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第第4 4讲讲电电 磁磁 感感 应应专题十三专题十三 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律专题十四专题十四 动生电动势动生电动势专题十五专题十五 感生电动势和感生电场感生电动势和感生电场(涡旋电场涡旋电场)专题十六专题十六 自感应互感应自感应互感应专题十三法拉第电磁感应定律专题十三法拉第电磁感应定律tttttN 21磁通匝链数或全磁通磁通匝链数或全磁通:=1+2+N tN(当1=2=N=时)通量法则通量法则例例 半径为半径为 a 的大圆线圈和半径为的大圆线圈和半径为 b（ba)的小圆线圈共轴平行放置，的小圆线圈共轴平行放置，两线圈间距为两线圈间距为 h(如图所示）。大线圈中通有恒定电流电流强度为如图所示）。大线圈中通有恒定电流电流强度为 I，小，小线圈的电阻为线圈的电阻为R。小线圈以一条直径为轴，以角速度。小线圈以一条直径为轴，以角速度 匀角速旋转。试匀角速旋转。试求：求：1、小线圈中的感应电流强度；、小线圈中的感应电流强度；2、为使小线圈匀角速度旋转，应给、为使小线圈匀角速度旋转，应给小线圈加多大的外力矩？小线圈加多大的外力矩？3、小线圈对大线圈感应的电动势是多少？、小线圈对大线圈感应的电动势是多少？解解：1、23)(242220ahaIB大tbahaBcos)(2I4S2222023小大小tbahaItsin)(24-2222023小小tbahaIisin)(2R4R2222023小小2、载流线圈在磁场中受安培力矩为：、载流线圈在磁场中受安培力矩为：3、现在很难求，利用互感应部分就容易求了。、现在很难求，利用互感应部分就容易求了。BmM则外加力矩则外加力矩大小小BmMtbahaIRM22222220sin)()(24123小例例 磁悬浮列车是一种高速运载工具它具有两个重要系统：一是悬浮系磁悬浮列车是一种高速运载工具它具有两个重要系统：一是悬浮系统，利用磁力统，利用磁力(可由超导电磁铁提供可由超导电磁铁提供)使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触；另一是驱动触；另一是驱动 系统，在沿轨道上安装的三相绕组系统，在沿轨道上安装的三相绕组(线圈线圈)中，通上三相交中，通上三相交流电，产生随时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感流电，产生随时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得牵引力应金属板相互作用，使车体获得牵引力。设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度B B 随时间随时间 t t 和空间位置和空间位置 x x 变化规律为变化规律为式中式中 ，均为己知常均为己知常量，坐标轴量，坐标轴x x与轨道平行，在任一时刻与轨道平行，在任一时刻t t 轨道平面上磁场沿轨道平面上磁场沿x x方向的分布是不方向的分布是不均匀的，如图所示均匀的，如图所示.图中图中OxyOxy平面代表轨道平面，平面代表轨道平面，“”表示磁场的方向垂直表示磁场的方向垂直OxyOxy平面指向纸里，平面指向纸里，“”“”表示磁场的方向垂直表示磁场的方向垂直OxyOxy平面指向纸外平面指向纸外。规定指向规定指向纸外时纸外时B B取正埴，取正埴，“”和和“”“”的疏密程度表示沿着的疏密程度表示沿着x x轴轴B B的大小分布的大小分布。一一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框MNPQMNPQ处在该磁场中，已知与轨处在该磁场中，已知与轨道垂直的金属框边道垂直的金属框边MNMN的长度为的长度为l l，与轨道平行的金属框边，与轨道平行的金属框边MQMQ的长度为的长度为d d，金属，金属框的电阻为框的电阻为R R，不计金属框的电感，不计金属框的电感。)