三角函数的图像和变换以及经典习题和答案

三角函数的图像和变换以及经三角函数的图像和变换以及经典习题和答案典习题和答案3.43.4 函数函数y Asin(x)的图象与变换的图象与变换【知识网络】【知识网络】1 1函数函数y Asin(x)的实际意义；的实际意义；函数函数y Asin(x)图象的变换图象的变换（平（平移平换与伸缩变换）移平换与伸缩变换）【典型例题】【典型例题】xsin()的振幅是的振幅是；例例 1 1(1)(1)函数函数y 3周期周期226是是；频率是频率是；相位相位是是；初初 相相是是（）（）3；2（2 2）函函 数数14x；266y 2sin(2 x)3的的 对对 称称 中中 心心是是；对称轴方程对称轴方程是是；单单 调调 增增 区区 间间是是（）(k,0),k Z26；x k5,k Z212；5k,kkz1212(3)(3)将函数将函数y sinx(0)2 2的图象按向量的图象按向量a 平移后的图象如图所平移后的图象如图所,0平移，平移，6示，则平移后的图象所对应函数的解析式是示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）)B By sin(x)A Ay sin(x66)D Dy sin(2x)C Cy sin(2x33（）（）C C提示：将函数提示：将函数y sinx(0)的图象按的图象按向量向量a 平移后的图象所对应的解析式平移后的图象所对应的解析式,0平移，平移，673)，由图象知，由图象知，()为为y sin(x，所以，所以 261262x(4)(4)为了得到函数为了得到函数y 2sin(3),xR的图像，只的图像，只6需需 把把 函函 数数y 2sin x,xR的的 图图 像像 上上 所所 有有 的的 点点（）（A A）向左平移）向左平移个单位长度，再把所得各点个单位长度，再把所得各点6的横坐标缩短到原来的的横坐标缩短到原来的1倍（纵坐标不变）倍（纵坐标不变）3（B B）向右平移）向右平移个单位长度，再把所得各点个单位长度，再把所得各点6的横坐标缩短到原来的的横坐标缩短到原来的1倍（纵坐标不变）倍（纵坐标不变）3（C C）向左平移）向左平移个单位长度，再把所得各点个单位长度，再把所得各点6的横坐标伸长到原来的的横坐标伸长到原来的 3 3 倍（纵坐标不变）倍（纵坐标不变）（D D）向右平移）向右平移个单位长度，再把所得各点个单位长度，再把所得各点6的横坐标伸长到原来的的横坐标伸长到原来的 3 3 倍（纵坐标不变）倍（纵坐标不变）（）（）C C先将先将y 2sin x,x R的图象向左平移的图象向左平移6),xR的图象，再的图象，再个单位长度，得到函数个单位长度，得到函数y 2sin(x63 3把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 3 倍倍x),x R的图像的图像（纵坐标不变）得到函数（纵坐标不变）得到函数y 2sin(36(5)(5)将函数将函数y f(x)sin x的图象向右平移的图象向右平移4个单位后再个单位后再作关于作关于x轴对称的曲线，得到函数轴对称的曲线，得到函数y 1 2sin x的的2图象，则图象，则f(x)的表达式是的表达式是（）（A A）cosx（B B）22cosx（C C）sinx（D D）2sinx（）（）B B 提示提示:y 12sin x cos2 x的图象关于的图象关于x轴对称轴对称的的 曲曲 线线 是是y cos2x,向向 左左 平平 移移4得得y cos2(x)sin2x 2sin xcos x4例例 2 2已知函数已知函数f(x)2cosx23sin 2x,(其中0 1)，若，若直线直线x 为其一条对称轴。为其一条对称轴。