体积， 有PVM3 = |i 斯，式中P3, V3是每天用掉的氧气的压强和体积。因此，一瓶氧气的使用天数n为n = M1 : M2 = VL%匕=9.6天。M 3PV 3解法二：设想将瓶内氧气的初态（P=130大气压，V=32升）等温膨胀到终态（P2=10大气压，V2待求），同样，将使用的氧气由初态（P3=1.0大气压，V3=400升）等温压缩到终 态（P2=10大气压，V2待求），然后通过比较体积即可求出使用天数。PV PV根据玻一马定律PV=C （常数），待求的V2和 V 分别为匕=-p，匕=一苛22可供使用的氧气的体积为V2-V，因此，使用 天数n为n = 土K =乌匕PM = 9.6VPV天。例2、水银气压计混进了一个空气泡，因此它 的读数比实际的气压小些。当实际气压为 768mmHg时，它的读数只有748mmHg，此时 管中水银面到管顶的距离为80mm。试问此气 压计读数为734mmHg时，实际气压是多少（保 持温度不变）？解：取被封闭的气泡为研究对象，它的初态压 强 P768-748=20mmHg 其体积 V=80Smm3,S为管的截面积，如图7-1所示它的末态压强是未知量，设为 P2，欧态体积V2=80+（748-734）S=94Smm3，由于是等温过程，所以有：P1V1=P2V2n PV 20 x 80S 故 P2 = F = 17mmHg则此时大气压强P02=P2+734=751mmHg例3、一容器内储有氧气，其压强P=1.0atm，温度t=27C，求（1）单位体积内的分子数；（2）氧气的质量密度；（3）氧分子的质量；（4）分子间的平均距离；（5）分子的平均 平动能解：（1）根据压强公式P=nKT得到单位体积内的分子数n为P1.013 x 105n = = 2.44 x 1025KT 1.38 x 10-23 x （273 + 27）一-、 肱 M*（2）根据质量密度定义P =和理想气体状态方程PV = RTVHP 32 x 10-3 x 1.013 x 105 得到氧气密度P = 13顷/m3 = 130 x 10-3克海米3氧 RT8.31 x （273 + 27）（3）氧分子的质量m氧为H 32.00m氧=- = 5.314 x 10-23 克3 丸=-d 36因此有:nvT,（4）设分子间的平均距离为d，将分子看成是半径为d /2的球，则每个分子的体积为v0 4 （d）因此有:=4.28 x 10-7 厘米=42.8 埃nn1 兀 x 2.44 x 1019（5）分子的平均平动能为33应=KT = -x 1.38 x 10 -23 x （273 + 27） = 6.21 x 10-21J22例4、计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率。取分子的有效直径d=3.5X 10-10 米，已知空气的平均分子量为29解：已知 T=273 开，P=1.0 大气压=1.01X105牛顿/米。d=3.5X 10-10米，K=1.38X 10-23焦耳/开。代入厂的公式即得人=6.9 x 108 米、2兀d 2 P 1.41 x 314 x (3.5 x 1010 ) 2 x 1.01 x 105KT1.38 x 10-23 x 2738 KT-8 RT 一已知空气的平均摩尔质量为29X10-3千克/摩尔，代入v =，可求出空气兀m兀旦在标准状态下的平均速率v = 448米/秒。将V和厂代入z的计算公式可求出分子的碰撞频率为-V 448Z = = = 6.5 x 109 /秒人6.9 x 10-8六、课堂练习题1、判断题(1) 在同温同压下，同样体积中含有的分子数是相同的，与气体的种类无关()。(2) m克理想气体，只要摩尔数不等于1，则在标准状态下，它的体积不可能等于22.4 升。()(3) 两种不同的理想气体，若它们分子的平均速率相等，则它们的方均根速率也一定相等()。(4) 一定质量的气体，保持体积不变，当温度升高时，气体分子的平均自由程会减小 ()。(5) 两密闭容器分别储有氢气和氧气，如果压强、体积和温度都相同，则它们的分子 的速率分布也相同()。2、填空题(1) 两个相同的容器装着氢气，以一玻璃管相通。管中图7-2一水银滴作为活塞，当左边容器的温度为0C；而右边为20 C时，水银滴刚好在管的中央而保持平衡，如图7-2所示。当 左边容器温度由0C升到10C。而右边温度保持不变时，水 银滴会由向 方向移动；当左边升温到10C，而右边升温到30C时，水银滴由向 方向移动。(2) 把一长方形容器用一隔板分开为容积相等的两部分，一边装co2,另一边装着h2。两边气体的质量相等， 隔板与器壁之间无摩擦，则隔板会向 方向移动。(3)(4)(5)(6)标准状态下二氧化碳的密度为。温度为0C时分子的平均平动能为在0C时氧气的方均根速率为。一个分子具有最可几速率的几率为。3、单重选择题(1)在理想气体状态方程PV = MRT中，关于公式中各R量，下面哪种说法是正确的？A、在标准情况下，气体的体积V 一定等于22.4升;B、在标准情况下，P=1atm, T=273K；C、在非标准情况下，体积V不可能等于22.4升；D、R是一个普适常数，与单位选择无关。(2)一瓶氮气和一瓶氦气，它们的压强、温度相同，但体积不同，下面哪种陈述正确?A、单位体积内的原子数相同；B、单位体积内的气体质量相同；C、单位体积内的分子数相同；D、单位体积内气体的内能相同。(3) 如图7-4所示，两端封闭的玻璃管，中间用水银柱将其分成两部分， 上下体积相等，并分别充以氧气和氢气。当温度升高10C后。A、水银柱下降；B、水银柱上升；C、水银柱不动；D、条件不足，无 法确定。(4) 如图7-5所示，为氢和氧在同一温度下的速率f(v)分布曲线，则：t加图7-4A、I为氢分子的速率分布曲线；B、I为氧分子的速 率分布曲线；C、II为氧分子的速率分布曲线；D、以上均不对。(5) 一定质量的气体，保持容积不变，当温度增加 时，分子的运动更加剧烈，分子的平均碰撞次数增加，因而有：A、分子的平均自由程减小；B、分子的最可几速率图7-5增加；C、分子的速率分布曲线不变；D、以上说法均不正确。七、阅读范围与作业L阅读范围P202402、 作业 P242 7-2, 7-3, 7-5, 7-10，7-11，7-13, 7-14, 7-16,3、提示7-14、见图7-6所示，(1)以管内气柱为研究对象，其体积V=(l-h)S, V2=(l-x)S,压强P=H+h, P=H-x。由于气柱变化为等 温过程，故有7-17, 7-18, 7-20, 7-21。(H+h)(l-h)S=(H-x)(l-x)S化简后得：x2-145x+500=0,所以 x=3.53cm(2)由题意，当水银柱高x=0时，管内气柱体积为V = ls，其压强为P，= H，则由PH = HV=尸匕PV可得管内水银完全倒出时的管外大气压为H= 尹，代入有关量可得 H = 67.9 cmHgI P1V11SJ(a)图7-6木17-20、由平均自由程公式由及压强公式P = nKT得XP =KTx2nd 2_ 亍_ _ X _依题意知 T1=T2=T，则有 X P =X P 所以 P =h P = 6 X 10-5 atm121122212