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练习三练习三刚体的定轴转动（一）刚体的定轴转动（一）1.1.一个转动的轮子由于轴承摩擦力矩的作用，一个转动的轮子由于轴承摩擦力矩的作用，其转其转动角速度渐渐变慢，动角速度渐渐变慢，第一秒末的角速度是起始角速第一秒末的角速度是起始角速度度 0 0的的 0.80.8 倍。若摩擦力矩不变，第二秒末角速倍。若摩擦力矩不变，第二秒末角速度为度为（用（用 0 0表示）表示）；该轮子在静止之前共转了；该轮子在静止之前共转了转。转。2.2.一个可视为质点的小球和两根长均为一个可视为质点的小球和两根长均为l l的细棒刚的细棒刚性连接成如图性连接成如图 3-23-2 所示的形状，假定小球和细棒所示的形状，假定小球和细棒的质量均为的质量均为mm，那么，该装置绕过，那么，该装置绕过OO点的点的OZOZ轴轴转动的转动惯量为转动的转动惯量为。3.3.（1 1）两个匀质圆盘两个匀质圆盘A A、B B的密度分别为的密度分别为 A A和和 B B，且且 A A B B。质量和厚度相同。两圆盘的旋转轴均通质量和厚度相同。两圆盘的旋转轴均通过盘心并垂直于盘面，则它们的转动惯量的关系过盘心并垂直于盘面，则它们的转动惯量的关系是：是：（1 1）I IA A I IB B；（4 4）不能判断。）不能判断。分析：分析：mm 相等，相等，A A B B，V VA A小，厚度相等，小，厚度相等，R RA A小，小，J J1/2mR1/2mR2 2,所以所以 J JA A小小4.4.（3 3）一力矩一力矩MM作用于飞轮上，作用于飞轮上，飞轮的角加速度飞轮的角加速度为为 1 1，如撤去这一力矩，飞轮的角加速度为，如撤去这一力矩，飞轮的角加速度为-2 2，则该飞轮的转动惯量为：则该飞轮的转动惯量为：5.5.（3 3）如图，如图，A A 与与 B B 是两个质量相同的小球，是两个质量相同的小球，A A球用一根不能伸长的绳子拴着，球用一根不能伸长的绳子拴着，B B 球用橡皮筋拴球用橡皮筋拴着，着，把它们拉到水平位置，把它们拉到水平位置，放手后两小球到达竖直放手后两小球到达竖直位置时绳长相等，则此时两球的线速度位置时绳长相等，则此时两球的线速度（1 1）VAVB；（2 2）VAVB；（3 3）VAVB；（4 4）无法判断。）无法判断。6.6.（4 4）一质量为一质量为 60kg60kg 的人站在一质量为的人站在一质量为 60kg60kg、半径为半径为 l lmm的匀质圆盘的边缘，的匀质圆盘的边缘，圆盘可绕与盘面相圆盘可绕与盘面相垂直的中心竖直轴无摩擦地转动。垂直的中心竖直轴无摩擦地转动。系统原来是静止系统原来是静止的，的，后来人沿圆盘边缘走动，后来人沿圆盘边缘走动，当人相对圆盘的走动当人相对圆盘的走动速度为速度为 2m/s2m/s 时，圆盘角速度大小为时，圆盘角速度大小为：（1 1）1rad/s1rad/s；（2 2）2rad/s2rad/s；（3 3）2/3rad/s2/3rad/s；（4 4）4/3rad/s4/3rad/s。解：角动量守恒解：角动量守恒7.7.如图如图 3-73-7 所示，所示，物体物体 1 1 和和 2 2 的质量分别为的质量分别为m1与与m2，滑轮的转动惯量为，滑轮的转动惯量为J，半径为，半径为r。（1 1）如物体如物体 2 2 与桌面间的摩擦系数为与桌面间的摩擦系数为，求系统求系统的加速度的加速度a及绳中的张力及绳中的张力T1和和T2（设绳子与滑轮（设绳子与滑轮间无相对滑动，滑轮与转轴无摩擦）间无相对滑动，滑轮与转轴无摩擦）；（2 2）如物体）如物体2 2 与桌面间为光滑接触，求系统的加与桌面间为光滑接触，求系统的加速度速度a及绳中的张力及绳中的张力T1和和T2。