（1 1）试求试求的的3值值（2 2）作出函数）作出函数f(x)在区间在区间,上的上的图象图象解：解：（1 1）f(x)2cosx3sin 2x 1cos2x)1 2sin(2x623sin 2xx 3是是y f(x)的的 一一 条条 对对 称称 轴轴sin(2)13613 k,kZ k(kZ)2362224 40 112（2 2）用五点作图）用五点作图)，例例 3 3 已知函数已知函数f(x)Asin(x)(A 0,0,0 且且22y f(x)的最大值为的最大值为 2 2，其图象相邻两对称轴间的距其图象相邻两对称轴间的距离为离为 2 2，并过点（，并过点（1,21,2）（I I）求）求；（II II）计算）计算f(1)f(2)2 f(2008)y f(x)Acos(2x2).解：解：（I I）y Asin(x)A22的最大值的最大值为为 2 2，A 0.AA 2,A 2.22又又 其图象相邻两对称轴间的距离为其图象相邻两对称轴间的距离为2()2,.2 2，0，12 24 f(x)22cos(x2)1cos(x2)2222.y f(x)过过(1,2)点，点，cos(2)1.2 2k,k Z,2 2k,k Z,222 k4,k Z,又又0 2,.4（II II）y 1cos(x)1sinx.，4222 f(1)f(2)f(3)f(4)2101 4.的周期为的周期为 4 4，2008 4502，f(1)f(2)f(2008)4502 2008.y f(x)又又5 5例例 4 4设函数设函数f(x)3cos2xsinxcosxa（其中（其中 0,aR）。且。且f(x)的图像在的图像在y轴右侧轴右侧的第一个最高点的横坐标是的第一个最高点的横坐标是6（）求（）求的值；的值；5,上的最小上的最小（）如果（）如果f(x)在区间在区间36值为值为3，求，求a的值的值解：解：（I I）f(x)3133cos2xsin2x sin(2x)a222322依题意得依题意得63212（II II）由由（I I）知，知，f(x)sin(x)3325,又当又当x36时，时，5区间区间3，6x30,76 sin(x)1，从而，从而f(x)在在，故，故123上的最小值为上的最小值为133 a22，故，故a 31.2【课内练习】【课内练习】1.1.若把一个函数的图象按若把一个函数的图象按a（3，2 2）平平移后得到函数移后得到函数y cosx的图象，的图象，则原图象的函数则原图象的函数解析式是解析式是（）6 6（A A）y cos(x 3)2（B B）y cos(x 3)2（C C）y cos(x 3)2（D D）y cos(x 3)2D D提示：将函数提示：将函数y cosx的图象按的图象按a平移平移可得原图象的函数解析式可得原图象的函数解析式2 2 为了得到函数为了得到函数y y=sin=sin（2 2x x6）的图象，的图象，可以将函数可以将函数y y=cos2=cos2x x的图象的图象（）A.A.向右平移向右平移6个单位长度个单位长度B.B.向向右平移右平移3个单位长度个单位长度C.C.向左平移向左平移6个单位长度个单位长度D.D.向向左平移左平移3个单位长度个单位长度B B 提示：提示：y y=sin=sin（2 2x x6）=cos=cos2（2 2x x6）=cos=cos（232 2x x）=cos=cos（2 2x x23）=cos=cos2 2（x x3），将函数，将函数y y=cos2=cos2x x的图象向右平的图象向右平移移3个单位长度个单位长度3 3若函数若函数f f（x x）=sin=sin（xx+）的图象（部分）的图象（部分）如下图所示，则如下图所示，则和和的取值是的取值是（）y1-O233A.A.=1=1，=3B.B.=1=1，=3 C.C.=1，=26D.D.=1，=26C C 提示：由图象知，提示：由图象知，T T=4=4（23+3）=4=）=4=2，x7 7=1.22又当又当x x=23时，时，y y=1=1，sin（，sin（1+）=1=1，233+=2=2k k+2，k kZ Z，当，当k k=0=0 时，时，=6.4 4函数函数y sin 2x的图象向右平移的图象向右平移（0）个单位，）个单位，得到的图象关于直线得到的图象关于直线x 对称，则对称，则的最小值为的最小值为6（）5(B)(A)12(D)116(C)1112以上都不对以上都不对A A提示：平移后解析式为提示：平移后解析式为y sin(2x2)，图象关于图象关于x 