矩阵的基本运算课堂PPT

.11、运算定义运算定义&运算规则运算规则2、矩阵应用举例矩阵应用举例2.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算.2例如例如 9348314736521与与为同型矩阵为同型矩阵.同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念1.1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为.2.2.两个矩阵两个矩阵 为同型矩阵为同型矩阵,并且对应并且对应的元素相等的元素相等,即即 ,2,1;,2,1njmibaijij ijijAaBb与则称则称，记作，记作BA 1、运算定义运算定义&运算规则运算规则.3 设有两个设有两个m n矩阵矩阵A(aij)和和B(bij)矩阵矩阵A与与B的和记的和记为为A B 规定为规定为A B(aij bij)即即 v矩阵的加法矩阵的加法 只有当两个矩阵是只有当两个矩阵是时时,才能进行加法运算才能进行加法运算.1013859169504333281 11114744619 1035189190654338321 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111.4v矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律 设设A B C都是都是m n矩阵矩阵 则则 (1)A B B A (2)(A B)C A(B C)设矩阵设矩阵A(aij)记记 A(aij)A称为矩阵称为矩阵A的的；333101321222654123321222654123另，把元全为零的矩阵称为另，把元全为零的矩阵称为，记作，记作O；由此，规定由此，规定矩阵的减法矩阵的减法为为A B A(B)，例如，例如(3)A=A+O=O+A .5v矩阵的数乘矩阵的数乘.112222111211mnmmnnaaaaaaaaaAA规规定定为为或或的的乘乘积积记记作作与与矩矩阵阵数数,AAA 矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的统称为矩阵的(1)1;AA(2)()();AA (3)();AAA (4)().ABABv矩阵数乘的运算规律矩阵数乘的运算规律.6v矩阵乘法矩阵乘法把此乘积记作把此乘积记作 是一个是一个sn矩阵矩阵,那么规定矩阵那么规定矩阵A与矩阵与矩阵B的的乘积是一个乘积是一个mn 矩阵矩阵CAB 其中其中(),ijCc 设设是一个是一个ms矩阵矩阵,()ijAa(),ijBb 1 1221sijijijissjikkjkca ba ba ba b (1,2,;1,2,)im jn 例如例如 222263422142 C22 16 32 816?.7求求AB.101211300514A 例例 若若034121311121B 解解 3 4,ijAa 因因 4 3ijBb ,3 3.ijCc 故故 121113121430415003112101ABC.5 671026 2 17 10.8只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘数时，两个矩阵才能相乘.106861985123321例如例如不存在不存在.乘积乘积AB 维的关系维的关系nmA snB smC =A可左乘可左乘B的的.9练习练习 计算下列矩阵的乘积，并观察结果计算下列矩阵的乘积，并观察结果.3 33 41121415802110137 3 41214580210137 3 44 411214158021101371 3 41214580210137 123321 132231 .10 两个矩阵相乘两个矩阵相乘,乘积有可能是一个数乘积有可能是一个数.1011112122122212ssnnnnsn nn saaaaaaaaa 111112112212222212ssnnnnnnsn saaaaaaaaa .1111121121222212nnnnnnnn nn naaaaaaaaa 111212112122221122nnnnnnnnnn naaaaaaaaa .121122nnn nn nababab1 122nnn na ba ba b 两个两个n 阶对角阵之积仍为阶对角阵之积仍为n 阶阶对角阵对角阵.两个两个n阶上（下）三角阵之积仍为阶上（下）三角阵之积仍为n阶上（下）三角阵阶上（下）三角阵.13 矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律,即即(1)()()AB CA BC 结结合合律律:(2)()A BCABAC 分分配配律律:(3)()()()()ABA BAB 其其中中 为为常常数数(4)AEEAA(左乘分配律左乘分配律)(右乘分配律右乘分配律)()BC ABACA v矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律BAAB 例如例如 设设,1111A 1111B 则则0000AB 2222BA ABBA 两个非零矩阵的两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵乘积可能是零矩阵.14问题问题矩阵不满足交换律，可能有哪几种情形？矩阵不满足交换律，可能有哪几种情形？(1)(1)AB有意义，但有意义，但BA没意义；没意义；(2)(2)AB与与BA都有意义，但可能不是同阶方阵；都有意义，但可能不是同阶方阵；(3)(3)两者都有意义，且为同阶方阵，但仍有可能不相等两者都有意义，且为同阶方阵，但仍有可能不相等.结论结论 在矩阵的乘法中必须注意在矩阵的乘法中必须注意的顺序的顺序“左乘左乘”&“右乘右乘”但也有例外，比如设但也有例外，比如设,2002 A,1111 B则有则有,AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB 定义定义 满足满足AB=BA的矩阵称为可的矩阵称为可的的.