图图 3-73-7m1gr m2gr,22m1r m2r Jm1gr2m2gr2a m1r2m2r2 Jm1m2gr2m1m2gr2m1JgT1m1r2m2r2 Jm1m2gr2m1m2gr2m2JgT2m1r2m2r2 Jm1gr2(2)当0 时：a m1r2 m2r2 Jm1m2gr2 m1Jgm1m2gr2T1,T222m1r m2r Jm1r2 m2r2 J8.8.一长为一长为 2 2l l，质量为，质量为 3 3mm的细棒的两端粘有质量的细棒的两端粘有质量分别为分别为 2 2mm和和mm的物体（如图的物体（如图 3-83-8 所示）所示），此杆，此杆可绕中心可绕中心OO轴在铅直平面内转动。先使其在水平轴在铅直平面内转动。先使其在水平位置，然后静止释放。求：位置，然后静止释放。求：（1 1）此刚体的转动惯量；）此刚体的转动惯量；（2 2）水平位置时的杆的角加速度；）水平位置时的杆的角加速度；（3 3）通过铅直位置时杆的角速度。）通过铅直位置时杆的角速度。（1 1）此刚体的转动惯量；）此刚体的转动惯量；解：解：J 1(3m)(2L)2mL22mL2 4mL212（2 2）水平位置时的杆的角加速度；）水平位置时的杆的角加速度；解：解：M=JM=J ,M=2mgL-mgLM=2mgL-mgL（3 3）通过铅直位置时杆的角速度。）通过铅直位置时杆的角速度。解：机械能守恒：解：机械能守恒：0+00+0mgL-2mgL+1/2JmgL-2mgL+1/2J2 2g4Lg/2L练习四练习四刚体的定轴转动（二）刚体的定轴转动（二）1.1.用一条皮带将两个轮子用一条皮带将两个轮子A A和和B B连接起来，轮与连接起来，轮与皮带间无相对滑动，皮带间无相对滑动，B B轮的半径是轮的半径是A A轮半径的轮半径的 3 3倍。倍。（1 1）如果两轮具有相同的角动量，则）如果两轮具有相同的角动量，则A A、B B两轮两轮转动惯量的比值为转动惯量的比值为；（2 2）如果两轮具有相同的转动动能，则）如果两轮具有相同的转动动能，则A A、B B 两两轮转动惯量的比值为轮转动惯量的比值为。2.2.某滑冰者转动的角速度原为某滑冰者转动的角速度原为0 0，转动惯量为，转动惯量为I I0 0，当他收拢双臂后，当他收拢双臂后，转动惯量减少了转动惯量减少了 1/41/4。这时他转这时他转动的角速度为动的角速度为；他若不收拢双臂，而被；他若不收拢双臂，而被另一个滑冰者作用，角速度变为另一个滑冰者作用，角速度变为20，则另，则另一滑冰者对他施加力矩所作的功一滑冰者对他施加力矩所作的功A A为为。解：解：3.3.银河系有一可视为球体的天体，由于引力凝聚，银河系有一可视为球体的天体，由于引力凝聚，体积不断收缩。设它经过一万年体积收缩了体积不断收缩。设它经过一万年体积收缩了1%1%，而质量保持不变。则它的自转周期将而质量保持不变。则它的自转周期将 3 3；其转动；其转动动能将动能将1 1。（1 1）增大；）增大；（2 2）不变；）不变；（3 3）减小。）减小。4.4.（3 3）一子弹水平射入一木棒后一同上摆。在上一子弹水平射入一木棒后一同上摆。在上摆的过程中，以子弹和木棒为系统，则总角动量、摆的过程中，以子弹和木棒为系统，则总角动量、总动量及总机械能是否守恒？结论是：总动量及总机械能是否守恒？