第13章 动能定理

第十三章动能定理动量和动量矩是描述物体作机械运动时与周围物体进行机械运动交换的 物理量，动能是描述物体作机械运动时所具有的能量。这一章我们要学习物 体动能的变化与作用在物体上力的功之间的关系一一动能定理。13.1力的功一、常力作直线运动的功设物体在大小和方向都不变的力F作用下，沿直线M1 M2运动，其位移为s ,对物体所作的功为1 2W12 = F s = Fscos 0式中0力F与位移s间的夹角。功是代数量，当0忍。V n时，力F作正功叫20；当0 0n时，力F作 负功W120;当0 = |时，力F不作功叫2=0。功的单位为焦耳(J)，1J = 1N m。二、变力在曲线运动中的功元功5 W = F c o 0s5W = F - dr = F coso - ds力在全路程上作的功等于元功之和，即W = jM2 F - dr = jM2 F coso - ds用解析表达式W =M1jM2(Fdx + F dy + Fdz)M1xyz町=j(p2 M (F)d中三、下面给出几种常见力所作的功1、重力的功设质点沿轨道由M1运动到M2,如图 所示。其重力P=mg在直角坐标轴上的投影为Fx=0， Fy=0, F= - mg重力作功为 W = jz2 gdz = mg(z - z )12 zi1 2可见重力作功仅与质点运动开始和末了位置的高度差(z1 z2)有关，与 运动轨迹的形状无关。2、弹性力的功W12 =护 IT上式是计算弹性力作功的普遍公式。可见，弹性力的功只与弹簧始末位置 的变形量有关，与力作用点A的轨迹形状无关。3、力对轴之矩的功在力F作用下，绕定轴转动的刚体。力F在作用点A处的微小位移中所作的元功为SW = F - dr = F ds = F Rd?6W = M (F )d中 z于是力F在刚体从角?i到?2转动过程中作的功 为若力对轴的矩不变，则有K = M （F）（%-甲）4、平面运动刚体上力系的功设有多个力作用于平面运动刚体上。取刚体的质心 C为基点，当刚体有无限小位移时，任一力马作用点 M.的位移为dr = dr + dri C iC力F.在点M.位移上元功：SW = F - dr = F - dr + F - dri i i i C i iCF - dr = F cos 0 -M C - d = M（F ）di iC iiC i力系所作元功之和为-drC+ MdSW = Zsw =SF -dr +SM（F协=FF为力系主矢，mc为力系对质心的主矩：入刚体质心c由c移到C，同时刚体又由中转到中角度时， 1212W =JC2F -dr +J%M d中12 c R C % C可见，平面运动刚体上力系的功就等于力系向质心简化所得的力和力偶 做功之和。 13-2质点和质点系的动能一、质点的动能T = mu 22动能是标量，恒取正值。单位：J （焦耳）二、质点系的动能质点系内各点动能的代数和称为质点系的动能，即T V 19T =V mv 22 i i（1）平移刚体的动能V 11 V 1T = 2 m v2 - 2 v2 A m = mv2(2) 定轴转动刚体的动能T = 1 m v2 = 1 m (r)2 =1 2 V m r 2 =1 J2 2c / ccii2 ii2ii 2 zJ乙是刚体对于z轴的转动惯量。艮即绕定轴转动刚体的动能，等于刚体对转轴的转动惯 量与角速度平方乘积的一半。(3) 平面运动刚体的动能取刚体质心C所在的平面图形，设点P是某瞬时的瞬心，是平面图形 转动的角速度，于是作平面运动的刚体的动能为1T = 2 J? 2，Jp是刚体对于瞬时轴的转动惯量。将转动惯量的平行轴定理代入，有E 1T =亏J + md 2) 21111=J 2 + m(d)2 = J 2 + mv22 c 22 c 2 c即作平面运动的刚体的动能，等于随质心平动的动能与绕质心转动的动 能的和。例1图示系统是由均质圆盘A、B以及重物D组成。A、B各重P,半径均为R。 圆盘A绕定轴转动，圆盘B沿水平面作纯滚动，且两圆盘中心的连线0C为水 平线。重物D重为Q,在图示瞬时的速度为V。若绳的质量不计，求此时系统的动能。EI) v解 系统中圆盘A作定轴转动，圆盘8作平面运动，重物。作平动。圆盘人的角速度：CD ；A R圆盘6的角速度：;圆盘B质心C的速度:b 2R71QT=m V2 =V212。 2g重物。