二次函数的基础知识和经典练习题

二次函数二次函数一、基础知识1.定义：一般地，如果y ax2bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数的表示方法：数表法、图像法、表达式.3.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y ax2（a 0)；y ax2 k；(a 0)y ax h(a 0)顶点式)；2y ax h k；（a 0)2y ax2bx c.它们的图像都是对称轴平行于（或重合）y轴的抛物线.4.各种形式的二次函数的图像性质如下表：函数解析式y ax2y ax2 ky ax h2开口方向当a 0时开口向上当a 0时开口向下对称轴顶点坐标（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)x 0（y轴）x 0（y轴）x hx hy ax h k2y ax2bx cx b2ab4ac b2(，)2a4a1.抛物线y ax2bx c中的系数a,b,c（1）a决定开口方向：几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.当a 0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当a 0时，抛物线开口向下，顶点为其最高点.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置：当b 0时，对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴右侧.（3）c决定抛物线与y轴交点位置：当c 0时，抛物线经过原点；当c 0时,相交于y轴的正半轴；当c 0时,则相交于y轴的负半轴.2.求抛物线的顶点、对称轴的方法b4ac b2b 4ac b22（，）（1）公式法：y ax bx c ax ，顶点是，对称轴是直线2a4a2a4a2x b.2a2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线y ax2bx c的解析式化为y ax h k的形式，得b4ac b2到顶点为(h,k)，对称轴是直线x h.其中h ，k.2a4a（3）运用抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.3用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y ax2bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y ax h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.2（3）两点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y ax x1x x2.4.抛物线与x轴的交点设二次函数y ax2bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来判定：（1）b24ac 0抛物线与x轴有两个交点；（2）b24ac 0抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）；（3）b24ac 0抛物线与x轴没有交点.5.二次函数的应用一、y ax bx c的性质21已知二次函数y kx 7x 7与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是。解：2二次函数y ax bx c的图象如图，则直线y ax bc的图象不经过第象限。理由：3.二次函数y ax bx c的图象如图，试判断 a、b、c 和的符号。解：4.二次函数y ax bx c的图象如图，下列结论（1）c0；（2）b0；（3）4a+2b+c0；（4）（a+c）0，其中正确的是：（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个理由：5 二次函数y ax bx c的图象如图，那么abc、2a+b、a+b+c、a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有（）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个理由：6 已知直线y ax b的图象经过第一、二、三象限，那么y ax bx 1的图象为（）2222222A7已知函数y Ax1 B CD12x x4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是()2Bx12Cx2D2x48二次函数ya(xk)k，当k取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是()AyxBx轴CyxDy轴9已知二次函数yaxbxc的图象如右图所示，则()2Aa0，c0，b4ac0 Ba0，c0，b4ac0Ca0，c0，b4ac0 Da0，c0，b4ac010已知二次函数yaxbxc的图象如下图所示，则()22222Ab0，c0，0 Bb0，c0，0Cb0，c0，0 Db0，c0，011二次函数ymx2mx(3m)的图象如下图所示，那么m的取值范围是()2Am0Cm02Bm3D0m312在同一坐标系内，函数ykx和ykx2(k0)的图象大致如图()13函数y1 ax b,y22ab(ab0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是()x14图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是()AhmCkn2BknDh0，k015已知二次函数yaxbxc(a0)的图象如图所示，有下列结论：abc0；abc2；a 1其中正确的结论是()1；b2ACBD16下列命题中，正确的是()若abc0，则b4ac0；若b2a3c，则一元二次方程axbxc0 有两个不相等的实数根；若b4ac0，则二次函数yaxbxc的图象与坐标轴的公共点的个数是2 或 3；若bac，则一元二次方程axbxc0，有两个不相等的实数根ABCD22222二、y ax2bx c的最值1 心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 和提出概念所用的时间 x（单位：分）之间大体满足函数关系式：y 0.1x2 2.6x 43（0 x30）。