概率论与数理统计：1-5 事件的独立性

概概率率论论与与数数理理统统计计第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 5 5 事件的独立性事件的独立性概概率率论论与与数数理理统统计计 定义定义1 对事件对事件 A 与与 B，若，若P(AB)=P(A)P(B)则则称事件称事件 A 与事件与事件 B 相互独立（相互独立（independence）。）。由上节的一些例题可以看到由上节的一些例题可以看到 P(BA)P(B)。概率概率.换句话说换句话说,事件事件 A 与事件与事件 B 存在着某种存在着某种“独立性独立性”。些情况下些情况下,事件事件A的发生或不发生并不影响事件的发生或不发生并不影响事件B发生的发生的这说明事件这说明事件A的发生影响了事件的发生影响了事件B发生的概率。但在某发生的概率。但在某概概率率论论与与数数理理统统计计 命题命题1 若事件若事件 A,B 相互独立，且相互独立，且 P(A)0,则则 P(BA)=P(B)。证证 明明 由条件概率及独立性定义知由条件概率及独立性定义知).()()()()()()(BPAPBPAPAPABPABP 概概率率论论与与数数理理统统计计 定理定理 2 若事件若事件 A，B 相互独立，则相互独立，则事件事件A与与B，A与与 B，A与与 B也相互独立。也相互独立。概概率率论论与与数数理理统统计计)()()()()()()()(BPAPBPABPBPABBPBASPBAP ).()()()(1 BPAPBPAP 由此可推知由此可推知,若若P(A)0,P(B)0,则则A、B 相互独立与相互独立与A，证证 明明B 互不相容不能同时成立。互不相容不能同时成立。仅以仅以A与与B相互独立为例。相互独立为例。).()()(BPAPBAP 即即 注注 在应用中我们往往根据事件的实际意义来在应用中我们往往根据事件的实际意义来判断事件的独立性判断事件的独立性 。概概率率论论与与数数理理统统计计 例例1 甲、乙两炮进行甲、乙两炮进行各独立地同时向目标靶发各独立地同时向目标靶发甲炮命中率为甲炮命中率为0.9，乙炮命，乙炮命打靶演习。根据经验知道：打靶演习。根据经验知道：中率为中率为0.8。现甲、乙两炮。现甲、乙两炮射一炮，求：射一炮，求：(1）甲、乙两炮都中靶的概率；）甲、乙两炮都中靶的概率；(2）甲、乙两炮至少有一个中靶的概率。）甲、乙两炮至少有一个中靶的概率。概概率率论论与与数数理理统统计计解解 设甲、乙两炮中靶事件分别为设甲、乙两炮中靶事件分别为A和和B，于是，于是 P(AB)=P(A)P(B)=0.90.8=0.72;P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.72=0.98;独立性的概念推广到三个事件时，有下面定义。独立性的概念推广到三个事件时，有下面定义。.98.02.01.01)(1)(BAPBAP或或概概率率论论与与数数理理统统计计定义定义2 设设 A、B、C 是三事件，如果下面等式成立：是三事件，如果下面等式成立：).()()();()()();()()(CPBPBCPCPAPACPBPAPABP则称则称A、B、C三事件三事件两两相互独立两两相互独立。当三事件两两相互独立时，下面等式当三事件两两相互独立时，下面等式不一定不一定成立：成立：).()()()(CPBPAPABCP)40(题题第第可可参参考考习习题题A概概率率论论与与数数理理统统计计推广到更一般情形推广到更一般情形 定义定义3 设设 A、B、C 三事件两两相互独立，且三事件两两相互独立，且相互独立。相互独立。满足满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称则称A、B、C三事件三事件),2,1()()()()(2121nlAPAPAPAAAPllkkkkkk 成立，则称成立，则称 n 个事件相互独立。