的动能:圆盘A的动能:if 1 P .R2 一20 g JU2 PV24g圆盘B的动能:T =-m v32 B C1牛）+史乌2、22 g八2R J3PV216g/7 )2 + iPJ此时整个系统的动能为rri rp | 8 W质点动能定理的微分形式11积分上式得2 mv2 2 mv2 = W质点动能的改变量等于作用于质点上的力作的功。二、质点系的动能定理1对每个质点都可以列出：d（2m v 2） = 8W ,dT = Z 8Wi上式就是质点系动能定理的微分形式：质点系动能的变化，等于作用于 质点系上所有力的元功和。积分上式：T - T =Xw21i质点系在运动过程中，动能的改变量，等于作用于质点系的全部力所做 的功的代数和。三、理想约束约束力做功等于零的约束称为理想约束。（1）对于光滑固定面和一端固定的绳索等约束，如光滑铰支座、固定端 等约束，显然其约束反力也不做功。在理想约束条件下，质点系动能的改变 只与主动力做功有关，动能定理中只需计算主动力所作的功。（2）光滑铰链、刚性二力构件以及不可伸长的细绳等作为系统内的约束 时，其单个的约束力不一定不做功，但一对约束力做功之和等于零，也都是 理想约束。（3）当轮子在固定面上只滚不滑时，接触点为瞬心，滑动摩擦力作用点 没动，此时的滑动摩擦力也不做功。因此，不计滚动摩阻时，纯滚动的接触 点也是理想约束。(4) 必须注意的是，作用于质点系的力既有外力，也有内力，在某些情 形下，内力虽然等值反向，但所做功的和并不等于零。例如，由两个相互吸 引的质点M1和M2组成的质点系，两质点相互作用的力F12和F21是一对内力。 内力所作的功的和一般不等于零。(5) 刚体所有内力做功的和等于零。不可伸长的柔绳、钢索等所有内力 做功的和也等于零。从以上分析可见，在应用质点系的动能定理时，要根据具体情况仔细分 析所有的作用力，以确定它是否做功；应注意：理想约束的约束反力不做功， 而质点系的内力做功之和并不一定等于零。例2物块重P =200N，置于倾角a =30的斜面上，受水平推力F =500N的 作用沿斜面向上移动的距离为S =5m，物块与斜面间的摩擦系数为f =0.25。 求力F对物块所作的功及物块动能的增量。解：取物块为研究对象S F = 0Fn-F sin30。- P cos30。= 0Fn = 423.2NW =FScos30=2165JFWp= -PS sin30 =-500JW 虞 f -f Fn S=-529JAT = Sw = 1136J数为f = 0.1。物块由位置B从静止开始下滑，不计弹簧质量。求物块沿斜面 下滑的最大距离S。例3、质量为m =2kg的物块M,放在倾角a=30的斜面上。弹簧一端固定， 另一端连物块，弹簧原长为A8,刚性系数c =3N/m。物块与斜面间的摩擦系解:取物块为研究对象Z F = 0 F -Pcos30。= 0Fn=17.32NW = P sin30o - SP 1 cK =_2 c . S2W 摩=-f. P cos30。. S 由质点动能定理0 - 0=WP + Wc + W 摩 解得c手S = 0.054m例4、图示为高炉上料卷扬系统，已知启动时加在卷筒上的不变力矩为M , 料车及矿石的质量为m1，斜桥倾斜角为0，卷筒O的质量为m2,半径为r， 对转轴的回转半径为p。绳的质量和摩擦都忽略不计，试用动能定理求料车由静止开始沿轨道上升路程为S时的速度v。解：取料车和卷筒为质点系初始位置时系统的动能为T1 = 0设料车由静止上升S路程时的速度为v，卷筒的角速度为，转角为平，则系统的动能为1 111m v 2 + J 2 = m v 2 + m p 2 22 i 2 o 2 12 2*将=V代入得r各力做功代数和为SZ W = M - m g - S - sin 0= M - m g-S - sin 0由动能定理T -T =Z W解得：2(Mr m gr 2 sin 0 )$m r 2 + m p 2角后的角速度和角加速度。例5绞车的鼓轮质量为m1,半径为,，视为均质圆柱，绳索另一端有一个质 量为m2的重物。鼓轮在不变转矩M的作用下，通过绳索牵引重物沿倾角为a 的斜面上升，如图所示。设开始时系统静止，不计各处摩擦，求当鼓轮转过中解取鼓轮和重物为研究对象，以鼓轮从 静止开始转过中角作为研究过程。在这个 过程中，重物上升一段距离s = r9。