矩形的性质与判定

矩矩 形形2.5.1 矩形的性质矩形的性质观察观察 在小学，我们初步认识了长方形，观察图在小学，我们初步认识了长方形，观察图2-41 中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？点呢？图图2-41 这些四边形的四这些四边形的四个角都是直角个角都是直角.在一个平行四边形中，在一个平行四边形中，只要有一个角是直角，那只要有一个角是直角，那么其他三个角都是直角么其他三个角都是直角.我发现这些长我发现这些长方形的对边平行且方形的对边平行且相等，因此，它们相等，因此，它们是平行四边形是平行四边形.有一个角是直角的平行四边形叫做有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形，也称为也称为长方形长方形.平行四边形平行四边形矩形矩形有一个角是直角有一个角是直角结论结论 矩形的四个角都是直角，对边相等，矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分对角线互相平分.可以知道：可以知道：结论结论 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心对称中心.由于矩形是平行四边形，因此由于矩形是平行四边形，因此 如图如图2-42，四边形，四边形ABCD为矩形，那么对角为矩形，那么对角线线AC与与DB相等吗？相等吗？动脑筋动脑筋图图2-42图图2-42如图，四边形如图，四边形ABCD是矩形，是矩形，于是有于是有 AB=DC，CBA=BCD=90，BC=CB.因此因此 CBA BCD.(SAS)从而从而 AC=BD.即矩形的对角线相等即矩形的对角线相等.图图2-42结论结论矩形的对角线相等矩形的对角线相等.由此得到矩形的性质：由此得到矩形的性质：如图如图2-43，矩形，矩形ABCD的两条对角线的两条对角线AC，BD相相交于点交于点O，AC=4 cm，AOB=60.求求BC的长的长.举举例例例例1图图2-43解解 ABCD是矩形，是矩形，1=2cm.2OA OBAC从而从而 AOB是等边三角形是等边三角形.AB=OA=2cm.又又AOB=60，ABC=90，在在RtABC中，中，BCACAB.2222422 3(cm)图图2-43解解 ABCD是矩形，是矩形，1=2cm.2OA OBAC从而从而 在纸上画一个矩形在纸上画一个矩形ABCD(如图如图2-44)，把它剪下来，把它剪下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？图图2-44做一做做一做 如图，矩形如图，矩形ABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O.BCDAOFE 过点过点O作直线作直线EFBC，且分别与边，且分别与边BC，AD相交于点相交于点E，F.由于由于 ，因此，因此OBC是等腰三角是等腰三角形，从而直线形，从而直线EF是线段是线段BC的垂直平分线的垂直平分线.11=22OBBDACOC 由于由于ADBC，因此，因此EFAD.同理，直线同理，直线EF是是线段线段AD的垂直平分线的垂直平分线.因此点因此点B和点和点C关于直线关于直线EF对称，点对称，点A和点和点D关于关于直线直线EF对称，从而在关于直线对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形的轴反射下，矩形ABCD的像与它自身重合，因此矩形的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称是轴对称图形，直线图形，直线EF是矩形是矩形ABCD的一条对称轴的一条对称轴.BCDAOFE 类似地，过点类似地，过点O作直线作直线MNAB，且分别与边，且分别与边AB，DC相交于点相交于点M，N，则点，则点M，N分别是边分别是边AB，DC的中点，直线的中点，直线MN是矩形是矩形ABCD的一条对称轴的一条对称轴.BCDAOFEMN结论结论 矩形是轴对称图形，过每一组对边中点矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴的直线都是矩形的对称轴.由此得到：由此得到：已知矩形的一条对角线的长度为已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的，两条对角线的一个夹角为一个夹角为60，求矩形的各边长，求矩形的各边长.练习练习 1.答答：矩形的各边长分别为矩形的各边长分别为1cm和和 .3cm2.如图，四边形如图，四边形ABCD 为矩形，试利用矩形的性质为矩形，试利用矩形的性质 说明：直角三角形说明：直角三角形ABC斜边斜边AC上的中线上的中线BO等于等于 斜边的一半斜边的一半.证明证明 四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，从而从而OA=OC ，OB=OD .(矩形的对角线相等矩形的对角线相等.).)（矩形的对角线互相平分（矩形的对角线互相平分.）又又 AC=BD，OB=OA=OCAC1=2BD1=2AC.1=2中考中考 试题试题例例 如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相相交于点交于点O，若，若AOB=60，AB=4cm，则，则AC的长的长为为 cm.8解析解析由矩形性质及由矩形性质及AOB=60，可得可得 ACB=30.在在RtABC中，中，AB=4，AC=2AB=8cm.