第五节可降阶的二阶微分方程课件

第五节第五节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程一、一、型的微分方程型的微分方程)(xfy 二、二、型的微分方程型的微分方程),(yxfy 三、三、型的微分方程型的微分方程),(yyfy 四、四、可降阶二阶微分方程的应用举例可降阶二阶微分方程的应用举例一、一、型的微分方程型的微分方程)(xfy 解法：解法：,d)(1Cxxfy .dd)(21CxCxxxfy 特点特点 右端仅含有自变量右端仅含有自变量 x,只要连续积分只要连续积分 二次即得通解二次即得通解.cos的通解的通解求方程求方程xxeyx 例例 1解解.cos的通解的通解求方程求方程xxeyx 例例 1 dxxxeyxcos1sinCxexexx dxCxexeyxx)sin(121cos2CxCxexexx 逐次积分的解法可用于解高阶微分方程逐次积分的解法可用于解高阶微分方程)()(xfyn,d)(1)1(Cxxfyn ,dd)(1)2(Cxxxfyn 解法解法:只要连续积分只要连续积分 n 次即得通解次即得通解.2的通解的通解求方程求方程例例xxey 二、二、型的微分方程型的微分方程),(yxfy 特点：特点：解法：解法：.y不显含未知函数不显含未知函数,)(xPy 令令.Py 则则代入原方程代入原方程,化为关于变量化为关于变量 x,P 的一阶微分方程的一阶微分方程).)(,(xPxfP ),(xP求得求得,)(两端取不定积分两端取不定积分对对xPy 可得通解可得通解.P(x)的的一一阶方程阶方程.0的通解的通解求方程求方程 yyx解解),(xPy 设设代入原方程代入原方程,0 PPxxCP1 解线性方程解线性方程,得得两端积分两端积分,得原方程通解为得原方程通解为)(xPy 则则）（0 P,1xCy 即即,21221CxCy 例例 1,02CCxy 即即21.(0)x yxyx求方程的通解解解),(xPy 设设代入原方程代入原方程,12 xPPx)(ln11CxxP 解线性方程解线性方程,得得两端积分两端积分,得原方程通解为得原方程通解为)(xPy 则则,lnln21212CxCxy 例例2,112xPxP 即即)(ln11Cxxy 即即2(1)0(11).(0)0,(0)1xyxyxyy 求方程的解解解),(xPy 设设代入原方程代入原方程,0)1(2xPPx211xCP 解线性方程解线性方程,得得)(xPy 则则例例 3,012PxxP即211xCy 即即,1)0(y由由,11 C得得211xy 两端积分两端积分,得原方程解为得原方程解为,arcsin2Cxy ,0)0(y由由,02 C得得故所求原方程的解为故所求原方程的解为:.arcsin xy 三、型的微分方程),(yyfy )(yPy 设设,ddddddyPPxyyPy 则则的一阶方程，的一阶方程，代入原方程得到新函数代入原方程得到新函数)(yP求得其解为求得其解为原方程通解为原方程通解为21d.(,)yxCy C特点：特点：.x右右端端不不显显含含自自变变量量解法：解法：),()(dd1CyyPxy .02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,ddyPPy 则则),(yPy 设设代入原方程得代入原方程得,0dd2 PyPPy,0)dd(PyPyP即即，由由0dd PyPy,1yCP 可得可得.12xceCy 原方程通解为原方程通解为,dd1yCxy 例例 1.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解2,12y两端同乘两端同乘,0)(dd22 yyxyyyy,1yCy 故故从而通解为从而通解为.12xCeCy 例例 1解解3原方程变为原方程变为,yyyy 两边积分两边积分,得得，1lnlnlnCyy ，即即yCy1 原方程通解为原方程通解为.12xCeCy .02的通解的通解求方程求方程 yyy例例 2解解,ddyPPy 则则),(yPy 设设代入原方程得代入原方程得,0dd2 PyPPy,0)dd(PyPyP即，由由0dd PyPy,1CyP 可得可得故原方程通解为故原方程通解为,dd1Cxyy,dd1xCyy 即即.212CxCy .02的通解的通解求方程求方程 yyy解解2将方程写成将方程写成,0)(dd yyx,1Cyy 故有故有,dd1xCyy 即即积分后得通解积分后得通解.212CxCy 例例 2.,12)1,0(,)(232求该曲线求该曲线处的切线为处的切线为其在其在已知一曲线满足方程已知一曲线满足方程例例 xyyyyy解解 2)0(,0)0()(22yyyyyy即求初值问题即求初值问题),(yPy 设设,ddyPPy 则则代入原方程得代入原方程得 yPyP)1(2dd d2d1PyPyCyP 2ln)1ln(得得代入代入将将,2,1 Py,0 C,12 yPy,d1d2xyy ,arctanCxy 可得可得故曲线方程为故曲线方程为,d1d2 xyy得得代入代入将将,1,0 yx,4 C.)4tan(xy四四*、可降阶二阶微分方程的应用举例可降阶二阶微分方程的应用举例课本课本 Page 277279 例例4、例例5张力。方程及绳索在各点处的平衡状态时所呈曲线的试分析该绳索在力作用而下垂两端固定，绳索仅受重索，设有一均匀、柔软的绳悬链线及其张力分析例.4五、小结五、小结解法解法 通过代换将二阶微分方程化成一阶微通过代换将二阶微分方程化成一阶微分方程来求解分方程来求解.一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解:1 1、xxey ；2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(；4 4、0122 yyy.二、二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy.三、三、试求试求xy 的经过点的经过点)1,0(M且在此点与直线且在此点与直线12 xy相切的积分曲线相切的积分曲线 .练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1、32123CxCxCexeyxx ；2 2、21)cos(lnCCxy ；3 3、12)arcsin(CeCyx ；4 4、xCxCy2111 .二、二、1 1、22xxy ；2 2、)1ln(1 axay；3 3、4)121(xy.三、三、121613 xxy.