对称，对称，6k2 k（kZ）（kZ）2，62212当当k 1时，时，的最小值为的最小值为5125 5若函数若函数f(x)图象上每一个点的纵坐标保持不图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿图象沿x轴向右平移轴向右平移个单位，向下平移个单位，向下平移 3 3 个单个单2sin x的图象，则的图象，则位，恰好得到位，恰好得到y 12f(x)1sin(2x)3cos2x3f(x)1222函数函数y Asin(x),(A 0,0)为奇函数的充要条件为奇函数的充要条件是是；为为偶偶函函数数的的充充要要条条件件是是(k Z)k(k Z)；k28 8,3)，7 7一正弦曲线的一个最高点为一正弦曲线的一个最高点为(1从相邻的最从相邻的最4,0)，最低，最低低点到这最高点的图象交低点到这最高点的图象交x轴于轴于(14点的纵坐标为点的纵坐标为-3,-3,则这一正弦曲线的解析式则这一正弦曲线的解析式为为 .)y 3sin(x4已知方程已知方程 sinx+cosx=ksinx+cosx=k 在在 0 x0 x 上有两上有两解，求解，求 k k 的取值范围的取值范围解：原方程解：原方程 sinx+cosx=ksinx+cosx=k2sinsin（x+x+4）=k=k，在，在同一坐标系内作函数同一坐标系内作函数 y y1 1=2sinsin（x+x+4）与）与 y y2 2=k=k 的的图象图象.对于对于 y=y=2sinsin（x+x+4），令，令 x=0 x=0，得，得 y=1.y=1.当当 k k 1 1，y21-4Oyk=34x2 时时，观观 察察 知知 两两 曲曲 线线在在0 0，上有两交点，方程有两解，上有两交点，方程有两解9 9数数y Asin(x ),(A 0,0,|)的最小值是的最小值是 2 2，其图象相邻最，其图象相邻最2高点与最低点横坐标差是高点与最低点横坐标差是 3 3，又：图象过点，又：图象过点(0,1)(0,1)，求函数解析式。，求函数解析式。T12 6从而：从而：解：易知：解：易知：A A=2=2 半周期半周期 3T T=6=6 即即231设：设：y 2sin(x )令令 x x=0=0有有2sin 131又：又：|所求函数解析式为所求函数解析式为y 2sin(x)23661010已知函数已知函数f f（x x）=A Asinsinxx+B Bcoscosxx（A A、B B、是实常数，是实常数，0 0）的最小正周期为）的最小正周期为2 2，并当，并当x x=1时，时，f(x)2.3max9 9（1 1）求）求f f（x x）.23（2 2）在闭区间）在闭区间21，上是否存在上是否存在f f（x x）的）的44对称轴对称轴?如果存在，如果存在，求出其对称轴方程；求出其对称轴方程；如果如果不存在，请说明理由不存在，请说明理由.2,得 f(x)Asinx Bcosx解：解：（1 1）由）由T 2由由 题题 意意 可可 得得A 3B 1Asin Bcos 233A2 B2 2解解 得得 f(x)3sinxcosx 2sin(x)61 k,k Z所以所以x k,k Z（2 2）令）令x6231235965k k 由由21得得k 5434121223所以在所以在21，上只有上只有f f（x x）的一条对称）的一条对称44轴轴x x=163作业本作业本A A 组组1 1将函数将函数y 5sin(3x)的周期扩大到原来的的周期扩大到原来的 2 2 倍，倍，再再将函数图象左移将函数图象左移，得到图象对应解析式是，得到图象对应解析式是31010（）33x73x)(A)y 5sin()(B)y 5sin(221023x)（D D）（C C）y 5sin(22y 5sin(26x)A A 已知函数已知函数y Asin(x)在同一周期内，在同一周期内，当当x 时，时，941x，则该，则该取得最大值取得最大值1，当，当时，取得最小值时，取得最小值292函数的解析式是函数的解析式是（）11(A)y 2sin(x)(B)y sin(3x)3626(C)y 1sin(3x)26sin(3x)(D)y 