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第第2 2节一元二次不等式及其解法节一元二次不等式及其解法1.1.会从实际问题的情境中抽象出一元会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型二次不等式模型.2.2.通过函数图象了解一元二次不等式通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、与相应的二次函数、一元二次方程的联系一元二次方程的联系.3.3.会解一元二次不等式会解一元二次不等式,对给定的对给定的一元二次不等式一元二次不等式,会设计求解的程会设计求解的程序框图序框图.考纲展示考纲展示 知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来知识梳理知识梳理1.1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系相异相异x|xx|x1 1xxx0(a0)+bx+c0(a0)的求解过程用程序框图表示为的求解过程用程序框图表示为3.3.分式不等式与一元二次不等式的关系分式不等式与一元二次不等式的关系(x-a)(x-b)0(x-a)(x-b)0对点自测对点自测B B1.1.不等式不等式x(2-x)0 x(2-x)0的解集是的解集是()(A)(-,0)(A)(-,0)(B)(0,2)(B)(0,2)(C)(-,0)(2,+)(C)(-,0)(2,+)(D)(2,+)(D)(2,+)解析解析:由由x(2-x)0,x(2-x)0,得得x(x-2)0,x(x-2)0,即即0 x2,0 x0 x(2-x)0的解集为的解集为x|0 x2.x|0 x2.D DD D4.4.(2018(2018湛江模拟湛江模拟)不等式不等式4x4x2 2-mx+10-mx+10对一切对一切xxR R恒成立恒成立,则实数则实数m m的取值范的取值范围是围是.解析解析:因为不等式因为不等式4x4x2 2-mx+10-mx+10对一切对一切xxR R恒成立恒成立,所以所以=m=m2 2-160,-160,解得解得-4m4.-4m4.答案答案:-4,4-4,45.5.下列命题下列命题:若不等式若不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0;a0;若不等式若不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集为的解集为(-,x(-,x1 1)(x)(x2 2,+),+),则方程则方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的两的两根是根是x x1 1和和x x2 2;若方程若方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)没有实数根没有实数根,则不等式则不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集为的解集为R R;不等式不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0在在R R上恒成立的条件是上恒成立的条件是a0a0且且=b=b2 2-4ac0.-4ac0.其中正确的命题有其中正确的命题有.(.(填所有正确命题的序号填所有正确命题的序号)解析解析:,正确正确;对于对于,若若a0,a0+bx+c0的解集为的解集为,故错误故错误;对于对于,若若a=b=0,c0,a=b=0,c0,则则axax2 2+bx+c0+bx+c0在在R R上也恒成立上也恒成立,故错误故错误.答案答案:考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一一元二次不等式的解法考点一一元二次不等式的解法(多维探究多维探究)考查角度考查角度1:1:不含参的一元二次不等式的解法不含参的一元二次不等式的解法【例例1 1】解下列不等式解下列不等式:(1)-x(1)-x2 2+8x-30;+8x-30;(2)-4x(2)-4x2 2+12x-90;+12x-90;(3)x(3)x2 2+2x+80.+2x+80.解一元二次不等式的一般步骤解一元二次不等式的一般步骤(1)(1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式;(2)(2)计算对应方程的判别式计算对应方程的判别式;(3)(3)求出对应的一元二次方程的根求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根或根据判别式说明方程有没有实根;(4)(4)写出不等式的解集写出不等式的解集.反思归纳反思归纳【跟踪训练跟踪训练1 1】解下列不等式解下列不等式:(1)2x(1)2x2 2+4x+30;+4x+30;(2)-3x(2)-3x2 2-2x+80;-2x+80;(3)8x-116x(3)8x-116x2 2.考查角度考查角度2:2:含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法【例例2 2】解关于解关于x x的不等式的不等式axax2 2-(a+1)x+10.-(a+1)x+10.解解:原不等式可化为原不等式可化为(x-1)(ax-1)0,(x-1)(ax-1)1.x1.反思归纳反思归纳解含参数的一元二次不等式的步骤解含参数的一元二次不等式的步骤(1)(1)二次项系数若含有参数应讨论二次项系数是小于零二次项系数若含有参数应讨论二次项系数是小于零,还是大于零还是大于零,若小若小于零将不等式转化为二次项系数为正的形式于零将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)(2)判断方程的根的个数判断方程的根的个数,讨论判别式讨论判别式的符号的符号.(3)(3)确定无根时可直接写出解集确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时确定方程有两个根时,要讨论两根的大小要讨论两根的大小关系关系,从而确定解集形式从而确定解集形式.【跟踪训练跟踪训练2 2】解关于解关于x x的不等式的不等式:x:x2 2-(a-(a2 2+a)x+a+a)x+a3 30.0.解解:原不等式化为原不等式化为(x-a)(x-a(x-a)(x-a2 2)0,)0,当当a a2 2-a0,-a0,即即a1a1或或a0aax|xa2 2或或xa.xa.当当a a2 2-a0,-a0,即即0a10a1时时,原不等式的解集为原不等式的解集为x|xax|xa;xa;当当a a2 2-a=0,-a=0,即即a=0a=0或或a=1a=1时时,原不等式的解集为原不等式的解集为x|xa.x|xa.综上得综上得a1a1或或a0aax|xa2 2或或xa;xa;当当0a10a1时时,不等式解集为不等式解集为x|xax|xa;xa;当当a=0a=0或或a=1a=1时时,不等式解集为不等式解集为x|xa.x|xa.【例例3 3】已知函数已知函数f(x)=mxf(x)=mx2 2-mx-1.-mx-1.(1)(1)若对于若对于xxR R,f(x)0,f(x)0恒成立恒成立,求实数求实数m m的取值范围的取值范围;考点二一元二次不等式恒成立问题考点二一元二次不等式恒成立问题(典例迁移典例迁移)(2)(2)若对于若对于x1,3,f(x)5-mx1,3,f(x)5-m恒成立恒成立,求实数求实数m m的取值范围的取值范围.迁移探究迁移探究1:1:本例中本例中(1)(1)变为若变为若f(x)0f(x)0对于对于m1,2m1,2恒成立恒成立,求实数求实数x x的取值范围的取值范围.迁移探究迁移探究2:2:本例中本例中(2)(2)条件条件“f(x)5-mf(x)5-m恒成立恒成立”改为改为“f(x)5-mf(x)5-m无解无解”,求求m m的取值范围的取值范围?迁移探究迁移探究3:3:本例中本例中(2)(2)条件条件“f(x)5-mf(x)5-m恒成立恒成立”改为改为“存在存在x,x,使使f(x)5-mf(x)0 x0时时,f(x)=x,f(x)=x2 2-4x,4x,则不等式则不等式f(x)xf(x)x的解集用区间表示为的解集用区间表示为.答案答案:(-5,0)(5,+)(-5,0)(5,+)(2)(2)要使生产要使生产900900千克该产品获得的利润最大千克该产品获得的利润最大,问问:甲厂应该选取何种生产速甲厂应该选取何种生产速度度?并求最大利润并求最大利润.点击进入点击进入 应用能力提升应用能力提升
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