不定积分总结

不定积分一、原函数定义1如果对任一 x e I,都有F(x) = f (x)或 dF(x) = f (x)dx则称F(x)为f (x)在区间I上的原函数。例如：(sinx) = cosx，即sinx是cos x的原函数。ln( x +、H + x2) = 11，即 ln(x +、.；1 + x 2)是的原函数。原函数存在定理：如果函数f (x)在区间I上连续，则f (x)在区间I上一定 有原函数，即存在区间I上的可导函数F (x)，使得对任一 x e I，有F(x) = f (x)。注1：如果f (x)有一个原函数，则f (x)就有无穷多个原函数。设F(x)是f (x)的原函数，则F(x) + C = f (x)，即F(x) + C也为f (x)的原 函数，其中C为任意常数。注2：如果F(x)与G(x)都为f (x)在区间I上的原函数，则F(x)与G(x)之差 为常数，即F(x) - G(x) = C(C为常数)注3：如果F(x)为f (x)在区间I上的一个原函数，则F(x) + C( C为任意 常数)可表达f (x)的任意一个原函数。二、不定积分定义2在区间I上，f (x)的带有任意常数项的原函数，成为f (x)在区间I 上的不定积分，记为j f (x)dx。如果F(x)为f (x)的一个原函数，则j f (x)dx = F(x) + C，( C 为任意常数)三、不定积分的几何意义图51设F是f的一个原函数，则y = F在平面上表示一条曲线，称它为 f (x)的一条积分曲线.于是f (x)的不定积分表示一族积分曲线，它们是由f 3) 的某一条积分曲线沿着y轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成 的.显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x的点处有互相平行的切线， 其斜率都等于f (x).在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式y = F(x) + C， 再从中确定一个满足条件y(x) = y0 (称为初始条件)的原函数y = y(x) .从几何 上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点(,y0)的积分曲线.四、不定积分的性质(线性性质)j f (x) 土 g (x)dx = j f (x)dx j g (x)dxjkf (x)dx = kj f (x)dx (k 为非零常数)五、基本积分表J a dx = ax + C, a和C都是常数J x八a dx = x八(a + 1)/(a + 1) + C,其中a为常数且a丈-1J 1/x dx = ln|x| + CJ a八x dx = (1/lna)aAx +。，其中 a 0 且 a 牛 1J eAx dx = eAx + CJ cosx dx = sinx + CJ sinx dx = - cosx + CJ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + CJ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + CJ secx dx =ln|cot(x/2)| + C=(1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C=-ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + CJ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C=(1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C=-ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + CJ secA2(x) dx = tanx + CJ cscA2(x) dx = - cotx + CJ secxtanx dx = secx + CJ cscxcotx dx = - cscx + CJ dx/(a八2 + x八2) = (1/a)arctan(x/a) + CJ dx/V(aA2 - x八2) = arcsin(x/a) + CJ dx/V(xA2 + aA2) = ln|x + V(xA2 + aA2)| + CJ dx/V(xA2 - aA2) = ln|x + V(xA2 - aA2)| + CJ V(xA2 - aA2) dx = (x/2)V(xA2- aA2) - (aA2/2)ln|x + V(xA2 - aA2)| + CJ V(xA2 + aA2) dx = (x/2)V(xA2 + aA2) + (aA2)ln|x + V(xA2 + aA2)| + CJ V(aA2 - xA2) dx = (x/2)V(aA2 - xA2) + (aA，2)arcsin(x/a) + C六、第一换元法（凑微分）设 F(u)为 f (u)的原函数，即 F(u) = f (u)或 j f (u)du = F(u) + C如果u =中（x），且中（x）可微，则竺 FW(x) = F(u)(x) = f (u)(x) = f W(x)W(x) dx即F中(x)为f (x)W (x)的原函数，或j f (x)W (x)dx = F 中(x) + C = F (u) + C = j f (u )du u=中（x）u=甲(x)因此有定理1设F(u)为f (u)的原函数，u =中(x)可微，则(2-1)j f 中(x)W(x)dx = j f (u) du u =p( x)公式（2-1）称为第一类换元积分公式。j f 顿 x)a(x)dx = j f p( x)d( x)=j f (u)du(x)u =Pj f (ax+b)dx = j 1 f (ax+b)d (ax+b) = 1 j f (u )du aau=ax+b用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时 为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出 部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。