西姆松定理

西姆松定理：若从AABC外接圆上一点P（乍BC、AB, AC的垂线, 垂足分别为0、E、F,则、E、F三点共线；证明：连接DE、DF,显然，只需证明ZBDE = ZFDC即可；/ ZBDP = ZBEP = 90 . . B、E、P、。四点共圆，/. ZBDE = ZBPE 同理可得：ZFDC = ZPFC又ZBEP = ZPFC = 90 且ZPCF =180- ZPBA = ZPBE:.ZBPE = ZFPC :. ZBDE = ZFDC :. D, E、F三点共线西姆松的逆定理：从一点PAABC的三边（或它们的延长线）作垂线, 若其垂足L、M、N在同一直线上，则尸在AABC的外接圆上；证明：设AABC的垂心为O,则0、E、C、。四点共圆.由西姆松定理有：Q、R、S三点共线 又tO、F、E、。四点共圆且由西姆松定理有：P、Q、人三点共线.P、Q、R、S四点共圆例1 .设AABCfi勺三条垂线4D、BE、CF的垂足分别为D、E、F；从点D作佔、BE、CF、 ACfi勺垂线，其垂足分别为P、Q、R、S,求证P、Q、R、S在同一直线上；.证明：设AABC的垂心为O,则0、E、C、。四点共圆.由西姆松定理有：Q、R、S三点共线又tO、F、B、。四点共圆且由西姆松定理有：P、Q、人三点共线 P、Q、R、S四点共圆例2.四边形4BCD是圆内接四边形，且ZD是直角，若从B作直线AC、4D的垂线，垂足分别为E、F,则直线EF平分线段刃X证明：作BG丄DC,由西姆松定理有：F、E、G共线, 又ZBFD = ZFDG = ZDGB = 90四边形肿QG为矩形对角线FG平分另一条对角线 例3.求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上；证明：如图，设四条直线A3、EC、CD、A/冲，AB交仞于点E, 交AD于点F,圆BCE与圆仞F的另一个交点为G ZBGF = ZBGC + ZCGF = ZBEC + ZCDA,ZBGF + ZA = 180,即圆ABF过点G 同理圆AED也过点G.圆BCE,圆仞F、圆ABF、圆AED交于同一点G若点G向AB、EC、CD、04所作垂线的垂足分别为E、L、M、N、P, 由西姆松定理可知厶M、N在一条直线上，M、N、戶在一条直线上，故乙、M、N、戶在同一条直线上例4.设AABC的外接圆的任意直径为戶0,则关于戶、0的西姆松线是互相垂直的。提示：由只0向作垂线并延长交外接圆于点Q,先证P4、04分别与点只Q 的西姆松线平行，再证PPQQ是矩形，贝2么丄04