结论是：（1 1）三量均不守恒；）三量均不守恒；（2 2）三量均守恒；）三量均守恒；（3 3）只有总机械能守恒；只有总机械能守恒；（4 4）只有总动量不守恒。只有总动量不守恒。5.5.（4 4）如图如图 4-24-2，一轻绳跨过两个质量均为，一轻绳跨过两个质量均为m m，半径均为半径均为 R R 的匀质圆盘状定滑轮。绳的两端分别的匀质圆盘状定滑轮。绳的两端分别系着质量分别为系着质量分别为 m m 和和 2m2m的重物。不计滑轮转轴的重物。不计滑轮转轴的摩擦。的摩擦。将系统由静止释放，将系统由静止释放，且绳与两滑轮间均无且绳与两滑轮间均无相对滑动，则两滑轮之间绳的张力为：相对滑动，则两滑轮之间绳的张力为：（1 1）mgmg；（2 2）3mg/23mg/2；（3 3）2mg2mg；（4 4）11mg/811mg/8。6.6.一质量为一质量为mm，长为长为l l的均匀细棒，的均匀细棒，放在水平桌面放在水平桌面上，可绕杆的一端转动，如图上，可绕杆的一端转动，如图 6-56-5 所示，初始时所示，初始时刻杆的角速度为刻杆的角速度为 0 0。设杆与桌面的摩擦系数为。设杆与桌面的摩擦系数为，求：求：（1 1）杆所受的摩擦力矩；）杆所受的摩擦力矩；（2 2）当杆转过）当杆转过 9090 时，摩擦力矩所作的功和杆的时，摩擦力矩所作的功和杆的转动角速度转动角速度。/2解：解：AMfd 0mgl421212AJ J0223g02L7.7.设质量为设质量为MM长为长为l l的均匀直棒，可绕垂直于杆的均匀直棒，可绕垂直于杆的上端的水平轴无摩擦地转动。的上端的水平轴无摩擦地转动。它原来静止在平衡它原来静止在平衡位置上，现有一质量位置上，现有一质量mm=M/M/3 3 的弹性小球水平飞的弹性小球水平飞来，来，正好碰在杆的下端。正好碰在杆的下端。相碰后，相碰后，使杆从平衡位置使杆从平衡位置摆动到最大位置摆动到最大位置 maxmax=60=60 处，处，如图如图 4-74-7 所示。所示。求：求：解：碰撞前后，解：碰撞前后，E Ek k守恒：守恒：（1 1）设为弹性碰撞，试计算小球初速度）设为弹性碰撞，试计算小球初速度v v0 0的值；的值；1/2mv01/2mv21/2J2J 1/3ML mL碰撞前后，碰撞前后，L L 守恒：守恒：棒上升，棒上升，E E 守恒：守恒：222mv0L mvL J11J2 mgL(1 cos 60o)22三式联立，解得：ggL,v 0,v02L2（2 2）碰撞过程中小球受到多大的冲量。）碰撞过程中小球受到多大的冲量。解：解：Imvmv0 12gL2练习五练习五刚体的定轴转动（三）刚体的定轴转动（三）1.1.如图如图 5-15-1 所示，均匀细棒长为所示，均匀细棒长为l l，质量为，质量为MM，下，下端无摩擦地铰在水平面上的端无摩擦地铰在水平面上的OO点。当杆受到微扰点。当杆受到微扰从竖直位置倒至水平面上时，顶端从竖直位置倒至水平面上时，顶端A A点的速度点的速度为：为：。2.2.如图如图 5-25-2 所示，半径为所示，半径为R R，质量为，质量为mm的匀质圆的匀质圆盘可绕水平固定轴转动。现以一轻绳绕在轮边缘，盘可绕水平固定轴转动。现以一轻绳绕在轮边缘，绳的下端挂一质量为绳的下端挂一质量为mm的物体，圆盘从静止开始的物体，圆盘从静止开始转动后，转动后，它转过的角度和时间的关系为它转过的角度和时间的关系为。3.3.（1 1）长为长为L L的均匀细杆的均匀细杆OMOM绕水平绕水平OO轴在竖轴在竖直面内自由转动，今使细杆直面内自由转动，今使细杆OMOM从水平位置开始从水平位置开始自由下摆，自由下摆，在细杆摆动到铅直位置的过程中，在细杆摆动到铅直位置的过程中，其角其角速度速度，角加速度，角加速度 如何变化？