高等数学课件：6-3-4幂级数

令00 x，则有 nnnnnxaxaaxa100 6.3.4 6.3.4 幂级数幂级数 一、幂级数的定义一、幂级数的定义 称为幂幂级级数数，其中,10naaa 称为幂幂级级数数的的系系数数。nnnnnxxaxxaaxxa)()()(001000 令0 xxy，可化为0 nnnya。在处总收敛 0 x。二、幂级数的收敛半径和收敛区间二、幂级数的收敛半径和收敛区间定定理理 6（阿阿贝贝尔尔)(Abel定定理理）（1）若0nnnxa在点)0(00 xx收敛，则对于一切满足 xxx 0的，0nnnxa绝对收敛；（2）若0nnnxa在0 x点发散，则对于一切满足 0 xx x 的，0nnnxa发散。证明证明：（1）设0nnnxa在 0 x点收敛，即00nnnxa收敛，则0lim0nnnxa，从而nnxa0有界，即0M，使得Mxann0（2,1,0n）。故nnnnnnnnnnnxxMxxxaxxxaxa00000，从而 0nnnxa收敛，即0nnnxa绝对收敛。当|0 xx 时，1|0 xx，等比级数00nnxxM收敛，阿贝尔定理表明：只要幂级数0nnnxa在点00 x 处收敛，则幂级数在以原点为中心，0 x为半径的 开区间),(00 xx内绝对收敛。（2）用反证法证之。假设幂级数在时发散 0 xx而有 一点011 xxx适合使级数收敛，则由（1）中的结论，级数当0 xx时应收敛，这与所设矛盾，定理得证。R收敛半径收敛半径（-R R，R R）收敛区间收敛区间oxRR定理定理 7 7 若幂级数0nnnxa不是仅在处 0 x收敛，也 不是在整个数轴上收敛，则必0 R存在数，使得（1）时当 Rx，幂级数绝对收敛；（2）时当 Rx，幂级数发散；（3）时或当 RxRx，幂级数可能收敛也可能发散。（2）若0nnnxa仅在0 x处收敛，0 R则规定；（3）若0nnnxa在整个数轴上收敛，R 则规定。注注：（1）考察了0nnnxa在收敛区间),(RR两个端点 处的敛散性之后，便可得到收敛域。定理定理 8 8 若nnnaa1lim)lim (nnna或，则幂级数0nnnxa的收敛半径.0,0,0,1R证明证明：考察级数0nnnxa的敛散性，xaaxaxannnnnnnn111limlim，（1）若)0(lim1nnnaa，则1 x当，即时1 x，收敛 0nnnxa，从而0nnnxa 绝对收敛；1 x当，时即1 x，0nnnxa 发散，从而0nnnxa也发散。故收敛半径1R。（2）若0，则对一切0 x，有10lim1xaannn，所以对任何x，0nnnxa均收敛，从而0nnnxa 绝对收敛，故收敛半径R。（3）若，则对一切0 x，有0limnnnxa，从而对0 x，0limnnnxa，所以0nnnxa发散，故收敛半径0R。例 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域。（1）121nnnx；解：11)1(1limlim221nnaannnn，收敛半径11R，收敛区间为（-1，1）。当1x时，幂级数为1211)1(nnn，此级数绝对收敛。当1x时，幂级数成为1211nn，22111nn，而121nn收敛，1211nn收敛。121nnnx的收敛域为1 ,1。（2）nnnxn)1(ln)1(2；解：令1xt，则得新级数nnntn2ln)1(，1)1ln(lnlimlim1nnaannnn，收敛半径11R。当1t时，新级数成为2ln)1(nnn，)1ln(1ln1nn，0ln1limnn，2ln)1(nnn收敛。当1t时，新级数成为2ln1nn，),3,2(1ln1nnn，而21nn发散，2ln1nn也发散。所以新级数nnntn2ln)1(的收敛域为1 ,1(，即11t，从而111x，20 x，故原级数的收敛域为2 ,0(。（3）nnnxn212解解法法 1 1：此幂级数缺的奇次幂项 x，即012na),2 ,1(n，因此不能直接用公式求收敛半径。根据比值（或根值）判别 法来求收敛半径。22212lim)(limxxnxunnnnnnn，当1212x，即2x时级数收敛；当1212x，即2x时级数发散，故收敛半径2R。当2x，原级数化为121)2(2nnnnnn，发散；当2x，原级数化为121)2(2nnnnnn，发散。故收敛域为)2 ,2(。