高等数学A课件：3－函数项级数

高等院校非数学类本科数学课程授课教师：第 八 章 无 穷 级 数性质。件以及收敛级数的基本必要条性质。掌握级数收敛的理解常数项级数概念和别法。收敛判判别法。掌握交错级数熟悉常数项级数的收敛级数的敛散性。数、熟悉等比级数、调和级P本章学习要求：理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。第 八 章 无 穷 级 数第三节 函数项级 数一.一般函数项级数二.幂级数及其敛散性三.幂级数的运算1.函数项级数的定义设有一函数序列 ,)(,)(,)(21xuxuxun ,),2 ,1()(,则称上有定义在区间其中Iixui)()()()(211xuxuxuxuinn为定义在区间 I 上的函数项级数.一、函数项级数 )(10就是一个常数项级数nnxu)()()()(211xuxuxuxuinn函数项级数 可以利用常数项级数的知识来处理函数项级数2.函数项级数的敛散性 ,0时若Ix,)(10收敛nnxu10)(nnxux 为则称的收敛点.,0时若Ix,)(10发散nnxu10)(nnxux 为则称的发散点.,)(1Ixxunn设有合称为的所有收敛点构成的集)(1nnxu它的收敛域,记为 D.合称为的所有发散点构成的集)(1nnxu它的发散域.则有的收敛点为若 ,)(10nnxux3.函数项级数的和函数100)()(nnxuxS称函数上的收敛域在于是,)(,1Dxunn)()()(1DxxuxSnn为函数项级数的和函数.称函数项级数的前 n 项之和为其部分和：nkknxuxS1)()(不论级数在点0 xx 处是否收敛,均可写出其部分和.如果级数在点0 xx 处收敛,则有 ).()(lim00 xSxSnn4.函数项级数敛散性判别可以适当地运用常数项级数的敛散性判别法,判别函数项级数的敛散性.特别注意比较判别法的应用.,)(sin 12的敛散性判别Rxnnxn并求其收敛域.)(1 sin 22Rxnnnx ,2 1 12级数的是又PPnn,收敛,)(sin 12收敛故Rxnnxn即原级数在整个实数域上是绝对收敛的.所求收敛域为),(解解例例1 1 20nnnxxxx判别的敛散性,并求其收敛域.这是等比级数.11)(,1|xxSx其和为级数收敛时当.,1|级数发散时当x故该级数的收敛域为:.)1 ,1(x要打开思路!解解例例2nnnnnxaxaxaaxa22100 形如的级数称为幂级数,其中,),2 ,1 ,0(nan常数称为幂级数的系数.,）（幂级数的定义域为1.幂级数的定义幂级数的定义二.幂级数及其敛散性幂级数的一般形式为00)(nnnxxa )()(0010nnxxaxxaa .,0为一定点其中 x ,0准形式则可将它化为前面的标令xxX.)(000nnnnnnXaxxa当幂级数收敛时,由0)()(limxSxSnn可知,不论“和函数”多么复杂,我们可以用多项式来近似它.当 n 的值充分大时,这种代替可达到相当的精度.nkkknxaxS0)(,10nnxaxaa .1的部分和称为nnnxa由此可联想到什么？2.幂级数的敛散性首先进行分析：,0 00处收敛在设xxxannn则由收敛的必要条件,有 .0lim0nnnxa而有极限的量必有界,故 .0有界nnxa ,0 使得即M),2 ,1 ,0(|0nMxann0 0 xnnnnnnxxMxxxaxa|000,|0时当xx 0 0 ,1 nnxxM的等比级数是公比小于它是收敛的,.|,0收敛级数从而nnnxa.,|00是绝对收敛的幂级数时即当nnnxaxx ,00处收敛在点若xxannn.)|,|(000内绝对收敛在区间则xxxannn结论结论:（）Ox|0 x|0 x0 x0 x收敛 0.(0),0 1Sxxannn且处当然收敛在以上分析结论的图示以上分析结论的图示:.0 00处发散在设xxxannn（）Ox|0 x|0 x0 x0 x发散若在外部一点收敛,会怎么样？处收敛在 0 x.0 00处发散在设xxxannn,|,011xxx满足若,01收敛使得nnnxa则由上面的分析可知,所有满足的|1xx,0收敛级数处点nnnxax在故级数0 nnnxa.0处收敛点 x这与假设矛盾.该矛盾说明:当,|0时xx 原级数发散.由以上的分析发现：内在如果幂级数),(0nnnxa既有收敛点,又有发散点,则从坐标原点开始沿数轴往右(左)走,最初只可能遇到它的收敛点,然后就会只遇到它的发散点,这两部分的分界)(PP点是关于坐标原点对称的,幂级数在分界点处可能收敛,也可能发散.现将以上的分析用图表示出来.（）PPxO收发RR幂级数在一个以坐标原点为中心的对称区间),(RR内收敛,在此区间外发散,在区间端点处幂级数可能收敛,也可能发散.,为幂级数的收敛区间）（此时称RR.