cos(),(kxtBtxB0kB,0解法二：通量法则解法二：通量法则tldrkrtBsdBd)cos(0dxxldrkrtBd)cos(0)()cos(0krtdkrtklBdxx)sin()(sin0kxtdxktklB)cos(0krtBB)cos()()cos()(0kxtdxktkvklBdtdtE)cos()()cos()(0kxtdxktkvkRlBREtiltdxBtiltxBtitf),()(),()()(2220)cos()cos()()(kdkxtkxtRvklbtf当当kd=(2n+1)，即即 当当kd=2n，即，即 lBv)(LlBv)(长为长为L的导体棒在磁场中作切割磁感应线运动而产生的动生电动势，的导体棒在磁场中作切割磁感应线运动而产生的动生电动势，ll dBvd)(Ll dBv)(FLBvqFEKK非静电力的场强为：非静电力的场强为：导体上导体上l 一段的电动势为：一段的电动势为：或或等于其上各等于其上各 上的电动势的代数和，即上的电动势的代数和，即BvqFK专题十四专题十四动生电动势动生电动势非静电力：非静电力：或或例例 如图所示，水平放置的金属细圆环半径为如图所示，水平放置的金属细圆环半径为a，竖直放置的金属细圆柱竖直放置的金属细圆柱(其半径比其半径比a小得多小得多)的端面与金属圆环的上表面在同一平面内，圆柱的细轴通过圆环的中心的端面与金属圆环的上表面在同一平面内，圆柱的细轴通过圆环的中心O。一质量为一质量为m，电阻为，电阻为R的均匀导体细棒被圆杯和细圆柱端面支撑，棒的一端有一小的均匀导体细棒被圆杯和细圆柱端面支撑，棒的一端有一小孔套在细轴孔套在细轴0上，另一端上，另一端A可绕轴线沿圆环作圆周运动，棒与圆环的摩擦系数为可绕轴线沿圆环作圆周运动，棒与圆环的摩擦系数为，圆环处在磁感应强度大小为圆环处在磁感应强度大小为Bkr、方向竖向上的恒定磁场中，式中、方向竖向上的恒定磁场中，式中 k 为大于零的为大于零的常量，常量，r 为场点到轴线的距离为场点到轴线的距离。金属细圆柱与圆环用导线金属细圆柱与圆环用导线 ed 连接连接。不计棒与轴及与不计棒与轴及与细圆柱端面的摩擦，也不计细圆柱、细圆柱端面的摩擦，也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场。问问沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的的A端才能使棒以角速度端才能使棒以角速度 匀速转动匀速转动。解解例：例：iiiiiiiirrkrrkrrBv2niiiniirrk12132233)()(33)(rrrrrrrr)(31332rrrrr331331323031311331)()()(31)(31akrrrrrrkrrknninii RakRI33(1)(2)(3)(4)iiiAirkIrrBIfiiiAiirkIrrfM23131312131)(31kIarrkIrrkIMMniiiniiiniiRakM962mgaM21MMfamgRakf2195(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)例例(2727决决)如图如图(a)(a)所示所示,十二根均匀的导线杆联成一边长为十二根均匀的导线杆联成一边长为l l的刚性正方的刚性正方体体,每根导线杆的电阻均为每根导线杆的电阻均为R R,该正方体在匀强磁场中绕通过其中心且与该正方体在匀强磁场中绕通过其中心且与abcdabcd 面垂直的转动轴作匀速转动，角速度为面垂直的转动轴作匀速转动，角速度为。己知磁感应强度大小。己知磁感应强度大小为为B B,方向与转动轴垂直方向与转动轴垂直,忽略电路的自感。当正方体转动到如图忽略电路的自感。当正方体转动到如图(b)(b)所示所示的位置的位置(对角线对角线dbdb与磁场方向夹角为与磁场方向夹角为)时，求时，求1 1、通过导线、通过导线 baba、adad、bcbc和和cdcd 的电流强度。的电流强度。2 2、为维持正方体作匀速转动所需的外力矩。、为维持正方体作匀速转动所需的外力矩。