高等数学第八章需要与mmm综合

闫红梅闫红梅高等数学高等数学沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院 数学数学2 2教研室教研室高等数学课程高等数学课程1(2)1(2)高等数学高等数学1(2)下册多元函数、极限、连续、偏导数、偏导数、全微分、偏导数应用全微分、偏导数应用二重积分、三重积分及应用无穷级数向量代数与空间解析几何曲线积分、曲面积分及应用高等数学课程高等数学课程1(2)1(2)高等数学高等数学1(2)必修，本学期96学时，考试课，6学分平时成绩占平时成绩占20%20%期末成绩期末卷面占期末卷面占80%80%出勤6分满测验8分满作业6分满（一般平时成绩平均分16分）要求要求1、保证出勤，认真听懂课，不懂处及时 问,学会问.2、课后复习，及时并独立完成作业.3、临上课前一天看书了解学过知识.4、关键处记笔记，学会归纳整理，不欠债.5、选一本合适的参考书.6、经常翻看上册书(求导求积的公式和方法.答疑答疑质疑质疑节节日日休休息息 时间：星期一 78节 (暂定)地点：E3馆-208209教师：数学2教研室教师轮流值班制人员：信息学院、机械学院的学生交作业时间：每星期三 下午 E3馆-208室 数量关系数量关系 第八章第八章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点,线线,面面基本方法基本方法 坐标法坐标法;向量法向量法坐标坐标,方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 第八八章.a或表示法表示法:向量的模向量的模:向量的大小向量的大小,21MM记作一、向量的概念一、向量的概念向量向量:(又称又称矢量矢量).1M2M既有既有大小大小,又有又有方向方向的量称为向量的量称为向量向径向径(矢径矢径):自由向量自由向量:与起点无关的向量与起点无关的向量.起点为原点的向量起点为原点的向量.单位向量单位向量:模为模为 1 的向量的向量,.a或记作 a零向量零向量:模为模为 0 的向量的向量,.00或，记作有向线段有向线段 M1 M2,或或 a,a或.a或规定规定:零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行;若向量若向量 a 与与 b大小相等大小相等,方向相同方向相同,则称则称 a 与与 b 相等相等,记作记作 ab;若向量若向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相同或相反,则称则称 a 与与 b 平行平行,ab;与与 a 的模相同的模相同,但方向相反的向量称为但方向相反的向量称为 a 的的负向量负向量,记作记作因平行向量可平移到同一直线上因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称故两向量平行又称 两向量两向量共线共线.若若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上个向量经平移可移到同一平面上,则称此则称此 k 个向量个向量共面共面.记作记作a;二、向量的线性运算二、向量的线性运算1.向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则:平行四边形法则平行四边形法则:运算规律运算规律:交换律交换律结合律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加.bbabbacba)()(cbacbaabcba cb)(cbacba)(aaba ba s3a4a5a2a1a54321aaaaas2.向量的减法向量的减法三角不等式三角不等式ab)(ab有时特别当,ab aa)(aababaabababa0babaaa3.向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数是一个数,.a规定规定:时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见可见;1aa;aa 与与 a 的乘积是一个新向量的乘积是一个新向量,记作记作，反向与aa总之总之:运算律运算律:结合律结合律)(a)(aa分配律分配律a)(aa)(baba,0a若a则有单位向量.1aa因此因此aaa 定理定理1.设设 a 为非零向量为非零向量,则则(为唯一实数为唯一实数)证证:“”.,取取 且且再证数再证数 的唯一性的唯一性.则则,0故.即abab设设 abba取正号取正号,反向时取负号反向时取负号,a,b 同向时同向时则则 b 与与 a 同向同向,设又有设又有 b a,0)(aaa baab.ab故,0a而“”则,0 时当注：定理注：定理1是建立数轴的理论依据是建立数轴的理论依据.,0 时当,0 时当P已知 b a,b0a,b 同向a,b 反向ab 设点设点O及单位向量及单位向量i确定数轴确定数轴ox.iOPi由定理由定理1，必有唯一的实数，必有唯一的实数x，使，使OP,i x 实数实数x叫做数轴上有向线段叫做数轴上有向线段 的值的值.OP与实数与实数x 一一 一对应一对应.OPP向量向量OPi x 实数实数x（实数（实数x叫做数轴上点叫做数轴上点P的坐标）的坐标）例例1.设 M 为MBACD解解:ABCD 对角线的交点,ba,aAB,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD练习：化简练习：化简 53215abbba 化简化简 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba xyz三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)过空间一定点过空间一定点 o,o 坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)面xoy面yozzox面面1.空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念 右手法则右手法则2.向量的坐标表示向量的坐标表示OM为对角线，三条坐标轴为棱作长方体为对角线，三条坐标轴为棱作长方体沿三个坐标轴方向的沿三个坐标轴方向的分向量分向量.kzjyixrxoyzMNBCijkA此式称为向量此式称为向量 r 的的坐标分解式坐标分解式,rkzjyix称为向量,r任给向量任给向量 r，NMONOMOCOBOA,ixOA,jyOBkzOCQPCPMQ OANB，如图，如图 rOM有对应点有对应点M，使，使.r 以以于是点于是点 M、M故定义：故定义：的的坐标，记作坐标，记作三个分向量，三个分向量，进而确定了进而确定了x,y,z 三个有序数；反之，三个有序数；反之，给定三个有序数给定三个有序数x,y,z，一一对应的关系一一对应的关系.),(zyxkzjyixOM r显然，给定向量显然，给定向量 r，就确定了点就确定了点M 及及OA、OB、OC也就确定了向量也就确定了向量r与点与点M.向量向量r 与三个有序数与三个有序数x,y,z之间之间 有有有序数有序数x,y,z 称为向量称为向量r（在坐标系（在坐标系O xyz中）中）M),(zyxr 有序数有序数x,y,z 也称为点也称为点或或,zyxr （在坐标系（在坐标系O xyz中）中）的的坐标，记作坐标，记作).,(zyxM坐标面上的点坐标面上的点 P,Q,N;坐标轴上的点坐标轴上的点 A,B,C特殊点的坐标特殊点的坐标 :原点原点 O(0,0,0);xoyzMNBCijkArQP向量向量OM r称为点称为点M关于原点关于原点O的向径的向径.一个点与该点的向径有相同的坐标一个点与该点的向径有相同的坐标.记号记号),(zyx既可以表示点既可以表示点M，又表示向径，又表示向径OM注意区分注意区分.坐标轴坐标轴:轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面坐标面:面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设设),(zyxaaaa,),(zyxbbbb 则则ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例:，为实数向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 例例2.