起始瞬时系统的动能：To = 02 m r 2 必 2 = 4 r 2 2(2m + m)112 J 2 = m r 2 2 + 设过程终了瞬时轮的角速度为，则重物 的速度v=r，此时系统的动能71 11= 2 m v 2 +各力作功的和：z W = M 甲G2 s sin a =(M m2 gr sin a)甲1(1)由质点系动能定理：4 r 20 2(2m + m ) 0 =(M - m gr sin a)甲于是得:2 : M m gr sin a=_ ：泼甲r I2m + m1将式(1)两端对时间t求导数，得：2 r208(2m2 + m )=(M - m gr sin a )0两边同时消去o，即得鼓轮的角加速度8_ 2(M m gr sin a)(2m + m )r213-4功率、功率方程、机械效率一、功率单位时间力所作的功称为功率，以p表示。W F gdrP - lim= F 罗=F - v5 dtT即功率等于力与速度的标积，或等于力在速度方向的投影与速度大小的乘积。当功率一定时，f越大，则v越小；反之f越小，则v越大。如1：机床加工时，如果切削力较大，必须选择较小的切削速度。如2：汽车上坡时，驾驶员一般选取用低速档。作用在转动刚体上的力的功率为W d甲P = lim - = M - = M 即作用于转动刚体上的力的功率等于该力对转轴的矩与角速度的乘积。单位W （瓦特），1W=1J/S二、功率方程取质点系动能定理的微分形式，两端除以dt，得dT = 也= P dtdt上式称为功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。对机器而言，上式右端包含输入功率P ，即作用于机器的主动力的功 输入率；输出功率，即有用功率P有用；损耗功率，即无用功率P无用；后两者应取 负值。写成用无用dT = P -P -Pdt 输入 有用 无用即系统的输入功率等于有用功率、无用功率和系统动能的变化率的和。三、机械效率工程实际中，把有效功率（包括克服有用阻力的功率和使系统动能改变 的功率）与输入功率的比值称为机器的机械效率，用门表示，即有效功率门= 输入功率其中，有效功率=P有用片。由上式可知，机械效率门表明机器对输入功 率的有效利用程度，它是评定机器质量好坏的指标之一。显然一般情况下， 门1。13-5势力场.势能.机械能守恒定律一、势力场如果物体在某力场内运动，作用于物体的力所作的功只与力作用点初始 位置和终了位置有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力场称为势力场，或 保守力场。在势力场中，物体受到的力称为有势力或保守力。重力、弹性力、万有 引力也是保守力。于是重力场、弹性力场、万有引力场都是势力场。二、势能在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0,有势力所作的功称为质点 在点M相对于点M的势能。以V表示为V = jMoFgdr = JMo(Fdx + F dy + Fdz) MM xyz对于不同的零势能点，在势力，点Mo的势能等于零，我们称它为零势能点。在势力场中，势能的大小是相对 于零势能点而言的。零势能点Mo可以任意取 场中同一位置的势能可有不同的数 值。几种常见的势能：(1) 重力场中的势能重力P在各轴上的投影为Fx=0, Fy=0, Fz=mg取Mo为零势能点，则点M的势能为y T 5独=mg(z -乎(2) 弹性力场中的势能设弹簧的一端固定，另一端与物体连接，弹簧的刚度系数为k。取点M0为零势能点，则质点的势能计算k 一V = (52 -82)2 o式中，B和5 0分别为弹簧端点在M和Mo的变形量。 取弹簧的自然位置为零势能点，则50,则上式为V 8 22(3) 万有引力场中的势能设质量为mj的质点受质量为m2物体的万有引力F作用。取点Ao为零势能点，则质点在点A的势能计算V j *o F gdr j 4)加1秫2 r gdraa r20式中f为引力常数，r0是质点的矢量方向的单位矢量。r0dr为矢径增量dr在矢径方向的投影，它等于矢径长度的增量dr，即r0 dr0=dr。设r1是零势能点的矢径，有凡fmm刀 qE r J 则上式为V = j r1-12 dr fm m如果选取的零势能点在无穷远处，即r8V -俱”2r上述计算表明，万有引力作功只决定于质点运动的初始位置a和终了位置40，与点的轨迹形状无关，万有引力场确为 势力场。势力场中质点系的势能等于所有各质点势能的总和即V = z V。i例如质点系在重力场中，取各质点的z 坐标分别等于Z10，z20，端时为零势能位置则质点系各质点Z坐标为q, z2,zn时的势能为V =乙,=乙mg(z -z ) = mg(z -z )ii i i0C C 0质点系在势力场中运动，有势力的功可通过势能计算。