解法解法 2 2：设tx 2，则得新级数nnntn12。212limlimnnnnnnna，新级数的收敛半径2R，当2 2 tx，即2x时原幂级数收敛，当2x，原级数化为121)2(2nnnnnn，发散；当2x，原级数化为121)2(2nnnnnn，发散。故收敛域为)2 ,2(。当2 2 tx，即2x时原幂级数发散，故原幂级数的收敛半径为2R。三三、幂幂级级数数的的性性质质1 1幂幂级级数数的的代代数数运运算算设00 nnnnnnxbxa与的收敛半径为)0,(2121RRRR 与，和函数为)()(21xSxS与，),min(21RRR，则当),(RRx 时，可作如下运算：（2 2）乘法）乘法 0021)()(nnnnnnxbxaxSxS 2211211)()(xbababaxbababa nnnnxbababa)(11 （1 1）加加法法和和减减法法00021)()()(nnnnnnnnnnxbaxbxaxSxS，2 2幂幂级级数数的的分分析析性性质质证明证明：Rr0，0nnnra收敛，,rrx有)2,1,0(nraraxannnnnn，故由 M判别法知，0nnnxa在 ,rr上一致收敛。定理定理 9（内闭一致收敛性）（内闭一致收敛性）若幂级数0nnnxa的收敛半径0R，则幂级数在任意 闭区间),(,RRrr上都一致收敛。定理定理 10 若0nnnxa的收敛半径为则和函数为),(),0(xSRR（2）),()(RRxS在内可导，且 1111)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS，逐项求导所得的幂级数与原级数有相同的R 收敛半径。反复应用此结论得:),()(RRxS在内具有任意阶导数。（1）),()(RRCxS，若幂级数在)(RxRx或处 也收敛，则),)(,()(RRCxSRRCxS或。（3）),()(RRxS在内可积，且 100 0 0 0 0 1 )(nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxS，若逐项求导或逐项积分后的幂级数在)(RxRx或 处收敛，则在)(RxRx或处，等式和 仍成立。逐项积分所得的幂级数与原级数有相同的R 收敛半径。例 2求幂级数121112)1(nnnxn的收敛域及和函数。解：2211212lim)()(limxxnnxuxunnnn，当12x，即当1x时级数收敛；当12x，即当1x时级数发散，收敛区间为)1 ,1(。当1x时，级数成为121)1(11nnn，是收敛的交错级数，故级数的收敛域为 1 ,1。设和函数为)(xS，则121112)1()(nnnxnxS，1 ,1x，逐项求导得)1(2111211)1(12)1()(nnnnnnxxnxS2202011)()1(xxxnnnnn，)1 ,1(x 故 1 ,1,arctan11)()0()(0 2 0 xxdttdxxSSxSxx。注注意意：幂级数经过逐项求导（或积分），收敛半径不 变，但端点处的收敛性可能改变。本例中)(xS所对应 的级数在（-1，1）内收敛，而原级数在-1，1上收敛。例 3在区间)1 ,1(内求幂级数01nnnx的和函数。解：设01)(nnnxxS，)1 ,1(x，且1)0(S。011)(nnnxxxS，xxnxxxSnnnn11)1()(001，xxdttxxS 0 )1ln(11)(，当0 x时，)1ln(1)(xxxS，故0.,1 10 ),1ln(1)(xxxxxS例 4求数项级数1122 nnn的和。解法解法 1：构造幂级数112 nnxn，其收敛域为)1 ,1(。设112 )(nnxnxS，则1122 )21(nnnS。)()(111112nnnnnnnxxnxxnxS)1()1()(21 xxxxxxxnn 342)1(1)1(1xxxx，)1 ,1(x。解法解法 2：11112)1()(nnnnxnnnxnxS 1111)1(nnnnxnxnn)()(111 nnnnxx)1()1(2 xxxx323)1(1)1(1)1(2xxxx，)1 ,1(x12)21(2 112Snnn。作作 业业 习习 题题 五五（P P3434）1 1（2 2）（）（4 4）（）（6 6）（）（8 8）（）（1010）；）；2 2（1 1）（）（3 3）（）（5 5）（）（7 7）；）；3 3（2 2）（）（4 4）。）。