解：解：1 1、设、设t t 时刻线圈如图时刻线圈如图(b)(b)所示，则所示，则sin22)(21BllBvccaacos2222Blddbb(1)(1)(2)(2)根据电路的对称性可知根据电路的对称性可知1IIIIIcdcdbaba2IIIIIbcbcadad(3)(3)根据根据基尔霍夫第一定律，有基尔霍夫第一定律，有21IIIIccaa21IIIIddbb(4)(4)(5)(5)根据根据基尔霍夫第二定律，有基尔霍夫第二定律，有1211RIRIRIRIbbaa1222RIRIRIRIaadd(7)(7)(6)(6)根据根据(1)(7)(1)(7)解得解得)sin(cos8221RBlIIIcdba)sin(cos8222RBlIIIbcad(9)(9)(8)(8)2 2、当正方体转动到任意位置当正方体转动到任意位置(对角线对角线dbdb与磁场夹角为任意与磁场夹角为任意)时，时，通过通过aaaa、cccc、bbbb、dddd 的电流的电流sin422RBlIIIbaadaasin422RBlIIIcdbccccos422RBlIIIbcbabbcos422RBlIIIcdaddd(13)(13)(12)(12)(11)(11)(10)(10)为维持正方体作匀速转动所需的外力矩等于磁场对电路作用的合力矩，即为维持正方体作匀速转动所需的外力矩等于磁场对电路作用的合力矩，即aaccaaBlIFFbbddbbBlIIFcos222sin222lFlFMbbaaRlBM242专题十五感生电动势和感生电场专题十五感生电动势和感生电场(涡旋电场涡旋电场)(BvEqFSttBlEK感生电动势的非静电力？感生电动势的非静电力？StB感生电动势计算公式：感生电动势计算公式：磁场随量间变化时能在周围空间激发电场。称这种电场为感生电场或磁场随量间变化时能在周围空间激发电场。称这种电场为感生电场或涡旋电场，用涡旋电场，用 表示。表示。KESdtBS或或1 1、感生电动势、感生电动势kr2krR22(rR)(rR)KEkSkS(rR)(rR)SdtBl dESLKrStBlESLK或或 长圆柱形均匀磁场区的涡旋电场长圆柱形均匀磁场区的涡旋电场显然有显然有 例半径为例半径为 R 的圆柱形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外。的圆柱形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外。磁感应强度磁感应强度 B 随时间均匀变化，变化率随时间均匀变化，变化率 Bt k(k为一正值常量），为一正值常量），圆柱外没有磁场。沿圆柱外没有磁场。沿AC弦方向画一直线，并向外延长弦方向画一直线，并向外延长，弦，弦AC与圆柱横与圆柱横截面半径截面半径 OA的夹角的夹角4。设直线上任一点。设直线上任一点P与与A点的距离为点的距离为 x，求直，求直线上线上AP两点简的电动势的大小。两点简的电动势的大小。解解P 点在磁场区域内，点在磁场区域内，xkRkxRkSAP22sin21OAP1P 点在磁场区域外点在磁场区域外,:2Rx:2Rx)2(sin212cos2)sin21(22OCDOAC2kRRRRkSSkAP）扇形在在OCP中用正弦定理得：中用正弦定理得：)1(2122kRAP)sin(sin2RRx)sin(cos21)2()sin()2(sin4RxRxRcos2)2(sin2)2(RxRxRxRx)2(tanxRx)2(arctan)2arctan1(2122xRxkRAP例例 如图所示，一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环，其内、外半径分如图所示，一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环，其内、外半径分别为别为a1、a2，厚度可以忽略，厚度可以忽略。两个表面都带有电荷，电荷面密度两个表面都带有电荷，电荷面密度 随离开随离开环心距离环心距离r变化的规律均为变化的规律均为 ,为已知常量薄圆环绕通为已知常量薄圆环绕通过环心垂直环面的轴以大小不变的角加速度过环心垂直环面的轴以大小不变的角加速度 减速转动，减速转动，时刻的时刻的角速度为角速度为0。