有限单元法的几个专题

6.1 动力学问题的有限元法动力学问题的有限元法 6.2 非线性问题的有限元法非线性问题的有限元法6.1 动力学问题的有限元法动力学问题的有限元法 在国民经济和科学技术的发展中有着广泛的应用领域。在国民经济和科学技术的发展中有着广泛的应用领域。最经常遇到的是结构动力学问题有两类：最经常遇到的是结构动力学问题有两类：一类是在一类是在运动状态下工作的机械或结构运动状态下工作的机械或结构：另一类是另一类是承受动力载荷作用的工程结构承受动力载荷作用的工程结构：这些结构的破裂、倾覆和垮塌将给人民的生命财产造成巨大的损失。这些结构的破裂、倾覆和垮塌将给人民的生命财产造成巨大的损失。如何保证它们运行的平稳性及结构的安全性，正确分析和设计这类结构，如何保证它们运行的平稳性及结构的安全性，正确分析和设计这类结构，在理论和实际上也都是具有意义的课题。在理论和实际上也都是具有意义的课题。高速电机、汽轮机、离心压缩机，内燃机、冲压机床，高速车辆、飞高速电机、汽轮机、离心压缩机，内燃机、冲压机床，高速车辆、飞行器等，它们承受着本身惯性及与周围介质或结构相互作用的动力载荷。行器等，它们承受着本身惯性及与周围介质或结构相互作用的动力载荷。承受强风、水流、地震以及波浪等各种动力载荷的作用的高层建筑、桥梁、承受强风、水流、地震以及波浪等各种动力载荷的作用的高层建筑、桥梁、核电站的安全壳海洋石油平台等。核电站的安全壳海洋石油平台等。动力学研究的另一重要领域是动力学研究的另一重要领域是波在介质中的传播问题波在介质中的传播问题。)(21,ijjiijuu6.1.1 弹性动力学问题的基本方程：弹性动力学问题的基本方程：平衡方程平衡方程(or运动方程运动方程)：几何几何方程方程：物理方程：物理方程：边界条件：边界条件：初始条件初始条件：i,ti,ttijijuuX,klijklijD力边界：力边界：iiijTn位移边界：位移边界：iiuu)(0)(x,y,zux,y,z,uii)(0)(t,t,x,y,zux,y,z,uii式中式中是质量密度，是质量密度，是是阻尼系数。阻尼系数。平衡方程中出现惯性力平衡方程中出现惯性力和阻尼力这是弹性动力和阻尼力这是弹性动力学和静力学相区别的基学和静力学相区别的基本特点之一。本特点之一。位移、应变、应力也是位移、应变、应力也是时间的函数。也正因为时间的函数。也正因为如此，动力学问题的定如此，动力学问题的定解条件中还应包括初始解条件中还应包括初始条件。条件。6.1 动力学问题的有限元法动力学问题的有限元法 6.1.2 有限元法求解动力问题的基本步骤：有限元法求解动力问题的基本步骤：6.1 动力学问题的有限元法动力学问题的有限元法 在动力分析中引入了时间坐标。在有限元分析中一般采用部分离散的在动力分析中引入了时间坐标。在有限元分析中一般采用部分离散的方法，即只对空间域进行离散，这样一来，此步骤和静力分析相同。方法，即只对空间域进行离散，这样一来，此步骤和静力分析相同。2、构造插值函数、构造插值函数 1、连续区域的离散化、连续区域的离散化 eaNu此时，此时，结点位移是时间的函数结点位移是时间的函数。eetaa)(6.1.2 有限元法求解动力问题的基本步骤：有限元法求解动力问题的基本步骤：6.1 动力学问题的有限元法动力学问题的有限元法 3、形成系统的求解方程、形成系统的求解方程V,dV)(i,ti,ttijijuuXu0dS)(SiiijTn平衡方程及力的边界条件的等效积分形式为：平衡方程及力的边界条件的等效积分形式为：分部积分，并代入物理方程，分部积分，并代入物理方程，再将离散后的位移代入上式，注意到结点位移变分的任意性再将离散后的位移代入上式，注意到结点位移变分的任意性(请同学们课后自己证明请同学们课后自己证明)最终得到最终得到系统的求解方程系统的求解方程：ttttQaKaCaM ttttQKaaCaM 如果忽略阻尼的影响，可简化为如果忽略阻尼的影响，可简化为:tttQaKaM)()()tt(tQKaaM 系统的求解方程为系统的求解方程为：ttttQaKaCaM M是系统的是系统的质量矩阵质量矩阵、C 是系统的是系统的阻尼矩阵阻尼矩阵、K是系统的是系统的刚度矩阵刚度矩阵、Q(t)是是系统的系统的结点载荷向量结点载荷向量，分别由各自的单元矩阵和向量集成。