按t分布合成扩展不确定度

与数据处理Harbin Institute of Technology按按t分布合成扩展分布合成扩展 不确定度不确定度与数据处理Harbin Institute of Technology样本样本（一勺）（一勺）总体总体（一锅）（一锅）统计推断统计推断随机抽样随机抽样参数？参数？统计量统计量参数估计参数估计假设检验假设检验与数据处理Harbin Institute of Technology第一节 t 分布复习两个概念：复习两个概念：正态分布正态分布 标准正态分布标准正态分布 u（z）分布SXzX与数据处理Harbin Institute of Technology对对X进行标准正态转化以后：进行标准正态转化以后：xXZN（0，）;xsXt与数据处理Harbin Institute of Technologyt 分布的主要内容：与数据处理Harbin Institute of Technology与数据处理Harbin Institute of Technologyt 值表（附表值表（附表2 P118）横坐标：自由度，横坐标：自由度，纵坐标：概率，纵坐标：概率，p,即曲线下阴影部分的面积即曲线下阴影部分的面积;表中的数字：相应的表中的数字：相应的|t|界值。界值。与数据处理Harbin Institute of Technologyt 值表规律：值表规律：(1)自由度（自由度（）一定时，）一定时，p 与与 t 成反比成反比;(2)概率（概率（p）一定时，一定时，与与 t 成反比成反比;与数据处理Harbin Institute of Technology与数据处理Harbin Institute of Technology与数据处理Harbin Institute of Technology图4-2 不同自由度下的t 分布图2)1(2)/1()2(2)1()(ttf与数据处理Harbin Institute of Technology按按 t 分布评定扩展不确定度分布评定扩展不确定度一一.为什么要引入为什么要引入t分布的概念分布的概念对于确定的分布，扩展不确定度表示为对于确定的分布，扩展不确定度表示为k为包含因子，是相对于置信概率为包含因子，是相对于置信概率P=1-的置信的置信 系数系数,-标准差。标准差。在实践上在实践上,只能是估计的标准差只能是估计的标准差(子样标准差子样标准差),用用s来表示。在不确定的表述中常称子样标准差来表示。在不确定的表述中常称子样标准差s为为标准不确定度，用标准不确定度，用u来表示，即来表示，即us。也就是说，在通常情况下，上面的计算公式又可也就是说，在通常情况下，上面的计算公式又可以表示为以表示为kU kU kuU 与数据处理Harbin Institute of Technology按按 t 分布评定扩展不确定度分布评定扩展不确定度 k相对于置信概率而言，当各不确定度分量由相对于置信概率而言，当各不确定度分量由较大子样获得时，较大子样获得时，u值可靠性较高，由选定的值可靠性较高，由选定的P值按正态分布确定值按正态分布确定k值。值。正态分布情况下的置信概率正态分布情况下的置信概率P与置信系数与置信系数k的关的关系如下：系如下：P 0.683 0.95 0.954 0.99 0.997 k 1 1.96 2 2.58 3 通常置信概率取约定值通常置信概率取约定值，如如P95，P99%，k取近似值。取近似值。当当p=95%时，时，k=2 当当p=99%时，时，k=3与数据处理Harbin Institute of Technology按按 t 分布评定扩展不确定度分布评定扩展不确定度问题：小子样估计是否可以用同样方法计算问题：小子样估计是否可以用同样方法计算 测量的不确定度表示由于存在测量误差而使被测量的不确定度表示由于存在测量误差而使被测量值不能肯定的程度测量值不能肯定的程度,它的大小表征测量结它的大小表征测量结果的可信程度。果的可信程度。不确定度大，可信程序低不确定度大，可信程序低 对于小子样估计的不确定度分量，测量数据对于小子样估计的不确定度分量，测量数据n值有限，值有限，u可靠性差，为获得约定的置信概率可靠性差，为获得约定的置信概率，应取较大的，应取较大的k值，值，即对确定的置信概率，扩即对确定的置信概率，扩展不确定度估计值应较大。展不确定度估计值应较大。所以，对于可信程度高的大子样和可信程度低所以，对于可信程度高的大子样和可信程度低的小子样，如果采用同样的计算公式，同样的的小子样，如果采用同样的计算公式，同样的k值和值和p值，就没有办法体现出子样标准差的可值，就没有办法体现出子样标准差的可信程度对扩展不确定度的影响，会使扩展不确信程度对扩展不确定度的影响，会使扩展不确定度引入较大的误差。定度引入较大的误差。