个事件相互独立。对所有可能的对所有可能的,121nkkkl 等式等式设设nAAA,21为为n个个事件事件，若若 概概率率论论与与数数理理统统计计A1A2A3A4）系系统统（图图a161 例例2 图图1-16(a),(b)是两个均由元件是两个均由元件A1，A2，A3，正常工作的概率。正常工作的概率。假设各元件工作是相互独立假设各元件工作是相互独立 的，分别求出这两个系统的，分别求出这两个系统A4 组成的系统。每个元件正常工作的概率均为组成的系统。每个元件正常工作的概率均为0.9。概概率率论论与与数数理理统统计计A1A3A2A4）系系统统（图图b161 对系统（对系统（a）)()()()()()()(43214321APAPAPAPAPAPAPAP ）.9636.09.09.0242 ,4321AAAAA 有有)()()()(43214321AAAAPAAPAAPAP 有有概概率率论论与与数数理理统统计计 对系统（对系统（b）由于每两个元件并联为一组由于每两个元件并联为一组,然后再串联。故在每然后再串联。故在每一组均正常工作时系统（一组均正常工作时系统（b）为正常，而两个组工作）为正常，而两个组工作不正常的概率分别为不正常的概率分别为;)9.01()()()(23131 APAPAAP.)9.01()()()(24242 APAPAAP所以，两个组正常工作的概率都是所以，两个组正常工作的概率都是.99.001.01)9.01(12 概概率率论论与与数数理理统统计计 系统由一组元件组成。对于任一元件，它能正常工系统由一组元件组成。对于任一元件，它能正常工系统设计的一个十分重要的指标。系统设计的一个十分重要的指标。称为该系统的可靠性。各种工作系统运行的可靠性是称为该系统的可靠性。各种工作系统运行的可靠性是作的概率称为该元件的可靠性，系统正常工作的概率作的概率称为该元件的可靠性，系统正常工作的概率 从而从而.9801.099.0)(2 BP 显然显然 P(B)P(A).即系统（即系统（b）比系统（）比系统（a）正常工作的概率要高。正常工作的概率要高。概概率率论论与与数数理理统统计计例例3 证明证明 A、B 相互独立。相互独立。证明证明,1)()(,1)()(0 BAPBAPBPAP设设且且1)()(BAPBAP由由得到得到)()(1)(BAPBAPBAP )()(BAPBAP 即即概概率率论论与与数数理理统统计计所以所以 A、B 相互独立。相互独立。)(1)()()()()()(BPABPAPBPBAPBPABP 从而从而)()()()(1)(ABPAPBPBPABP 有有)()()(BPAPABP 证得证得)()()()()()()(BPABPBPAPBPABPABP 概概率率论论与与数数理理统统计计The History of Probability概概率率论论与与数数理理统统计计概概率率论论与与数数理理统统计计概概率率论论与与数数理理统统计计答案答案概概率率论论与与数数理理统统计计互不相容互不相容与与BAA.相容相容和和BAB.)()()(.BPAPABPC )()(.APBAPD 答案4.设设 证明证明:A与与B相互独立的充要相互独立的充要 .0)(,0)(BPBP).()(BAPBAP条件是条件是CBA与也独立。也独立。5.设设 A,B,C 相互独立。证明：相互独立。证明：独立，独立，CBA与概概率率论论与与数数理理统统计计6.一批产品共一批产品共 100 件，假定其中有件，假定其中有 4 件次品，抽样检件次品，抽样检查时，每次从这批产品中随机抽取一件做检查，若是查时，每次从这批产品中随机抽取一件做检查，若是次品，则拒绝接受这批产品；若是正品，则在检查一次品，则拒绝接受这批产品；若是正品，则在检查一次；如此继续下去，若检查次；如此继续下去，若检查 4 件产品都不是次品，则件产品都不是次品，则停止检查，接受这批产品。