将一半径为将一半径为 a0(a0ara）产生的磁场的磁感应强度的大小）产生的磁场的磁感应强度的大小为：为：，式中式中k km m为已知常量，当线圈中的电流沿顺时针为已知常量，当线圈中的电流沿顺时针方向时，盘面上磁场方向垂直盘平面且竖直向上。静电力常量为方向时，盘面上磁场方向垂直盘平面且竖直向上。静电力常量为k ke e 。322rIakBm解：解：电荷受的力电荷受的力：切断线圈中的电流时，变化的磁场将产生涡旋电场切断线圈中的电流时，变化的磁场将产生涡旋电场 EcEc，所以电荷受到涡旋电场力；，所以电荷受到涡旋电场力；运动电荷受磁场洛仑力；运动电荷受磁场洛仑力；电荷受圆电荷受圆盘的约束力；盘的约束力；电荷间的相互作用力。电荷间的相互作用力。先求电荷受的涡旋电场力和力矩。由对称性知圆盘边缘处的涡旋电先求电荷受的涡旋电场力和力矩。由对称性知圆盘边缘处的涡旋电场处处相等，则有场处处相等，则有CLCRElE2（1）)11(4)(4)(221222122132iimiiimiiiimiiirrIakrrrIakrrrrIakSBRIkarrIakmRiiimSi221224)11(4（2）（3）切断电流，磁场消失，磁鑀改变量：切断电流，磁场消失，磁鑀改变量：由（由（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）得）得ttRIkaEmC222涡旋电场沿顺时针方向涡旋电场沿顺时针方向，涡旋电场，涡旋电场对对4个电荷作用力的合力为零，合力个电荷作用力的合力为零，合力矩矩 L 不为零，小球带动圆盘转动。不为零，小球带动圆盘转动。tRqIakRqELmC284（4）（5）4 4个小球的冲量矩为个小球的冲量矩为RqIaktLm28（6）设小球的转动角速度为设小球的转动角速度为，则由角动量定理得，则由角动量定理得RqIakmRmvRm2284)(4（7）322mRqIakm（8）金属小球转动时受金属小球转动时受 B B0 0 的磁场力，其方向沿圆盘半径指向圆心，大小为的磁场力，其方向沿圆盘半径指向圆心，大小为ImRBqakRBqfmB202202（9）任一金属小球受另外三个金属小球的电场力任一金属小球受另外三个金属小球的电场力沿圆盘半径方向，大小沿圆盘半径方向，大小为为22224)221()224(RqkRqRqqkfeee（10）设圆盘设圆盘稳定转动后稳定转动后，在水平方向对每个金属小球作用力的大小为，在水平方向对每个金属小球作用力的大小为 f,f,则则RmfffeB2ImRqakRqkImRqakfmem2222225242224)221(2（11）专题十六自感应互感应专题十六自感应互感应（1）、自感系数）、自感系数:LIIL（2）、自感电动势）、自感电动势:tILtLIt)(VnL20例例:质量为质量为m 的导体棒横跨在宽度为的导体棒横跨在宽度为l l 的倾斜的倾斜光滑平行金属导轨上光滑平行金属导轨上(如图如图),),若开关若开关依次接通依次接通1 1、2 2、3 3，不计，不计导体导体棒和导轨的电阻，当从静止释放导体棒棒和导轨的电阻，当从静止释放导体棒后，求在三种情况下稳定运动的状态。后，求在三种情况下稳定运动的状态。解解:（1）接通）接通R，导体棒受力为，导体棒受力为lBRvBlmgFsin1、自感、自感应应:稳定运动条件：稳定运动条件：sin22lBmgRvv稳定lBtvBlCmgFsin棒匀速运动速度：棒匀速运动速度：（2）接通）接通C，流过电容器的电流为，流过电容器的电流为0sinlBRvBlmgFtvBlCtCi导体棒受力为：导体棒受力为：棒的运动方程为：棒的运动方程为：maCalBmgF22sin导体棒作匀加速运动的加速度为：导体棒作匀加速运动的加速度为：ClBmmga22sin（3）接通）接通L，电感电压、电流关系为：，电感电压、电流关系为：tiLvBlxLBltvLBlixLBli（初值为零）（初值为零）将坐标原点移至将坐标原点移至A点，导体棒下滑至距点，导体棒下滑至距A点点 