称为幂级数的收敛半径R当幂级数仅在.0,0Rx则规定取处收敛 现在请你回想并归纳一下我们刚才进行的分析工作,给出你的结论.阿贝尔定理,0 000）处收敛（在若幂级数xxxxannn.,|0幂级数绝对收敛值的则对任何满足xxx 则对任处发散在若幂级数 ,00 xxxannn.,|0幂级数均发散值的任何满足xxx 幂级数敛散性定理,0nnnxa对任何一个幂级数都存在一个非负使数 ),0(RR;,)(|幂级数发散时此时当RRx;,|幂级数绝对收敛）时（包括当RRx.,|也可能发散幂级数可能收敛时当Rx幂级数的收敛半径我们称上述定理中的非负数 R 为幂级数的收敛半径.0nnnxa.0 ,0 Rx规定处收敛时当幂级数仅在.,),(R规定内收敛时当幂级数在 如何求收敛半径？求收敛半径的定理).),2 ,1 ,0(0(0naxannnn设有幂级数.1 ,|lim 1Raannn则其收敛半径为若.0 ,;,0,RR取时取时其中 你能证明吗?有点像达朗贝尔判别法？,)(nnnxaxu令由达朗贝尔判别法：|lim|lim|)(|)(|lim111nnnnnnnnnnnaxaxaxaxuxu|lim|1xaaxnnn讨论要证证|)(|)(|lim1xxuxunnn,0,)1(时当,|)(|,1|00收敛时nnxux.,1|0绝对收敛时当即幂级数xxannn,|)(|,1|0发散时nnxux.,1|0发散时当即幂级数xxannn.1 R故,0 )2(时当,10|,),(xx均有.),(0上收敛在故幂级数nnnxa.R故|)(|)(|lim1xxuxunnn,)3(时当 ,),0()0 ,(均有x1|lim|)(|)(|lim11nnnnnnaaxxuxu故此时幂级数发散,仅当.0时收敛x.0 R故|)(|)(|lim1xxuxunnn .1和绝对收敛区间的收敛半径及收敛区间求nnnx,1nan11lim|lim1nnaannnn1R ).(,1 ,111调和级数发散时nnnnnxx1例例3解解 .)(,)1(,111由交错级数收敛时nnnnnnxx综上所述,得:,1 R收敛半径1),1 收敛域1).,1 （绝对收敛区间.)5(1的收敛区间求nnnx ,5 则令 xy11)5(nnnnnynx1111lim|lim1nnaannnn谁的收敛半径？11R例例4解解.1 1ynnRny的收敛半径为故151 x由64 x,4 时当x111)1()54()5(nnnnnnnnnx由交错级数判别法,可知此时级数收敛.,6 时当x1111)56()5(nnnnnnnnx.,21 发散级数的这是Pp.)6 ,4 )5(1的收敛区间为故nnnx.12的收敛区间求nnxn1212 ,1 nnnnynxnxy则令1|)1(|lim|lim 221nnaannnn因为,1 ,yR所以.,11 12收敛时当nnyny,111 x故.,1 1 12收敛时或即nnxnxx例例5解解 :1 处的情形下面讨论x由级数收敛的必要条件,可知.)1(,11212发散时nnnnnxnx.,11212发散时nnnnxnx综上所述,.),1()1 ,(12的收敛区间为nnxn.!)12()1(012的收敛区间求nnnnx这是一个缺项的幂级数,不能直接运用求幂级数收敛半径的计算公式.今后遇到这类级数应该按照函数项级数的情形处理,通常是采用达朗贝尔判别法.!)12()1()(12nxxunnn令,0)22)(32(1lim|lim21nnxuunnnn .Rx.),(内绝对收敛故原级数在例例6解解 幂级数的运算 幂级数的四则运算 幂级数的解析运算三.幂级数的运算幂级数的四则运算设有两个幂级数)(22100 xfxaxaxaaxannnnn),(11RRx)(22100 xgxbxbxbbxbnnnnn),(22RRx,0 ,21为收敛半径式中RR则有以下运算规则1.加、减法,min 21RRR 取中则在 ),(RR000)(nnnnnnnnnnxbaxbxa)()(xgxf2.乘 法(对角线法),min 21RRR 取中则在 ),(RR00nnnnnnxbxa)()(xgxf0011110)(nnnnnnxbabababa0a0a0a0a1a1a1a1a2a2a2a2a3a3a3a3a0b0b0b0b1b1b1b1b2b2b2b2b3b3b3b3b0c1c2c3c就是说,在两个幂级数的公共收敛区间上可以像多项式那样进行加、减、乘的运算.)1(0的收敛区间及和求nnxn,1 nan,11lim|lim1nnaannnn ,1 时当x由收敛的必要条件知原级数发散.)1 ,1()1(0的收敛区间为故nnxn例例7解解000 )1(nnnnnnxxxn又,11 :,)1 ,1(0 xxxnn由等比级数的和时当).1 ,1()1(1)1(20 xxxnnn得