与数据处理Harbin Institute of Technology按按 t 分布评定扩展不确定度分布评定扩展不确定度 引入引入t分布，借助于自由度分布，借助于自由度,可以有效的反可以有效的反映子样标准差可靠性对置信概率的影响映子样标准差可靠性对置信概率的影响，给出扩展不确定度。，给出扩展不确定度。t和和P已经不满足正态分布关系，已经不满足正态分布关系，t要比同要比同样置信概率的样置信概率的k值偏大。值偏大。此时，扩展不确定度，可以表示为此时，扩展不确定度，可以表示为 U=tu与数据处理Harbin Institute of Technology按按 t 分布评定扩展不确定度分布评定扩展不确定度二.分布被测量 服从正态分布，其数学期望为 ，标准差为 ，即服从 。的 个测量值 的平均值 服从正态分布 ，即若以有限的 次测量的标准差 代替总体分布的 ，则变量 服从自由度 的 分布。tx ),(Nxnix niixnx11),(nN )1,0(Nnx ns nsxt 1 n t与数据处理Harbin Institute of Technology按按 分布评定扩展不确定度分布评定扩展不确定度自由度为 的 分布概率分布密度函数为：式中 为伽玛函数。由标准不确定度计算扩展不确定度扩展不确定度用于评定被测参数的优点：直观，便于使用当各不确定度分量由较大子样获得，有较高可靠性，将以扩展不确定度表示的各分量直接合成得到总扩展不确定度。扩展不确定度的包含因子 按正态分布取约定的固定值。1 n 2)1(212)21(),(tntP kttkuU 与数据处理Harbin Institute of Technology按按 t 分布评定扩展不确定度分布评定扩展不确定度对于小子样估计的不确定度分量，其可靠性差，若仍按正态分布取固定的 值，会使扩展不确定度引入较大的误差，给出的扩展不确定度的可信程度降低，对于小子样估计的不确定度，合称为总扩展不确定度时，应按 分布确定 值。变量落于区间 的概率可写为积分式按给定的 值，可由通常的 分布数表查得临界值 。t),(aatt 1),(2)(0tdttftttP t ,kktt与数据处理Harbin Institute of Technology按按 t 分布评定扩展不确定度分布评定扩展不确定度由式 可得：对于单次测量值 可相应有：式中 为测量结果 的标准差。令 ，则 应视为相应于置信概率 的扩展不确定度 ，有：当已知标准差 ，并按选定的置信概率 查得值，就可按上式求得相应置信概率的扩展不确定度。xnts/nsxt xtssx tt x 1PstUP txPUs 1P与数据处理Harbin Institute of Technology按按 t 分布评定扩展不确定度分布评定扩展不确定度按 分布评定扩展不确定度的优点按此种方法给出的扩展不确定度具有确定的置信概率，而与估计标准 的可靠性无关，与按正态分布给出的扩展不确定度不同，即这种方法克服了估计标准差 可靠性的影响。按这种方法给出的结果具有确定的概率意义，其数值具有一致性，可比性。ttss与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的自由度及其估计不确定度的自由度及其估计自由度的概念概念：在数理统计中，定义统计量所包含的独立变量的数目为该统计量的自由度，数值为该统计量所包含的变量数目与约束条件之差。自由度表示不确定度估计量所含信息的大小，反映了不确定度估计量的可信程度，是不确定度小子样估计的重要参数。按 分布确定包含因子 就要根据相应的自由度，由小子样标准差计算扩展不确定度时，自由度是关键参数。tk与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的自由度及其估计不确定度的自由度及其估计 按统计方法估计不确定度的自由度最小二乘法处理 按标准不确定度计算自由度 按扩展不确定度计算自由度2)(21iiiusuv1 nvitnvi22)(2iUiUiUUKv 与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的自由度及其估计不确定度的自由度及其估计总不确定度的自由度niiiicvuauv144)(与数据处理Harbin Institute of Technology按按 t 分布评定扩展不确定度分布评定扩展不确定度 22)(2iUiUiUUKv U=tuct ucP u1 u2 ui Pi vi tnvi2)(21iiiusuv1 nvi2112)(niiiniicxuauuniiiicvuauv144)(iiitUu与数据处理Harbin Institute of Technologyt 分布分布总体标准差总体标准差 未知，未知，用样本标准差用样本标准差s代替代替 样本容量大于30，用正态分布 样本容量小于30，用 t 分布思考题：思考题：1.1.标准差和标准不确定度有何区别和联系？标准差和标准不确定度有何区别和联系？2.2.可信区间和参考值范围有何不同？可信区间和参考值范围有何不同？