高等数学微积分第3章第3节反复隐导数

高等数学微积分第高等数学微积分第3章第章第3节节反复隐导数反复隐导数)(1)(1xfyf yxy0lim xyy1lim0 xyx0lim1)(1xf .)(1)(1xfyf 因因 yxxy 1故故)0(y xyy0lim1设设)(1yfx 证证例例1 求指数函数求指数函数)1,0(aaayx的导数的导数.解解xay 的反函数为的反函数为yxalog )(xa)(log1 yaeyalog11 ayln aaxln 特别地特别地.)(xxee 例例2 求求)11(arcsin xxy的导数的导数.解解的反函数为的反函数为yxsin )(arcsin x)(sin1 yycos1 y2sin11 .112x xyarcsin )(arccosx211)(arcsinxx )(arctanx )cot(xarc211x 211x 211x 例例3 求求xarcxeayxxcotarctan 的导数的导数.解解)cotarctan(xarcxeayxx)cot()(arctan)(xarcxeaxx221111)()(xxaeeaxxxx xxxxaeeaa ln).ln1(aeaxx )(cos8(x )(sin7(x )(ln4(x )(log3(xa )(2(x c)1()(5(xa )(6(xe )(tan9(x )(cot10(x )(sec11(x )(csc12(x )(arcsin13(x )(arccos14(x )(arctan15(x )cot)(16(xarc基本求导公式基本求导公式二二.复合函数的导数复合函数的导数如果如果)(xu 在点在点x处有导数处有导数),(xdxdu )(ufy 在对应点在对应点u处有导数处有导数),(ufdudy 则复合函数则复合函数)(xfy 在点在点x处的导数也存在处的导数也存在,而且而且dxdududydxdy ).()()(xufxf 或或dxdududydxdy xyxuuy xyx0limxuuyx 0limxuuyxx 00limlimxuuyxu 00limlimdxdududy .dxdududydxdy 故故)0(u证证例例4求求2)12(xy的导数的导数.解解1442 xxy y.48 x解解令令12 xu则则2uy dxdy)(2 u22 u).12(4 x1)4()4(2 xx)12(x解解 y)12(2 x)21(x).12(4 x例例5 求求nxycos 的导数的导数.解解令令nxu 则则uycos dxdy)(cos unu )sin(.sinnxn 解解 y)(nx)sin(nx)(nxnnx )sin(.sinnxn 例例6求求)ln(22axxy 的导数的导数.解解 y221axx 221axx 221axx ./122ax 221axx )(22 axx)(1 22 ax 1 22211 ax 2221ax )(22 ax)02(x例例7求求)310lncos(2xy 的导数的导数.解解 y)310cos(12x )310tan(2x ).310tan(62xx )310cos(12x )310cos(2 x)310sin(2x )310(2 x)310(2 x例例8求求)1,0(log aaxya的导数的导数.解解0 xxyalog exyalog1 0 x)(logxya yexalog1 故故.log1)(logexxaa exalog1)(x三三.抽象复合函数的导数抽象复合函数的导数 )(xf xux)(xf )(x 例例9已知已知)(uf可导可导,求求,)(ln xf ,)(naxf .)(naxf解解 )(lnxf)(ln xf )(ln)/1(xfx )(naxf)(naxf )()(1nnaxfaxn )(naxf naxf)(1)(naxfn1)(naxfn).()(1axfaxfnn )(ln x)(nax1)(naxn)(ax)(axf)(axf )(ax四四.分段函数的导数分段函数的导数例例10 已知函数已知函数 xf213 x33 x0 x10 x1 x求求).(xf 解解因因)0(,3)1(ff 不存在不存在故故 xf00 x310 x23x1 x分段函数求导函数时注意分段函数求导函数时注意(1)每一段内求导用法则求每一段内求导用法则求,(2)分界点求导用定义求分界点求导用定义求.五五.隐函数的导数隐函数的导数例例11 求由方程求由方程123 yx所确定的隐函数所确定的隐函数的导数的导数.)(xfy 解解方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导1)()(23 yx23x.232yxy 得得即即故故yy 20 2yyx xy)(2yy)(2 xy )(xfy 0),(yxF求求.y 例例12 求由方程求由方程0 xyeyx所确定的隐函数所确定的隐函数的导数的导数.)(xfy 解解方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导得得0)()(xyeyx即即yxe 故故.xyxyyeyex (1)y )(yxy 0 例例13 求由方程求由方程yxyxarctanln22 所确定的所确定的的导数的导数.)(xfy 解解 方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导得得)(arctan)ln(2122 yxyx即即)(2122yx 故故.xyxyy 隐函数隐函数)22(yyx 2)(11yx 2yxyy 例例14 求曲线求曲线422 yxyx上点上点(2,2)处的处的的切线方程的切线方程.解解 方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导得得02)(2 yyyxyx故故xyyxy 221)2,2(y所以切线方程为所以切线方程为)2(12 xy即即.04 yx例例15 设球半径设球半径R以以2厘米厘米/秒等速度增加秒等速度增加,求当球半径求当球半径R=10厘米时厘米时,其体积其体积V增加的速度增加的速度.解解334RV dtdVdtdRRR )34(3 dtdRR 24)34(3Rdtd.800210 dtdRRdtdV例例16 设设322)3(31xxxxy ,求求.y 解解 将等式两边取对数将等式两边取对数)3ln(2)3ln(31)1ln(ln2lnxxxxy 方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导 yy199311122 xxxxyy.99311122 xxxx六六.对数求导法对数求导法x2x 1131 x 31()32x 例例16 设设xxycos)(cot,求求.y 解解 将将xxycos)(cot 两边取对数两边取对数xxycotlncosln 方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导 yy1 y.csccotlnsin)(cotcosxxxxx )sin(x xcotln xcos)csc(2x xcot1)csc(cotln)sin(xxxy )(ty )(tx )(1xy 求求?dxdy dxdydxdtdtdy dtdxdtdy1 )(1)(tt .)()(tt )(1xy 是由是由)(ty )(1xt 复合而成复合而成解解七七.由参数方程确定的函数的求导法由参数方程确定的函数的求导法例例19 椭圆的参数方程为椭圆的参数方程为tbysin taxcos 椭圆在椭圆在4 t的对应点的对应点M0处的切线处的切线方程和法线方程方程和法线方程.,求求解解4 t时时,椭圆上的对应点椭圆上的对应点),(000yxM为为24cos0aax 24sin0bby dxdy )()(tt tatbsincoscotbta 0Mdxdy 4cot ttabab 切线方程切线方程)2(2axabby 即即02 abaybx法线方程法线方程)2(2axbaby 即即.0)(2122 abbyax