y 的值越大，表示接受能力越强。试根据关系式回答：（1）若提出概念用 10 分钟，学生的接受能力是多少（2）概念提出多少时间时学生的接受能力达到最强2 某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 OA 的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示。图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是y x2 2x 5。请回答下列问题：4（1）柱子 OA 的高度是多少米（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少米（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外3 体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线y 关系式回答：（1）该同学的出手最大高度是多少（2）铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少（3）该同学的成绩是多少4 如图，正方形 EFGH 的顶点在边长为 a 的正方形 ABCD 的边上，若 AE=x，正方形 EFGH 的面积为 y。12x x 2的一部分，根据12（1）求出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）正方形 EFGH 有没有最大面积若有，试确定E 点位置；若没有，说明理由。三、函数解析式的求法（1）1 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图：（1）根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式；（2）若菜农身高为 1.60 米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米（精确到0.01 米）2 根据下列条件求抛物线的解析式：（1）图象过点（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）；（2）图象的顶点坐标为（-1，-1），且与 y 轴交点的纵坐标为-3；（3）图象过点（1，-5），对称轴是直线 x=1，且图象与 x 轴的两个交点之间的距离为4。3 在一场足球赛中，一球员从球门正前方 10 米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离为 6 米时，球到达最高点，此时球高 3 米，已知球门高为 2.44 米，问能否射中球门4 已知二次函数的图象与 x 轴交于 A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2。（1）求二次函数的图象的解析式；（2）设次二次函数的顶点为 P，求ABP 的面积。5 如图：（1）求该抛物线的解析式；（2）根据图象回答：当 x 为何范围时，该函数值大于0。6 已知抛物线经过 A（-3，0）、B（0，3）、C（2，0）三点。（1）求这条抛物线的解析式；（2）如果点 D（1，m）在这条抛物线上，求 m 值和点 D 关于这条抛物线对称轴的对称点E 的坐标，并求出 tanADE的值。四、函数解析式的求法（2）1 已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜，从四月一日起开始上市的30 天内，大蒜每 10 千克的批发价 y（元）是上市时间 x(天)的二次函数，有近几年的行情可知如下信息：x（天）y（元）（1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）大蒜每 10 千克的批发价为元时，问此时是在上市的多少天515151025152 如图，某建筑物从 10m 高的窗口 A 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，最高点 M 离墙 1m，离地面3 一男生推铅球，成绩为 10 米，已知该男生的出手高度为度，试求铅球运行的抛物线的解析式。如果抛物线的40m，求水流落点 B 离墙的距离 OB 的长。35米，且当铅球运行的水平距离为 4 米时达到最大高34 某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8 米，两侧距地面3 米高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为 6 米，试求厂门的高度。5 抛物线经过 A、B、C 三点，顶点为 D，且与 x 轴的另一个交点为 E。（1）求该抛物线的解析式；（2）求四边形 ABDE 的面积；（3）求证：AOBBDE。326已知二次函数yaxbxc(a0)的图象经过一次函数y x3的图象与x轴、y轴的交点，并也经过(1，21)点求这个二次函数解析式，并求x为何值时，有最大(最小)值，这个值是什么7已知抛物线yxbxc与x轴的两个交点分别为A(m，0)，B(n，0)，且mn 4，(1)求此抛物线的解析式；(2)设此抛物线与y轴的交点为C，过C作一条平行x轴的直线交抛物线于另一点P，求ACP的面积8已知抛物线yaxbxc经过点A(1，0)，且经过直线yx3 与x轴的交点B及与y轴的交点C(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标；(3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OMBC，垂足为D，求点M的坐标9某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图甲)，一件商品的成本Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6 月份成本最高(如图乙)根据图象提供的信息解答下面问题：22m1n3(1)一件商品在 3 月份出售时的利润是多少元(利润售价成本)(2)求出图(乙)中表示的一件商品的成本Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式；(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗若该公司能在一个月内售出此种商品 30000 件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元