x 处时受力为处时受力为xLlBmgF22sin)sin(22maxLlBmgF棒的运动方程为：棒的运动方程为：22sinlBmgLAx受力为零时受力为零时2222)(sinxLlBxALlBmgF导体棒作简谐振动，频率、振幅和运动方程分别为导体棒作简谐振动，频率、振幅和运动方程分别为mLBl22sinlBmgLA 1)2cos(tTAx)sin(22maxLlBmgFmLlB22222sinlBmgLxpsin2222gxmLlBdtxd)cos(tAxh0,0,0vxt时故故22sin)cos(lBmgLtAx22sincoslBmgLA22sin)cos(lBmgLtAx)sin(tAv0sinA22sinlBmgLABlmLT22 1)2cos(tTAx证明以上结果证明以上结果令令例例 图图 OxyOxy是位于水平光滑桌面上的直角坐标系，在是位于水平光滑桌面上的直角坐标系，在x x0 0的一侧，存的一侧，存在匀强磁场，磁场方向垂直于在匀强磁场，磁场方向垂直于OxyOxy平面向里，磁感应强度的大小为平面向里，磁感应强度的大小为B B在在x x0 0的一侧，一边长分别为的一侧，一边长分别为l l1 1、和、和l l2 2的刚性矩形超导线框位于桌的刚性矩形超导线框位于桌面上，框内无电流，框的一对边与面上，框内无电流，框的一对边与x x轴平行线框的质量为轴平行线框的质量为m m，自感为，自感为L L现让超导线框沿现让超导线框沿x x轴方向以初速度轴方向以初速度v v0 0进人磁场区域试定量地讨论进人磁场区域试定量地讨论线框以后可能发生的运动情况及与初速度线框以后可能发生的运动情况及与初速度v v0 0大小的关系（假定线框在大小的关系（假定线框在运动过程中始终保持超导状态）运动过程中始终保持超导状态）tiLEL框的初速度框的初速度v0较小，简谐振动，有较小，简谐振动，有 振动的振幅振动的振幅：例例运动方程为：运动方程为：半个周期后，线框退出磁场区，将以速度半个周期后，线框退出磁场区，将以速度v0向左匀速运动。因为在这向左匀速运动。因为在这种情况下种情况下xm的最大值是的最大值是l1，故有，故有发生第种情况要求：发生第种情况要求：当当时运动方程不变，线框刚全部进入磁场的时刻为时运动方程不变，线框刚全部进入磁场的时刻为t1线框全部进入磁场区域后匀速前进，由线框全部进入磁场区域后匀速前进，由 求得运动速度：求得运动速度：例（例（30j530j5）如图，处于超导态、半径为如图，处于超导态、半径为 r r 0 0 、质量为、质量为 m m 、自感为、自感为 L L 的超导细圆环处在竖直放置的圆柱形磁棒上方，圆环的对称轴与磁棒的的超导细圆环处在竖直放置的圆柱形磁棒上方，圆环的对称轴与磁棒的对称轴重合，圆环附近的磁场具有轴对称性。磁棒磁感应强度对称轴重合，圆环附近的磁场具有轴对称性。磁棒磁感应强度B B可用一竖可用一竖直分量直分量B BZ ZB B0 0（1 12Z2Z）和一个径向分量）和一个径向分量BrBrB B0 0rr近似描述，这里近似描述，这里B B0 0、为大于零的常量，为大于零的常量，z z、r r 分别为竖直和径向位置坐标。在分别为竖直和径向位置坐标。在t=0 t=0 时刻，时刻，环心的坐标为环心的坐标为 z=0 z=0、r=0 r=0，环上电流为，环上电流为 I I0 0（规定环中电流的流向与（规定环中电流的流向与 z z 的正方向的正方向满足右手规则满足右手规则）。此时释放圆环开始向下运动，运动过程中环）。此时释放圆环开始向下运动，运动过程中环对称轴始终保持竖直。处于超导态的超导圆环具有这样的性质：穿过环对称轴始终保持竖直。处于超导态的超导圆环具有这样的性质：穿过环的总磁通保持不变。的总磁通保持不变。1 1、环作何种运动？给出环心、环作何种运动？给出环心的的 z z 坐标与时间的关系；坐标与时间的关系；2 2、求、求 t t 时刻环中电流的表达式。时刻环中电流的表达式。