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三大抽样分布三大抽样分布).(,)1,0(,22222221221nnXXXNXXXnn 记为记为分布分布的的服从自由度为服从自由度为则称统计量则称统计量的样本的样本是来自总体是来自总体设设 .:222212变变量量的的个个数数中中右右端端包包含含独独立立指指自自由由度度nXXX 统计量的分布称为抽样分布统计量的分布称为抽样分布.分布分布2 1.随机数随机数演示演示分布函数与密度函数演示分布函数与密度函数演示1分布的概率密度为分布的概率密度为)(2n .00,e)2(21)(2122其他其他yynyfynn证明证明,2,21)1(2分布分布即为因为Ga),1,0(NXi又因为又因为),1(22 iX由定义由定义.,2,1,2,212niXi 即即2.)(2图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如n,21相互独立相互独立因为因为nXXX,22221也相互独立也相互独立所以所以nXXX伽玛分布的可加性知根据 niiX122.2,2nGa3分布的性质分布的性质2 性质性质1).(,),(),(2122221222122221221nnnn 则则立立独独并且并且设设)(2分布的可加性分布的可加性(此性质可以推广到多个随机变量的情形此性质可以推广到多个随机变量的情形.).(,),2,1(),(21212222mmiiiiinnnmin 则则独立独立相互相互并且并且设设4性质性质2.2)(,)(),(2222nDnEn 则则若若证明证明),1,0(NXi因为因为,1)()(2 iiXDXE所以所以2242)()()(iiiXEXEXD ,123 .,2,1ni niiXEE122)(故故 niiXE12)(,n niiXDD122)(niiXD12)(.2n)(2分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差 5分布的分位数 2.1)()(1d)()(,10,221)(2122-1分位数分布的为的点称满足条件对于给定的正数nnyyfnPn.1,的分位数的值得可以通过查表求对于不同的n)(21n6,1de211)1,0(),1,0(1221-1xuXPuNNXux满足分位数的服从标准正态分布设.,1可通过查表完成的值求u95.005.01uu附表附表2-12-1975.0025.01uu根据正态分布的对称性知根据正态分布的对称性知.1 uu,645.1,96.1 附表附表2-22-2例例1975.095.0uu7分位数满足的设1)(),(22nnZ,1d);()()(22121nynynZP.,)(21可通过查表完成的值求n)8()8(2975.02025.01)10()10(2025.02975.01)25()25(29.021.01附表附表3只详列到只详列到 n=40 为止为止.,535.17,247.3.382.34 例例2)25()8()10(29.02975.02025.08.1.)12(21)(,12121分位数是标准正态分布的其中充分大时当ununn例如例如2295.0295.0)99645.1(21)99(21)50(u.221.67 利用上面公式利用上面公式,费舍尔资料费舍尔资料而查详表可得而查详表可得.505.67)50(295.0.1,45 分位数的近似值时可以求得n费舍尔费舍尔(R.A.Fisher)证明证明:）（求50,05.0,502-1n9).(,/,),(),1,0(2ntttnnYXtYXnYNX记为记为分布分布的的服从自由度为服从自由度为则称随机变量则称随机变量独立独立且且设设 t 分布又称分布又称学生氏学生氏(Student)分布分布.学生氏资料学生氏资料 tntnnnthn,1221)(212 分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为)(nt分布分布t2.随机数随机数演示演示分布函数与密度函数演示分布函数与密度函数演示10图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如t.0对称的对称的显然图形是关于显然图形是关于 t当当 n 充分大时充分大时,其其图形类似于标准正图形类似于标准正态变量概率密度的态变量概率密度的图形图形.,e21)(lim22tnth 因为因为,)1,0(分布分布分布近似于分布近似于足够大时足够大时所以当所以当Ntn.)1,0(,分布相差很大分布相差很大分布与分布与但对于较小的但对于较小的Ntn11.1)()(1d)()(,10,1)(11分位数分布的为的点称满足条件对于给定的ntnttthnttPnt.-1分位数的值得可以通过查表求由分布的对称性知由分布的对称性知)()(1ntnt.)