126提示：代入验证提示：代入验证3 3要得到函数要得到函数y y 2sin(2x 2cosx的图象，只需将函数的图象，只需将函数4)的的图象上所有的点的图象上所有的点的()()A A横坐标伸长到原来的横坐标伸长到原来的 2 2 倍，再向左平行移倍，再向左平行移动动个单位长度个单位长度4B B横坐标伸长到原来的横坐标伸长到原来的 2 2 倍，倍，再向右平行移再向右平行移动动个单位长度个单位长度8C C横坐标缩短到原来的横坐标缩短到原来的1倍，再向右平行移倍，再向右平行移2动动个单位长度个单位长度41111D D 横坐标缩短到原来的横坐标缩短到原来的1倍倍,再向左平行移动再向左平行移动28个单位长度个单位长度2x函函数数y y=1sinsin（）的的单单调调减减区区间间243是是 3 3k k38，3 3k k+98，(k Z)2 25 5已知函数已知函数y Asin(x)（A 0,|）的一段图象如的一段图象如38下下 图图 所所 示示，则则 函函 数数 的的解解 析析 式式0 08为为23y 2sin(2 x4)3()，T，2，提示：由图得提示：由图得A 2,T2882,2)，y 2sin(2 x)，又图象经过点，又图象经过点(8)，2k（kZ）2 2sin(，442 2k34，34)6 6、已知函数已知函数f(x)2cos xsin(x33sin2xsin xcos x2（x R），该函数的图象可由该函数的图象可由y sin x（x R）的图象经过怎）的图象经过怎样的变换得到？样的变换得到？3sin xcosx)3cos xsin xcosx2解：解：f(x)2cos x(1222由由 2sin xcosx3(cos2xsin2x)2 sin2x3cos2x2 2sin(2 x)23y sin(x)y sin x33图图的图象向左平移的图象向左平移 个单位得个单位得象，象，1212再保持图象上各点纵坐标不变，再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原横坐标变为原y sin(2x)图象，图象，来的来的1得得23再保持图象上各点横坐标不变，再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标变为原)图象，图象，来的来的2倍得倍得y 2sin(2 x3 最最 后后 将将 所所 得得 图图 象象 向向 上上 平平 移移y 2sin(2 x)2的图象的图象32个个 单单 位位 得得)2说明：说明：（1 1）本题的关键在于化简得到本题的关键在于化简得到y 2sin(2 x3的形式；的形式；（2 2）若在水平方向先伸缩再平移，则要）若在水平方向先伸缩再平移，则要向左平移向左平移个单位了个单位了6求函数求函数f(x)5 3cos2x3sin2x4sin xcos x(4 x 7)24的最小值，求其单调区间的最小值，求其单调区间解解f(x)5 3cos2x3sin2x4sin xcosx 2 3cos2 x2sin 2x3 3：4cos(2 x)3 36723 x 2xf(x)的最小值的最小值因因，故，故，所以，所以424364为为3 3 2 27单调递减区间为单调递减区间为4,24若函数若函数f(x)2asin xcosx13132a(sinxcosx)ab的定的定，值域为，值域为5,1，求，求a,b的值的值义域为义域为0,2解：令解：令sin x cos x t，则，则故故t1,22t21sin xcosx 2，又，又x0,22所以所以y ata 02at b a(t 221)ba22，由题意知：，由题意知：解之得解之得当当a 0,t1,a 6(2 1),b 1得：得：(12a)b 5b 12当当a 0,t1,a 6(2 1),b 5得：得：(12a)b 1b 5解之得解之得（舍去）（舍去）2 1),b 1综上知：综上知：a 6(B B 组组1.1.