解：解：1 1、设、设 t t 时刻圆环中电流为时刻圆环中电流为 I I，则圆环中的磁通为，则圆环中的磁通为LIzBrLIBrZ)21(02020（1 1）002000,0,00LIBrIIrzt时，（3 3）（4 4）（2 2）由于超导圆环磁通保持不变，故有，即由于超导圆环磁通保持不变，故有，即0020020)21(LIBrLIzBr0由（由（3 3）式解得）式解得00202)(IzBrLzIt t 时刻圆环电流所受轴向安培力的大小为时刻圆环电流所受轴向安培力的大小为（6 6）（7 7）（5 5）0000200002)2(2)()(FkzrIzBrLrBrzIzBFrA0200040202224IrBFrBLk 式中式中作用在圆环上的合力为作用在圆环上的合力为)()()()(0FmgkzzFzFzFgA设圆环平衡位置在设圆环平衡位置在 z z0 0 处，则处，则0)()(000FmgkzzF4020220200004)2(rBLIrBmgkFmgz（1010）（9 9）（8 8）mLrBmk2002圆环圆环 t t 时刻的坐标为时刻的坐标为)cos()(00tAztz0)0(0)0(tvtzz由是给初始条件得由是给初始条件得0sin.0cos000AAz（1111）（1212）0.00zA 1)2cos(4)2()1(coscos)(2004020220200000tmLrBrBLIrBmgtztzztz（1414）（1313）2 2、将（、将（1313）式代入（）式代入（4 4）式得）式得2002000200020002000200200020000202)2cos()2(1)2)cos(2(1)2cos(2)2()(2)(rBmgtmLrBIrBmgItmLrBIrBmgItmLrBrBLIrBmgItzBrLtI例例 一圆柱形小永久磁棒竖直放置一圆柱形小永久磁棒竖直放置(如图如图)，在其正上方离棒中心，在其正上方离棒中心1 1 m m处处的的磁感应强度为磁感应强度为B B。,一超导圆形小线圈自远处移至磁棒正上方，与棒共轴，一超导圆形小线圈自远处移至磁棒正上方，与棒共轴，设线圈的半径为设线圈的半径为a，质量为，质量为m，自感为，自感为L，线圈只能上下运动，线圈只能上下运动(1)求平衡时线圈离棒中心的高度求平衡时线圈离棒中心的高度Z0已知已知aZ0;(2)求线圈受小扰动后作上下小振动的周期（用求线圈受小扰动后作上下小振动的周期（用Z0表示）表示）.30304224ZmrmB4200mB30ZBB NS30ZBBZ0IRdtd0常量解解：(1)小磁棒看成一小线圈磁矩，则小磁棒看成一小线圈磁矩，则Z处的磁场可表示为处的磁场可表示为 当线圈平衡在当线圈平衡在 Z0处时，设线圈中的电流为处时，设线圈中的电流为I0，则有，则有 (1)(2)0ZB02300LIa30200LZaBI(3)(4)ZaBaZZBaZBrZZ2)()(22ZBaBZZZZBZZBr23)(06230304023ZaBBr(5)用磁场的高斯定理求用磁场的高斯定理求Br:0 SdBmgazBIr2)(00mgaZaBLZaB22340030207422003LmgaBZ线圈受力平衡，即线圈受力平衡，即 (6)求得求得(7)0)()(02300iILaZZB0)()31(002300iILZZaZB003020033ZZILZaBZZimgaZZBiIFr2)()(00利用利用(3)、(4)式得式得 (2)线圈在平衡位置上移小量线圈在平衡位置上移小量Z，则线圈中电流变为，则线圈中电流变为I0+i，由，由(2)式得式得(8)线圈受力线圈受力由由(5)式得式得 )41(23)(23)(04004000ZZZaBZZaBZZBrmgaZZZBIiIFr2)41)()1(000007ZZmgF07ZggZT720 以以(8)式代入上式，并利用式代入上式，并利用(6)式得式得 则则2、互感应、互感应（1）、互感系数）、互感系数:（2）.、互感电动势：、互感电动势：tMItIMt22121tMItIMt1121221212IM12121IM1212122112IIMMM
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