资源描述
随机事件随机事件样本空间样本空间随随机机试试验验摩根律）摩根律）律，对偶率（德律，对偶率（德交换律，结合律，分配交换律，结合律，分配，互不相容的完备事件组互不相容的完备事件组互逆（对立）互逆（对立），差，互斥（互不相容）差，互斥（互不相容）包含，相等，和，积，包含，相等，和，积，,1.1.几何概型几何概型 1.1.样本空间可以理解为一个样本空间可以理解为一个可度量的几何图形可度量的几何图形（含（含有无限多个样本点）有无限多个样本点）2.2.度量值可以理解为一度量值可以理解为一几何度量几何度量（长度、面积、体（长度、面积、体积等积等3.3.试验的任一随机事件试验的任一随机事件A发生的概率与表示发生的概率与表示A的子区的子区域的域的几何度量几何度量A成正比成正比，的几何度量的几何度量区域区域的几何度量的几何度量区域区域 AAPA )(上式称为概率的几何定义。上式称为概率的几何定义。这种类型的概率问题称为这种类型的概率问题称为几何概型。几何概型。则事件则事件A发生的概率为发生的概率为例例1.会面问题会面问题 两人相约两人相约7时到时到8时在某地会面，先到者等候另时在某地会面，先到者等候另一一人人20分钟，过时就可离去。试求这两人能会面的分钟，过时就可离去。试求这两人能会面的概率。概率。解：以解：以x,y分别表示两人到达的时刻，则会面的充要分别表示两人到达的时刻，则会面的充要 条件为条件为20|yx060202060yx则这两人能会面的概率为则这两人能会面的概率为95604060)(222 AAP例例2.随机地向半圆随机地向半圆240 xxy 内掷一点，点内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比例，试求该点与原点的连线与正比例，试求该点与原点的连线与x轴的夹角轴的夹角大于大于6/的概率。的概率。A4yx02dxxxxSA 30233463 2343)(AP 343 则所求事件的概率为则所求事件的概率为解：解：NMAP)(样本空间的样本点总数点数所包含的 样包含的样本:NA:M2.2.古典概型古典概型乘法公式：设完成一件事需分两步，乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有第一步有n n1 1种方法种方法,第二步有第二步有n n2 2种方法，种方法，则完成这件事共有则完成这件事共有n n1 1n n2 2种方法种方法排列与组合的基本概念排列与组合的基本概念加法公式：设完成一件事可有两种途径，第加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有一种途径有n n1 1种方法，第二种途径有种方法，第二种途径有n n2 2种方种方法，则完成这件事共有法，则完成这件事共有n n1 1+n+n2 2种方法。种方法。样本点的计数方法样本点的计数方法 从从n n个元素中抽取个元素中抽取r r个元素个元素F 放回、放回、记序记序F不放回、不放回、记序记序F不放回、不记序不放回、不记序rnrnArnC解解：103!3!2!53)(2523 CCAP抽球问题抽球问题答答:取到一白一黑的概率为取到一白一黑的概率为3/53/5抽球问题抽球问题求取到一白一黑概率。求取到一白一黑概率。解解:设设B表示表示“取到一白一黑取到一白一黑”，则，则53)(251213 CCCBPnNmnMNmMCCCAP )(.nNmnMNmMCCC 一般地，设盒中有一般地，设盒中有N个球，其中有个球，其中有M个白球，现从个白球，现从中任中任抽抽n个个球，则这球，则这n个个球中恰有球中恰有k个白球的概率是个白球的概率是nNknMNkMCCCp 在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。物的选种等问题均可化为随机抽球问题。baaAAAAPkbakbaa 111)(baababaAAPa )!()!1()(1例例4.（生日问题）（生日问题）班级中有班级中有n个学个学 生，问：没有人同生，问：没有人同一天生日一天生日 的概率是多少？的概率是多少？nnnnAAP365)1365(364365365)(365 ;8142.0)(,35APnnP A400891,().;nP A500970,().;nP A640997,().;nP A10009999997,().解：解：即足球场上即足球场上23个有人同一天个有人同一天生日的概率略大于没有人同生日的概率略大于没有人同一天生日的概率。一天生日的概率。(2)足球场上有足球场上有22个运动员和一个裁判，问：没人同一个运动员和一个裁判，问：没人同一天生日的概率大，还是有人同一天生日的概率大天生日的概率大，还是有人同一天生日的概率大？5069.03651)(2323365 AAP解解：nnnNNnNNNNAAP)1()1()(.nnNNA!5!5!5!1555510515 CCC!4!4!4!12!3 ,2747.09125!5!5!5!15!4!4!4!12!3)(AP例例6.将将15名新生（其中名新生（其中3名优秀生）随机地平均分配到三名优秀生）随机地平均分配到三个班级中去，问：个班级中去，问：(1)每个班级各分到一名优秀生的概率每个班级各分到一名优秀生的概率是多少？是多少？(2)3名优秀生分在同一个班级的概率是多少？名优秀生分在同一个班级的概率是多少？,0659.0916!5!5!5!15!5!5!2!123)(BP例例7.袋内放有两张袋内放有两张50元、三张元、三张20元和五张元和五张10元的戏票，元的戏票，任取其中五张，求五张票面值超过任取其中五张，求五张票面值超过100元的概率。元的概率。解：总的取法数：解：总的取法数：510Cn A=五张票面值超过五张票面值超过100元元情形情形1：2张张50元、其余元、其余8张中任取张中任取3张，取法数为张，取法数为38221CCn 情形情形2：1张张50元、元、3张张20元、元、1张张10元，取法数为元，取法数为1533122CCCn 情形情形3：1张张50元、元、2张张20元、元、2张张10元，取法数为元，取法数为2523123CCCn 321nnnnA nnnnnnAPA321)(“五张票面值超过五张票面值超过100元元”的取法数：的取法数：5102523121533123822CCCCCCCCC 5.0252126 解解：假假设设接接待待时时间间没没有有规规定定，即即来来访访者者在在一一周周的的任任一一天天中中去去都都是是等等可可能能的的，0000003.0721212 P实实际际推推断断原原理理：概概率率很很小小的的事事件件在在一一次次试试验验中中实实际际上上几几乎乎不不发发生生。例例9.9.把把4个不同的球随机地投入个不同的球随机地投入4个盒子，可能出现个盒子，可能出现0、1、2、3个空盒，分别求出空盒数为个空盒，分别求出空盒数为0、1、2、3的的概率。概率。解：每个球都可以投入解：每个球都可以投入4 4个盒子中的任意一个，故个盒子中的任意一个，故44 n没有空盒的投法数：没有空盒的投法数：!40 n1个空盒的投法数：个空盒的投法数：)(222423141ACCCn 2个空盒的投法数：个空盒的投法数：24243413142)(CCCCCn 3个空盒的投法数：个空盒的投法数：143Cn 3234!4400 nnP没有空盒的概率：没有空盒的概率：169442234231411 ACCCnnP642144242434131422 CCCCCnnP641441433 CnnP1个空盒的概率：个空盒的概率：2个空盒的概率：个空盒的概率：3个空盒的概率：个空盒的概率：
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