对于下述两种不同的抽样停止检查，接受这批产品。对于下述两种不同的抽样方式，分别计算这批产品被接受的概率：方式，分别计算这批产品被接受的概率：(1)不放回抽样不放回抽样;(2)有放回抽样有放回抽样.答案概概率率论论与与数数理理统统计计7.三个人独立的破译一份密码。已知三人各自能译出三个人独立的破译一份密码。已知三人各自能译出的概率分别是的概率分别是 1/5，1/3，1/4；则三人中至少有一人能；则三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？将此密码译出的概率是多少？8.一电路如图一电路如图 1 17 所示。开关所示。开关 A,B,C,D 闭合与否相闭合与否相互独立。且这些开关闭合的概率均为互独立。且这些开关闭合的概率均为p。求。求 E,F 之间之间为通路的概率。为通路的概率。DCBAFE图 1 17 答案答案概概率率论论与与数数理理统统计计9.某高射炮发射一发炮弹击落飞机的概率为某高射炮发射一发炮弹击落飞机的概率为 0.6。现用。现用此种炮若干门同时各发射一发炮弹，问至少需要配多此种炮若干门同时各发射一发炮弹，问至少需要配多少门高射炮才能以不小于少门高射炮才能以不小于 99%的概率击落一架敌机？的概率击落一架敌机？10.有甲、乙两批种子，发芽率分别为有甲、乙两批种子，发芽率分别为 0.8 和和 0.7。在。在这两批种子中各随机地选取一粒。求：这两批种子中各随机地选取一粒。求：(1)两粒种子都能发芽的概率两粒种子都能发芽的概率;(2)至少有一粒种子能发芽的概率；至少有一粒种子能发芽的概率；(3)恰好有一粒种子能发芽的概率。恰好有一粒种子能发芽的概率。答案答案概概率率论论与与数数理理统统计计11.甲、乙、丙三人向同一目标射击。设各自击中目标甲、乙、丙三人向同一目标射击。设各自击中目标的概率分别为的概率分别为0.4，0.5，0.7。设目标中一弹而被击落的。设目标中一弹而被击落的概率是概率是 0.2；中两弹而被击落的概率是；中两弹而被击落的概率是 0.6；中三弹必；中三弹必然被击落。今三人各射击一次，求目标被击落的概率。然被击落。今三人各射击一次，求目标被击落的概率。答案12.某工人看管甲、乙、丙三台机床。在一小时内，这某工人看管甲、乙、丙三台机床。在一小时内，这三台机床需要工人照管的概率分别是三台机床需要工人照管的概率分别是0.9，0.8，0.85。求在一小时内：求在一小时内：(1)没有一台机床需要照管的概率没有一台机床需要照管的概率;(2)至少有一台机床不需要照管的概率。至少有一台机床不需要照管的概率。答案概概率率论论与与数数理理统统计计13.某宾馆大楼有某宾馆大楼有6部电梯。通过调查知道，在某一时部电梯。通过调查知道，在某一时刻各电梯都在运行的概率均为刻各电梯都在运行的概率均为0.8。试计算此时刻下列。试计算此时刻下列各种情况的概率：各种情况的概率：(1)至少有一台电梯在运行至少有一台电梯在运行;(2)恰好有一半电梯在运行；恰好有一半电梯在运行；(3)所有电梯都在运行。所有电梯都在运行。答案概概率率论论与与数数理理统统计计14(习题习题A第四十题第四十题).设有四张卡片分别标以设有四张卡片分别标以1，2，3，4。今任取一张，设事件。今任取一张，设事件 A 为取到为取到 1 或或 2，事件，事件 B 为为取到取到 1 或或 3，事件，事件C 为取到为取到 1 或或 4。试验证：。试验证：),()()(BPAPABP),()()(CPBPBCP 但但),()()(APCPCAP).()()()(CPBPAPABCP 返返 回回概概率率论论与与数数理理统统计计1.(B)2.(A)3.(D)返回返回概概率率论论与与数数理理统统计计返回返回返回返回