(,4511untn时当分布的分位数 t)(1nt12)10()10(95.005.0-1tt,8125.1)15()15(95.005.0-1tt531.71例例3）（）（）（求已知15,15,10,05.0,10-1-1tttn)15(-)15(-)15(5.9005.0-105.0ttt531.71-解：解：)10()15()15(95.095.005.0ttt13例例4 4 设设r.v.X 与与Y 相互独立，相互独立，X N(0,16),Y N(0,9),X1,X2,X9 与与Y1,Y2,Y16 分别是取分别是取自自 X 与与 Y 的简单随机样本的简单随机样本,求求 统计量统计量1292221216XXXZYYY所服从的分布。所服从的分布。解解)169,0(921NXXX)1,0()(431921NXXX1416,2,1,)1,0(31iNYi)16(3122161iiY16314311612921iiYXXX)16(t2162221921YYYXXX从而15).,(,),(/,),(),(2121212212nnFFFnnnVnUFVUnVnU记为记为布布分分的的服从自由度为服从自由度为随机变量随机变量则称则称独立独立且且设设 分分布布F3.16分布的概率密度为分布的概率密度为),(21nnF .,0,0,1222)(2212112221212111其他其他ynynnnynnnnynnnn 17图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如F根据定义可知根据定义可知,).,(1),(1221nnFFnnFF则则若若18分位数满足分布的设-1),(21nnF.,),(21-1可通过查表完成的值求nnF)8,7(025.0-1F)30,14(05.0-1F,-1d)(),(),(-21-121-1nnFyynnFFP,53.4.04.2例例5)8,7()30,14(75.905.90FF解：解：19:-1分位数具有如下性质分布的F.),(1),(12-121nnFnnF证明证明),(21nnFFP所以),(1121nnFFP),(11121nnFFP),(21nnFF因为因为,1),(11 21nnFFP故20),(1 12nnFF因为因为,1),(1 121nnFFP所以比较后得.),(1),(12121nnFnnF即)9,21(50.0F例)12,9(195.0F8.21.357.0 .1分位数的一些用来求分布表中未列出.),(1),(21121nnFnnF21例例6 设设 是来自是来自 的样本，试求的样本，试求的分布（的分布（P277 T9）21,xx),0(2N22121xxxxY解：解：由已知可知由已知可知)2,0(),2,0(221221NxxVNxxU又由又由P162P162例例3.3.93.3.9知知U U与与V V是相互独立的，且是相互独立的，且)1,0(22),1,0(222121NxxVNxxU)1()2/(),1()2/(2222VU即有即有22由由F分布的定义得分布的定义得)1,1(1/2/1/2/22FUU)1,1(22121FxxxxY上式左边化简即得上式左边化简即得23课堂练习：课堂练习：解解)3,0(,)3,0(654321NXXXNXXX)1,0(31,31654321NXXXXXX265423213131XXXXXX故故因此因此1/3.c)2(312Y26542321)()(XXXXXXY)1,0(NX16,XX为总体为总体 X 的样本的样本,试确定常数试确定常数 c,使使 cY 服从服从 分布。分布。2设总体设总体244.正态总体的样本均值与样本方差的分布正态总体的样本均值与样本方差的分布定理一定理一则有是样本均值的样本是来自正态总体设,),(,221XNXXXn.),(2有以下两个重要定理有以下两个重要定理的样本均值和样本方差的样本均值和样本方差正态总体正态总体 N)()()2(2212nXnii)1,0(/)./,()1(2NnXnNX即25定理二定理二.(2);1()1(1),),(,22222221独立独立与与则有则有方差方差分别是样本均值和样本分别是样本均值和样本的样本的样本是总体是总体设设SXnSnSXNXXXn 26).1(/,),(,2221 ntnSXSXNXXXn 则有则有方差方差分别是样本均值和样本分别是样本均值和样本样本样本的的是总体是总体设设证明证明),1,0(/NnX 因为因为),1()1(222 nSn 且两者独立且两者独立,由由 t 分布的定义知分布的定义知)1()1(/22 nSnnX ).1(nt推论推论127则则有有差差分分别别是是这这两两个个样样本本的的方方值值分分别别是是这这两两个个样样本本的的均均设设且且这这两两个个样样本本互互相相独独立立的的样样本本总总体体具具有有相相同同方方差差的的两两正正态态分分别别是是与与设设,)(11,)(11,1,1,),(,),(,2121211222212121121122212121 niiniiniiniinnYYnSXXnSYnYXnXNNYYYXXX 推论推论228,(2);1,1(/(1)222212122212221时时当当 nnFSS.,2)1()1(),2(11)()(2212222112212121wwwwSSnnSnSnSnntnnSYX 其中其中 