下列函数中，下列函数中，图像的一部分如右图所示图像的一部分如右图所示的是的是()（A A）y sin(x)（B B）y sin(2x)66（C C）y cos(4x)（D D）y cos(2x)3614142 2已知函数已知函数y sin(x)，(0)与直线与直线y 1的的2交点中，距离最近的两点间距离为交点中，距离最近的两点间距离为，那么此函，那么此函3数数的的周周期期是是2（）A AB BC C3D D4x62k(kZ)B B提提 示示：x52k(k Z)6或或，233 3 若若(x2)(x1)，x2 x1232得得 2，令令330 4，sincos a，sincos b，则则（）(A)a b(B)(D)ab 2 A A提提 示示：b sincos2sin()4a b(C)ab 1a sincos2sin()4，44422sin()2sin()44 把把y y=cos=cos（x x+43）图象向左平移图象向左平移(0)个单位，个单位，所所 得得 函函 数数 为为 偶偶 函函 数数，则则是是1515的的 最最 小小 值值23函数函数y tan x在它的定义域内是增函数；在它的定义域内是增函数；若若、是第一象限角，且是第一象限角，且，则，则tan tan；)|函数函数y Asin(x)一定是奇函数；一定是奇函数；函数函数y|cos(2x3的最小正周期为的最小正周期为 上列四个命题中，上列四个命题中，正确的命正确的命2题是题是6 6如图为某三角函数图象的一段如图为某三角函数图象的一段（1 1）用正弦函数写出其中一个解析式；）用正弦函数写出其中一个解析式；（2 2）求与这个函数关于直线）求与这个函数关于直线x 2对称的函数解析对称的函数解析式，并作出它在式，并作出它在00，4 内内的简图。的简图。3-21 4,又A 3,解：解：（1 1）T 1333T21令y 3sin(x)21,0),0 3sin()由图它过由图它过(323133 6（为其（为其中一个值）中一个值）x)所以所以y 3sin(126（2 2）令(x,y)是所求函数图象上任意一点，该点关是所求函数图象上任意一点，该点关于直线于直线x 2对称点为对称点为(4 x,y)x)的的 图图 象象 上上，所所 以以该该 点点 在在 函函 数数y 3sin(1261y 3sin(4 x)26x)即所求函数解析式为即所求函数解析式为y 3sin(126161617173缩小到原来的缩小到原来的，然后将所得图象向左平移一个，然后将所得图象向左平移一个单位得到单位得到y f(x)的图象，若方程的图象，若方程f(x)3的所有正根的所有正根依次成为一个公差为依次成为一个公差为 3 3 的等差数列，求的等差数列，求解析式。解析式。解：解：原函数可化为原函数可化为y 角，满足角，满足cos且sinba2b2aa b22y f(x)的的a2b2sin(x)c（其中（其中为辅助为辅助，11），因为，因为,1是它的最低点，所以是它的最低点，所以611 2k62 a2b2c 1(k Z)且解得解得 2k73a2b2 c1 1所所 以以y (c1)sin(x)c3按按 题题 给给 变变 换换 后后 得得f(x)(c1)sin3xc方程方程f(x)3的的正根就是直线的的正根就是直线y 3与与y f(x)的图象的图象交点的横坐标，它们成等差数列，即交点的横坐标，它们成等差数列，即y 3与与y f(x)相邻交点间的距离都相等。相邻交点间的距离都相等。直线直线y 3满足以上要求只能有三个位置：一是过满足以上要求只能有三个位置：一是过图象最高点且和图象最高点且和 x x 轴平行的直线轴平行的直线l，二是过图象，二是过图象1最低点且和最低点且和 x x 轴平行的直线轴平行的直线l，三是和，三是和l、l平行平行21211且等距的直线且等距的直线l，而图象最低点为，而图象最低点为,1，故不可，故不可63能是能是l假若直线假若直线y 3在在l，交点间隔为一个周期交点间隔为一个周期211818，即正根的公差为，不合题意，所以，即正根的公差为，不合题意，所以y 3只只x3，此时由，此时由能在能在l位置，所以位置，所以c 3，f(x)2sin33sin3x 0得得x 3k，正根可组成一个公差为，正根可组成一个公差为 3 3 的等差的等差数列，符合题意。数列，符合题意。1919