当质点系受数个有势力作用在势力场中运动时，各有势力所作的功的代 数和等于质点系在运动过程中的初始与终了位置的势能的差。三、机械能守恒定律质点系在某瞬时的动能与势能的代数和称为机械能。设质点系在运动过 程的初始和终了瞬时的动能分别为孔和&，所受力在这过程中所作的功为 W12，根据动能定理有弓时12如系统运动中，只有势力作功，而有势力的功可用势能计算，即&刃=叫2叫-匕移项后得罕V1E+V2上式为机械能守恒定律的数学表达式，即质点系在有势力的作用下运动 时，其机械能保持不变。这样的质点系称为保守系统。如果质点系还受到非保守力的作用，称为非保守系统，非保守系统的机械 能不守恒。从广义的能量观点来看，无论什么系统，总能量是不变的，这是 能量守恒原理。质点系运动过程中，机械能的增或减，说明机械能与其它形 式的能量(如热能、电能等)有相互转化。例6图所示鼓轮D匀速转动，钢索的刚性系数k=3.35X106N/m，下端重物 质量为m=250kg，以v=0.5m/s匀速下降。求鼓轮突然被卡住时，钢索的最大 张力。解 鼓轮匀速转动时，重物处于平衡状态，卡住前瞬时钢索的伸长量5社=岸，钢索的张力为：F = k5 = mg = 2.45kN（a）鼓轮被卡住后，由于惯性，重：物将继续下降，钢索继续伸长，钢索对重 物作用的弹性力逐渐增大，重物的速度逐渐减小。当速度等于零时，弹性力 达最大值，即为钢索的最大张力。因重物只受重力和弹性力的作用，因此系统的机械能守恒。取重物平衡位置I为重力和弹性力的零势能点，则在I、II两位置系统的动能、势能分别T = mv 2，V = 0 ；i 2 ik rT = 0，V = (52 -82 )一mg(5一5 )222 max maxmax st根据机械能守恒定律，有1 k .mv2 = (52 -52 )一mg(5-5 )22 max maxmax st注意到k5st = mg，上式可以改写为5 2max，解得5m a)=0st因5 max应大于5 st 索的最大张力为因此上式应取正号。钢F = k5max max=k5st=16.9kN(b)比较（a）、（b）知，鼓轮被突然卡住后，钢索的张力增大了 5.9倍。例7求第二宇宙速度。解第二宇宙速度是使宇宙飞船能脱离地球引力场，从地面发射所需的最小 速度。取宇宙飞船为研究的质点，设飞船质量为m1，地球质量为m2。飞船仅受 地球引力的作用，在引力场内运动时机械能守恒。取离地球无限远处为零势 能点，设在地球表面附近飞船的速度为七，此后某一时刻的速度为与，根据 机械能守恒定律有1 fm m 1 fm m2 mv2 -12 = m V2 -1212欲使宇宙飞船脱离地球引力场飞向太空，应在,2一 8处时，V2=0，又有 尸=#=6370km(地球半径)，代入上式，可求得第二宇宙速度为：七=；岑在地球表面，地球引力等于重力，即m1 g =肿!，所以fm = gR2代入上式，得：V = J2Rg = 11.2km/s由以上各例可见，应用机械能守恒定律解题的步骤如下：(1) 选取某质点或质点系为研究对象，分析研究对象所受的力，所有作 功的力都应为有势力；(2) 确定运动过程的始、末位置；(3) 确定零势能位置，分别计算两位置的动能和势能；(4) 应用机械能守恒定律求解求知量。例8均质细杆长/，质量m,静止立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒 下时，求杆刚刚达到地面时的角速度和地面约束力。解 由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力， 倒下过程中质心将铅直下落。设杆端A点左滑任 一角度。，如图所示，P为杆的瞬心。由运动学知， 杆的角速度必=二二CP l cos 0m+(3 c2(0 寸2VC此时杆的动能为初始动能为零，此过程中只有重力作功，由动能定理1 (1 I m 1 + v 2 = mg (1- sin 0)2 3cos2 0 J C 2当。=0时解出：v = 1侦3gl，o = C 2， l图所示，由刚体平面运动微分方程杆刚达到地面时受力及加速度如mg - F = mal 丁ml2F 2 = J a = 12 以点A的加速度为水平，由质心守 恒，aC应为铅垂，由运动学知aC = aa + C +a沿铅垂方向投影，得：a = ax =a -C CA 2联立式，解出：F = mgN 4