常用凑微分公式1dx = _d(ax+b)a1xdx = _ J(x2)2_dx = -d(L)X2X dx = dnx xdx = d(2 皿)cosxdx-dsinxsin xdx-d cos xedx dex1 1dx = sec2 xdx = d tanx dx-csc2 xdx = -d cot 尤COS2 xsm2 x1 成arctanx1 + X2J 1 dx = ,i ( 1 x2-a2 2a xa x+aJd(x q)J 1 d(x+ci)J x-a 7 J JcTa 7(lnc-a -In x+a) + C(In lx-a -lnx+a|) + C*fn|M|+C配方dx(Q2 - X2dxaI ( x2H=arcsin x + C(a 0)a1 dx =ja2+x21 * dx =a21+(习2laaj 1+a2d (a)=3期x+c七、第二换元法定理2设x =W(t)是单调的可导函数，且w(t)丰0，又设f V(t)W(t)具有原函数，则 j f (x)dx =f V(t)W(t)d_(2-2)t =V( x )其中t =V(x)为x =V(t)的反函数。公式(2-2)称为第二类换元积分公式。例 1 求 j a 2 - x2 dx，(a 0)解：令 x = a sin t，- t 0) a 2 + x 2解：令 x = a tan t, - t ，贝。 22v a2 + x2 = a sect, dx = a sec2 tdt，因此有dx1,J ,- = Ja sec2 tdt=j sec tdt=In I sec t + tan 11 +Ca2 + x2x=In I+ I +C = In I x + v x2 + a2 I +Ca a1其中q = C - In a。用类似方法可得dxi I , : -T I ,八I .= = In I x + x2 a2 I +Cx-x 2 a 2第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会 用。主要有以下几种：(1) 、a2 x2： x = a sin t； x = a cos t(2) t x2 + a2： x = a tan t； x = a cot t； x = asht(3) ，x2 a2： x = a sec t； x = a csc t； x = acht(4) n ax + b：nax + b = t一、ax + b ax + b ,: = t有时倒代换x =1也奏效。 cx + d cx + d(6)当被积函数含有x - max2 + bx + c，八、分部积分法设 u = u(x)， V = v(x)，则有(W = uV + uv或 d (u v) = v du + udv两端求不定积分，得J (uv)dx =J vuu dx + J uv dx或 J d (u v) = J v du + J udv(3-1)即 Judv = uv Jvdu(3-2)J u vdx = uv J vudx公式（3-1）或（3-2）称为不定积分的分部积分公式。分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成 不定积分。具体选取队v时，通常基于以下两点考虑:（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型例1.求 J x cos xdx解：J x cos xdx = J xd sin x=x sin x J sin xdx=x sin x + cos x + C 例2.求 Jx 2 exdx解：J x 2 exdx = J x 2 dex=x 2 ex J exdx 2=x 2 ex 2 J xexdx=x 2 ex 2( xex J exdx)=x 2 ex 2 xex + 2ex + C注1：由例1和例2可以看出，当被积函数是幕函数与正弦（余弦）乘积或是幕函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幕函数为u，其余部 分取为dv。求 J x ln xdx解：J x In xdx = ! J In xdx 221 rJ x 2 ln x -J x 2 d In x2 rJx 2 ln x - J xdx2111 厂=-x 2ln x - 2 x 2 + C例 4 求 J x arctan xdx解：J x arctan xdx =上 J arctan xdx 2212 arctan x - J x 2 d arctan x 2x 2 arctan x - J dx1 + x2x 2 arctan x - J (1 - -)dx1 + x 221厂= 尤 2 arctan x - x + arctan x-*+ C 2注2：由例3和例4可以看出，当被积函数是幕函数与对数函数乘积或是幕函数与反三角函数函数乘积，做分部积分时，取对数函数或反三角函数为，其余部分取为dv。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。 在 Jpdv = -Jpdv中，日、v的选取有下面简单的规律:(1川=P (x)，v =eax, sin ax, cos ax(2) p = ln x, arctan x, arcsin x，v = P (x)(3) p = eax，v = cos Px, sin Px(3)会出现循环，注意p，v选取的函数不能改变。九、几种特殊类型函数的积分。(1)有理函数的积分有理函数积分法主要分为两步：1.化有理假分式为有理真分式；2.化有理真分式为部分 分式之和。有理函数竺)先化为多项式和真分式竺坦之和，再把竺坦分解为若干Q (x)Q (x)Q (x)个部分分式之和。(对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现In =(以2二)时，记得用递推公式：I =X+ 2n-3 I )n 2a2(n-1)(x2 + a2)n-1 2a2(n-1) n-1(2)三角函数有理式的积分万能公式：c, x2tan 2sin x =x1 + tan 2 2x1一tan22cos x =1 + tan 2x12j竺空冬永可用变换t = tanX化为有理函数的积分，但由于计算较烦，Q (sin x, cos x)2应尽量避免。对于只含有tanx (或cotx)的分式，必化成 公或C0Sx。再用待定系数 cos x sin xA(a cos x + b sin x) + B (a cos x + b sin x) 来做。(汪：没举例题并不代表不重要)a cos x + b sin x(3) 简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现、云和笊时，可令x = tan21 ；同时出现Vx和V1 -x时，可令x = sin21 ；同时出现%：1-x2和arcsinx时，可令x=sint；同时出现1腰和arccosx时，可令x=cost等等。参考文献1. 百度文库求不定积分的方法及技巧2. 百度文库高职不定积分教案3. 百度文库不定积分的基本公式4. 百度文库不定积分的常用求法5. 百度文库不定积分解法总结