求解以向量为未知元的线性方程组求解以向量为未知元的线性方程组ayx35byx23.211,212），（），（其中ba解解:2 3,得得bax32)10,1,7(代入代入得得)3(21bxy)16,2,11(例例3.已知两点已知两点在在AB直线上求一点直线上求一点 M,使使解解:设设 M 的坐标为的坐标为,),(zyx如图所示如图所示ABMo11MAB,),(111zyxA),(222zyxB及实数及实数,1得得),(zyx11),(212121zzyyxx即即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOBAOOM)(OMOBOMOBOA(说明说明:由由得得定比分点公式定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点点 M 为为 AB 的中点的中点,于是得于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式中点公式:五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得由勾股定理得),(111zyxA因因AB得两点间的距离公式得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点对两点与与,),(222zyxB,rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBA例例4.求证以求证以)3,2,5(,)2,1,7(,)1,3,4(321MMM证证:1M2M3M21MM 2)47(2)31(2)12(1432MM 2)75(2)12(2)23(631MM 2)45(2)32(2)13(63132MMMM即即321MMM为等腰三角形为等腰三角形.的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形.为顶点为顶点例5.在在 z 轴上求与两点轴上求与两点)7,1,4(A等距解解:设该点为,),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,3(B.),0,0(914M思考思考:(1)如何求在 xoy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?离的点.提示:(1)设动点为,)0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx(2)设动点为,),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例例6.已知两点)5,0,4(A和,)3,1,7(B解解:求141)2,1,3(142,141,143.BABABABAoyzx2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量设有两非零向量,ba任取空间一点任取空间一点 O,aOA作,bOBOAB称称 =AOB(0 )为向量为向量 ba,的夹角的夹角.),(ab或类似可定义向量与轴类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角轴与轴的夹角.,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角与三坐标轴的夹角 ,rr称为其为其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦.记作记作),(bacosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrr)cos,cos,(cosoyzxr例例7.已知两点已知两点)2,2,2(1M和和,)0,3,1(2M的模的模、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角.解解:,21,23)20计算向量计算向量)2,1,1(222)2(1)1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM例例8.设点设点 A 位于第一卦限位于第一卦限,解解:已知已知角依次为角依次为,43求点求点 A 的坐标的坐标.,43则则222coscos1cos41因点因点 A 在第一卦限在第一卦限,故故,cos21于是于是(6,21,22)21)3,23,3(故点故点 A 的坐标为的坐标为.)3,23,3(向径向径 OA 与与 x 轴轴 y 轴的夹轴的夹,6AO且OAOAAO3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影u AA 过过点点A作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影.Ore向量 AO 称为向量 r在u轴上的分向量.设 AO ,e 则数 称为向量 r在u轴上的投影.记作rjuPr或ur)(,Prajaxx 由此向量,zyxaaaa 的坐标,Prajayy,Prajazz 向量的投影的性质向量的投影的性质,cosPr aaju 性质性质1.1.其中其中 为向量为向量 与与 轴的夹角轴的夹角.au性质性质2.2.PrPr)(Prbjajbajuuu 性质性质3.3.PrPrajajuu 两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和.a备用题备用题解解:因因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji157131.设设,853kjim,742kjin求向量求向量pnma34在在 x 轴上的投影及在轴上的投影及在 y轴上的分向量轴上的分向量.13xa在在 y 轴上的分向量为轴上的分向量为jjay7故在故在 x 轴上的投影为轴上的投影为jip 5,4k2.设设求以向量求以向量 行四边形的对角线的长度行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为该平行四边形的对角线的长度各为 11,3 对角线的长为对角线的长为解：解：为边的平为边的平mnnm,|,|nm|nm)1,1,1(nm)1,3,1(nm3|nm11|nm,2kjn,jim空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离空间两点间距离 公式公式（注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限）六、小结六、小结 21221221221zzyyxxMM 向量、向量的坐标、向量的线性运算向量、向量的坐标、向量的线性运算向量的方向角与方向余弦向量的方向角与方向余弦重要结论重要结论,0aaa aaa 0设设 a 为非零向量为非零向量,则则(为唯一实数为唯一实数)abab),(zyxkzjyixr 设设),(zyxaaaa,),(zyxbbbb 则则ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaa，为实数定比分点公式定比分点公式模模222zyxaaaa ),(111zyxA),(121212zzyyxx若两点若两点与与,),(222zyxBBA向量的坐标向量的坐标思考题思考题在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？,)3,2,1(A,)4,3,2(B,)4,3,2(C.)1,3,2(D思考题解答思考题解答A:;B:;C:;D:;cosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向角方向角与方向与方向余弦余弦解解设设P点坐标为点坐标为),0,0,(x因因为为P在在x轴轴上上，1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x,22 x 1PP,22PP112 x222 x,1 x所求点为所求点为).0,0,1(),0,0,1(