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第十章第十章 重积分重积分第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法第三节第三节 三重积分三重积分三、二重积分的性质三、二重积分的性质二、二重积分的概念二、二重积分的概念一、问题的提出一、问题的提出10.1 二重积分的概念和性质一、问题的提出曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积柱体体积柱体体积=底面积底面积*高高特点：平顶特点：平顶.),(yxfz D柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，取典型小区域，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.),(lim10iiniifV xzyo),(iii求平面薄片的质量求平面薄片的质量 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量xyo),(iii01lim(,)niiiim 二、二重积分的概念如如 果果 当当 各各 小小 闭闭 区区 域域 的的 直直 径径 中中 的的 最最 大大 值值 趋趋 近近 于于 零零时时，这这 和和 式式 的的 极极 限限 存存 在在，则则 称称 此此 极极 限限 为为 函函 数数),(yxf在在 闭闭 区区 域域 D D 上上 的的 二二 重重 积积 分分，记记 为为 Ddyxf),(，即即 Ddyxf),(iiniif ),(lim10.对二重积分定义的说明对二重积分定义的说明：(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的任意的.(2)当当),(yxf在闭区域上连续时，定义中和式在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在的极限必存在，即二重积分必存在.二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值在直角坐标系下用平行于坐标在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域轴的直线网来划分区域D D，则面积元素为则面积元素为dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为 DDdxdyyxfdyxf),(),(xyo（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）性质性质设设 为常数，则为常数，则,DDDdyxgdyxfdyxgyxf),(),(),(),(性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性)(21DDD .),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 三、二重积分的性质性质性质如果如果 在上，在上，为为 的面积，则的面积，则 D1),(yxfD.1 DDdd 性质性质若在若在D上上),(),(yxgyxf 则有则有.),(),(DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),(DDdyxfdyxf DMdyxfm),(（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）),(),(fdyxfD（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）例例1估计积分估计积分 的值，其中的值，其中 是矩形域是矩形域即即DdxdyxyyxId )(DDdId16400 20 x20 y,.解：在区域解：在区域 上，由于上，由于 ,所以所以40 yx40 xy4)(0 xyyxD例例2 判断判断 的符号。的符号。故故于是于是 1|22)ln(yxrdxdyyx解：解：当当 时时，1|yxr1|)|(|0222 yxyx0)ln(22 yx0)ln(1|22 yxrdxdyyx而而由二重积分的性质得由二重积分的性质得（在（在 上比较被积函数的大小）上比较被积函数的大小）0)(2 yxyx0)ln(yx321III 121 yx解：解：因为积分域因为积分域 在直线在直线 的下方，所以对任意点的下方，所以对任意点从而有从而有Dyx),(D1 yx均有均有，D例例3 比较积分比较积分 所围成的所围成的,)ln(1 DdyxI,)(22 DdyxI DdyxI)(30 x0 y21 yx 其中其中 是由直线是由直线 和和。D
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