矩矩 形形矩形的判定矩形的判定动脑筋动脑筋 矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？如图如图2-46，四边形，四边形ABCD 的四个角都是直角的四个角都是直角.由于由于“同旁内角互补，同旁内角互补，两直线平行两直线平行”，因此，因此ABDC，ADBC，从而四边形，从而四边形ABCD 是平行四边形是平行四边形.所以所以ABCD 是矩形是矩形.由此得到四个角是直角的由此得到四个角是直角的四边形是四边形是矩形矩形.图图2-46结论结论三个角是直角的四边形是矩形三个角是直角的四边形是矩形.三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也是直角，由此得到：是直角，由此得到：四边形中只有两个角四边形中只有两个角是直角，我想到了下边的图形：是直角，我想到了下边的图形：动脑筋动脑筋 从从“矩形的对角线相等且互相平分矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受这一性质受到启发，你能画出对角线长度为到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？的一个矩形吗？这样的矩形有多少个？这样的矩形有多少个？过点过点O 画两条线段画两条线段AC，BD，使得，使得OA=OC=2cm，OB=OD=2cm.连接连接AB，BC，CD，DA.则四边形则四边形ABCD 是矩形，是矩形，且它的对角线长度为且它的对角线长度为4 cm，如图，如图2-47.这样这样的矩形有无穷多个的矩形有无穷多个.2cm2cm图图2-47你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？如图如图2-47，由画法可知，由画法可知，四边形四边形ABCD的两条对的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗四边形是矩形吗？我们来进行证明我们来进行证明.在在ABCD中，由于中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，因此因此 ABC DCB.(SSS)从而从而 ABC=DCB.又又ABC+DCB=180，于是于是 ABC=90.所以所以 ABCD是矩形是矩形.图图2-47结论结论对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.由此得到矩形的判定定理：由此得到矩形的判定定理：对角线相等的四边形是矩形对角线相等的四边形是矩形吗？吗？议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议如图如图2-48，在，在ABCD中，它的两条对角线相交于点中，它的两条对角线相交于点O.（1）如果）如果ABCD是矩形，试问：是矩形，试问：OBC是什么样是什么样 的三角形？的三角形？（2）如果）如果OBC是等腰三角形，其中是等腰三角形，其中OB=OC，那么，那么 ABCD是矩形吗？是矩形吗？例例2图图2-48举举例例（2）OBC是等腰三角形，其中是等腰三角形，其中OB=OC，解解（1）ABCD是矩形，是矩形，AC与与DB相等且互相平分相等且互相平分.OBC是等腰三角形是等腰三角形.1122OBDBACOC.AC=2OC=2OB=BD.ABCD是矩形是矩形.图图2-48例例3 如图：在如图：在 ABCD中，对角线中，对角线AC、BD交于点交于点O,EFAC,O 是垂足，是垂足，EF分别交分别交AB、CD于点于点E、F，且，且BE=OE=0.5AE 求证求证:ABCD是矩形是矩形1.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，A=B=C=D，求证：四边形求证：四边形ABCD是矩形是矩形.练习练习 证明证明：因为四边形：因为四边形中，中，A=B=C=D，四边形的内角和为四边形的内角和为360，所以所以A=B=C=D=90 ，所以四边形所以四边形ABCD是矩形是矩形.(三个角是直角的四边形是矩形三个角是直角的四边形是矩形.).)2.如图，在如图，在ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于点相交于点O，AOB=60，AB=2，AC=4，求，求ABCD的面积的面积.解解：OA=2，AB=2，AC12 OAB是等腰三角形是等腰三角形.OAB是等边三角形是等边三角形.又又AOB=60，OA=OB=2，AC=BD=4.ABCD是矩形是矩形.(对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.).)AD.2 3作作OEAD于点于点E.AE 3，=ABCDSAD AB.2 324 3 矩矩形形E在在Rt OAE中，中，AO=2，OE=1，AB12中考中考 试题试题例例 在四边形在四边形ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD互相平分，互相平分，交点为交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是以是 .AC=BD 或或 ABC，CDA，BAD，BCD之中有任一个角为直角之中有任一个角为直角解析解析 依据矩形的判定，对角线相等的平依据矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形或有一个角是直角的平行四边形是矩形或有一个角是直角的平行四边形是矩形行四边形是矩形.