结论结论 两个同阶对角矩阵是可交换的两个同阶对角矩阵是可交换的.15EA=AE=A结论结论 n阶单位阶单位矩阵与任意矩阵与任意n阶阶矩阵是可交换的矩阵是可交换的.即即证明证明设设 为任意为任意n阶矩阵阶矩阵,则有则有 ijn nAa 111212122212nnnnnnaaaaaaaaa111EA ijn naA 111212122212nnnnnnaaaaaaAEaaa 111 ijn naA .16 矩阵乘法不满足消去律，矩阵乘法不满足消去律，即即,0 ABAC ABC 不不能能推推出出例如例如 设设,1111A,1111B 2222C 有有,0000AB 0000AC 则则,ABAC 但是但是BC 该例也说明该例也说明0 0 0ABAB 不不能能推推出出或或 此例表明单位矩阵在矩阵乘法中的地位与数此例表明单位矩阵在矩阵乘法中的地位与数1在在数的乘法中的地位相当数的乘法中的地位相当.即即mm nm nnE AAE .17并且并且若若A是是n 阶方阵阶方阵,则则Ak为为A的的定义定义 (方阵的幂次方阵的幂次)的的k次幂次幂,即即 定义定义 (方阵的多项式方阵的多项式),kkAA AA 个个 ,(,)kmkm kmmkA AAAAm k 为为正正整整数数 ,ABBA 当当时时 222(1);(2)2.kkkABA BABAABB 1110()kkkkf xa xaxa xa 1110()kkkkf Aa AaAa Aa E 显然只有显然只有方阵的幂方阵的幂才有意义才有意义 .18解解1001.00kAA 设设,求求例例 2101001010000A 222210200 23222211002010000AA A32323330300 由此归纳出由此归纳出 121120200kkkkkkkk kkAkk .19用数学归纳法证明用数学归纳法证明:假设假设 k=n 时成立时成立,则则k=n+1 时时,1nnAA A 12111020010000nnnnnnn nnn 1001.00kAA 设设,求求例例 121120200kkkkkkkk kkAkk 解解归纳出归纳出.20所以对于任意的所以对于任意的k都有都有 121120.00kkkkkkkk kkAk 11111120100nnnnnnnnnn 1nnAA A 12111020010000nnnnnnn nnn .21v转置矩阵转置矩阵 把矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫叫做做A的转置矩阵的转置矩阵,记作记作.AA 或或例例122,458A 186,B 1425;28TA 18.6TB v转置矩阵转置矩阵的运算规律的运算规律(1)();(2)();TTTTTAAABAB (3)();(4)().TTTTTAAABB A 转置运算对乘积转置运算对乘积的去括号法则的去括号法则.22解解1 1例例 已知已知171201,423,132201AB ().TAB求求171201423132201AB 因因为为0143171310 017 14 13.3 10TAB 故故解解2 2 TTTABB A 142217200313112 01714 13.3 10 .23定义定义(对称阵对称阵)设设A为为n阶方阵阶方阵,如果满足如果满足 (,1,2,)ijjiaai jn ，那么，那么A称为称为.即即TAA.A为对称阵为对称阵例如例如 6010861612 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.TAAA 如如果果则则矩矩称称为为反反对对称称矩矩阵阵阵阵反对称矩阵的对角元必为零，即反对称矩阵的对角元必为零，即 014105450B是是3 3阶反对称矩阵阶反对称矩阵.例如.24证证(2)TTTHEXX 因因为为22(2)TTHHHEXX 例例 设列矩阵设列矩阵 12,TnXxxx 1,TX X ,2,TEnHEXX 为为 阶阶单单位位矩矩阵阵证证明明满足满足,.THHHE 是是对对称称矩矩阵阵 且且2()TTTEXX2TEXXH .H所所以以是是对对称称矩矩阵阵44()()TTTEXXXXXX 44()TTTEXXX X X X 44TTEXXXXE.25.:nA对对于于任任意意的的 阶阶矩矩阵阵证证明明例例证证 (1)()()()TTTTTAAAA ()()()TTTTTAAAA (2),TCAA 设设(1),.TTAAAA 是是对对称称矩矩阵阵是是反反对对称称矩矩阵阵(2).A可可表表示示为为对对称称矩矩阵阵和和反反对对称称矩矩阵阵之之和和TTAAAA ()TTAAAA TBAA 22TTAAAAA则则,22CB命题得证命题得证.显然显然C为对称矩阵为对称矩阵,B为反对称矩阵为反对称矩阵.262、矩阵应用举例矩阵应用举例（坐标变换）（坐标变换）平面解析几何中，若坐标系平面解析几何中，若坐标系Oxy绕原绕原点点O经逆时针方向转过角经逆时针方向转过角后成为后成为Oxy(如图如图)，任一向量在这两个坐标系中的任一向量在这两个坐标系中的坐标分别为坐标分别为 和和 ,它们有如它们有如下关系：下关系：cossinsincosxxyyxy写成矩阵形式，记为写成矩阵形式，记为cossinsincosxyxyxy xy过渡矩阵过渡矩阵（线性代数方程组）（线性代数方程组）一般形式的线性方程组，即一般形式的线性方程组，即Ax=b则线性方程组可被表示成等价的矩阵形式：则线性方程组可被表示成等价的矩阵形式：mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111111212122211,nnmmmnaaaaaaAaaa12,nxxxx若记若记12,mbbbb系数矩阵系数矩阵.28作业作业lP34.10lP65.2-1,2-2(2)(3)(4)(6)2-7