29证明证明(1)由定理二由定理二),1()1(1221211 nSn ),1()1(2222222 nSn ,2221独立独立由假设由假设SS 分布的定义知分布的定义知则由则由F1),1()1()1()1()1(21222222211211 nnFnSnnSn .)1,1(/2122212221 nnFSS 即即30 221221,nnNYX 因为因为212111)()(nnYXU 所以所以),1,0(N(2),1()1(122211 nSn 由由),1()1(222222 nSn 分布的可加性知分布的可加性知故由故由且它们相互独立且它们相互独立2,31 2211)1(SnV2222)1(Sn ),2(212 nn.,分布的定义分布的定义按按相互独立相互独立与与由于由于tVU)2/(21 nnVU212111)()(nnSYXw ).2(21 nnt32的概率不小于的概率不小于90%,90%,则样本容量至少取多少则样本容量至少取多少?例例7 7 设设(72,100)XN ,为使样本均值大于为使样本均值大于7070解解 设样本容量为设样本容量为 n,则则)100,72(nNX故故)70(1)70(XPXPn1072701n2.0令令9.02.0n得得29.12.0n即即6025.41n所以取所以取42n33例例8 8 从正态总体从正态总体),(2NX中，抽取了中，抽取了 n=20的样本的样本1220(,)XXX(1)求求22012276.120137.0iiXXP(2)求求22012276.120137.0iiXP解解 (1)(1)1()1(222nSn34)19(11922012222iiXXS即即22012276.120137.0iiXXP故故2.3514.720122iiXXP4.712.3512012220122iiiiXXPXXP98.001.099.0查表35(2)(2)20(22012iiX22012276.120137.0iiXP故故2.354.72012iiXP4.72.3520122012iiiiXPXP97.0005.0975.036课堂练习：课堂练习：设设 是来自是来自N(,2)12(,)nXXX的的简单随机样本简单随机样本,是样本均值是样本均值 X,)(111221niiXXnS,)(11222niiXXnS,)(111223niiXnS,)(11224niiXnS则服从自由度为n-1的t 分布的随机变量为1)A(1nSX1)B(2nSXnSX3)C(nSX4)D(37)1,0(/NnX)1()(12122nXXnii1)(1/122nXXnXnii)1(ntniiXXXnn12)()()1(故应选(B)解解38小结两个最重统计量两个最重统计量:样本均值样本均值 niiXnX11样本方差样本方差 niiXXnS122)(11三个来自正态分布的抽样分布三个来自正态分布的抽样分布:.,2分布分布分布分布分布分布Ft 39)1(/)2()1,0(/)./,()1(2ntnSXNnXnNX即相互独立与22212222212)5()1()()1()4()()()3(SXnXXSnnXniinii则有方差分别是样本均值和样本的样本是总体设,),(,2221SXNXXXn结结论论140则有是这两个样本的方差分别的均值分别是这两个样本设互相独立且这两个样本的样本两正态总体分别是具有相同方差的与设,)(11,)(11,1,1,),(,),(,2121211222212121121122212121niiniiniiniinnYYnSXXnSYnYXnXNNYYYXXX结论结论2,(2);1,1(/(1)222212122212221时时当当 nnFSS41P277 T11解：解：由已知得由已知得),(),(2221mNynNx)1,0()()()()()()(,(22212222122221NmdncydxcmdncdcydxcmdncdcNydxc)1()1(),1()1(222222msmnsnyx)2()1()1(22222mnsmsnyx又又（卡方分布的可加性）（卡方分布的可加性）42)2()()()()2/()1()1()()()(222122222221mntmdncsydxcmnsmsnmdncydxcwyx所以43费舍尔资料Ronald Aylmer FisherBorn:17 Feb 1890 in London,EnglandDied:29 Jul.1962 in Adelaide,Australia44学生氏资料Born:13 Jun.1876 in Canterbury,EnglandDied:16 Oct.1937 in Beaconsfield,EnglandWilliam Sealey Gosset45格里汶科资料Boris Vladimirovich GnedenkoBorn:1 Jan.1912 in Simbirsk(now Ulyanovskaya),Russia Died:27 Dec.1995 in Moscow,Russia46
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