如何变化？（1 1）增大，增大，减小；减小；（2 2）减小，减小，减小；减小；（3 3）增大，增大，增大；增大；（4 4）减小，减小，增大。增大。在下降过程中，机械能守恒：mgLL1mgLcos mg(1cos)J2,222JLmgLsinJ M mgsin,22J4 4（3 3）人造地球卫星绕地球作椭圆运动，地球在人造地球卫星绕地球作椭圆运动，地球在椭圆的一个焦点上，椭圆的一个焦点上，卫星的动量卫星的动量P P，角动量角动量L L及卫及卫星与地球所组成的系统的机械能星与地球所组成的系统的机械能E E是否守恒？是否守恒？（1 1）P P不守恒，不守恒，L L不守恒，不守恒，E E不守恒；不守恒；（2 2）P P守恒，守恒，L L不守恒，不守恒，E E不守恒；不守恒；（3 3）P P不守恒，不守恒，L L守恒，守恒，E E守恒；守恒；（4 4）P P守恒，守恒，L L守恒，守恒，E E守恒；守恒；（5 5）P P不守恒，不守恒，L L守恒，守恒，E E不守恒；不守恒；分析：万有引力是保守力，机械能守恒；分析：万有引力是保守力，机械能守恒；是有心力，角动量守恒是有心力，角动量守恒万有引力是卫星所受的外力，万有引力是卫星所受的外力，不为不为 0 0，所以动量不所以动量不守恒守恒5.5.（3 3）如图如图 5-55-5 所示，所示，A A、B B 为两个相同绕着轻为两个相同绕着轻绳的定滑轮，绳的定滑轮，A A 滑轮挂一质量为滑轮挂一质量为 MM 的物体，的物体，B B 滑滑轮受拉力轮受拉力 F F，而且，而且 F=MgF=Mg，设，设 A,BA,B 两滑轮的角加两滑轮的角加速度分别为速度分别为A和和B，不计滑轮轴的摩擦，则有，不计滑轮轴的摩擦，则有（1 1）A=B；（2 2）A B；（3 3）A B；（4 4）开始）开始A=B以后以后A B。图图 5-55-5A,M:Mg T Ma滑轮：TR JAa RAMgRJ MR2B:FR JBBMgRJA所以：AB6.6.如图如图 5-65-6 所示，所示，B B的质量的质量mm2 2足够大，使其能在足够大，使其能在重力作用下运动，重力作用下运动，设设A A的质量为的质量为mm1 1与斜面间的摩与斜面间的摩擦系数为擦系数为，轴承摩擦不计，绳不可伸长，质量为，轴承摩擦不计，绳不可伸长，质量为MM的滑轮可视为均匀圆盘，求物体的滑轮可视为均匀圆盘，求物体B B由静止下落由静止下落的高度的高度h h时的速度。时的速度。A A：TAmg cos mg sin mAaAB B：m2g T2 m2aB轮：轮：T2R T1R JaA aBRv2v0 2ah7.7.如图如图 5-75-7 所示，把细杆所示，把细杆OMOM由水平位置静止释由水平位置静止释2v 2ah放，放，杆摆至铅直位置时刚好与静止在光滑水平桌面杆摆至铅直位置时刚好与静止在光滑水平桌面上质量为上质量为mm的小球相碰，设杆的质量与小球的质的小球相碰，设杆的质量与小球的质量相同，碰撞又是弹性的，求碰撞后小球的速度。量相同，碰撞又是弹性的，求碰撞后小球的速度。碰撞前后：碰撞前后：（1 1）L L 守恒：守恒：J（2 2）E E 守恒：守恒：111mgl J2,J ml2223 JmvL3gL111J2J2mv2222（1 1）（2 2）联立消去）联立消去得v 3gL
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