分别由各自的单元矩阵和向量集成。ttttQKaaCaM 6.1.2 有限元法求解动力问题的基本步骤：有限元法求解动力问题的基本步骤：6.1 动力学问题的有限元法动力学问题的有限元法 4、求解运动方程、求解运动方程 运动方程的求解方法是本章着重讨论的内容。运动方程的求解方法是本章着重讨论的内容。5、计算结构的应变和应力、计算结构的应变和应力6.1.2 有限元法求解动力问题的基本步骤：有限元法求解动力问题的基本步骤：6.1 动力学问题的有限元法动力学问题的有限元法 从以上各步骤可以看出：从以上各步骤可以看出：B、最后得到的求解方程不是代数方程组，而是最后得到的求解方程不是代数方程组，而是常微分方程组常微分方程组。其他计算步骤和静力分析是完全相同的。其他计算步骤和静力分析是完全相同的。A、和静力分析相比较，在动力分析中由于惯性力和阻尼力出现在和静力分析相比较，在动力分析中由于惯性力和阻尼力出现在平衡方程中，因此引入了平衡方程中，因此引入了质量矩阵质量矩阵和和阻尼矩阵阻尼矩阵。6.1.3 单元质量矩阵单元质量矩阵6.1 动力学问题的有限元法动力学问题的有限元法 一致一致(协调协调)质量矩阵质量矩阵：质量矩阵的导出和导出刚度矩阵所质量矩阵的导出和导出刚度矩阵所根据的原理及所采用位移插值函数根据的原理及所采用位移插值函数是一致的，同时质量分布也是按照是一致的，同时质量分布也是按照实际分布情况考虑的。实际分布情况考虑的。在有限元法中还经常采用所谓在有限元法中还经常采用所谓集中集中或团聚或团聚)质量矩阵。它假质量矩阵。它假定单元的质量集中在结点上，定单元的质量集中在结点上，这样得到的质量矩阵是对角线这样得到的质量矩阵是对角线矩阵。矩阵。集中质量矩阵：集中质量矩阵：以以3结点三角形单元为例：结点三角形单元为例：其中其中W=tA是单元的质量是单元的质量,t是单元的厚度。是单元的厚度。6.1.4 单元阻尼矩阵单元阻尼矩阵6.1 动力学问题的有限元法动力学问题的有限元法 1、基于和协调质量矩阵的同样理由称为协调阻尼矩阵。它是假定阻尼、基于和协调质量矩阵的同样理由称为协调阻尼矩阵。它是假定阻尼力正比于质点运动速度的结果，通常均将介质阻尼简化为这种情况。力正比于质点运动速度的结果，通常均将介质阻尼简化为这种情况。这时单元阻尼矩阵比例于单元质量矩阵。这时单元阻尼矩阵比例于单元质量矩阵。2、除此而外，还有比例于应变速度的阻尼，例如由于材料内摩擦引、除此而外，还有比例于应变速度的阻尼，例如由于材料内摩擦引起的结构阻尼通常可简化为这种情况，这时单元阻尼矩阵可表示成：起的结构阻尼通常可简化为这种情况，这时单元阻尼矩阵可表示成：此单元阻尼矩阵比例于单元刚度矩阵。此单元阻尼矩阵比例于单元刚度矩阵。eVTedVNNCeVTeDBdVBC6.1.5 直接积分法：直接积分法：6.1 动力学问题的有限元法动力学问题的有限元法 常微分方程组的解法，原则上可利用求解常微分方程组的常用方法常微分方程组的解法，原则上可利用求解常微分方程组的常用方法(例例如如Runge-K utter方法方法)求解。求解。但是在有限元动力分析中，因为矩阵阶数很高，用这些常用算法一般是但是在有限元动力分析中，因为矩阵阶数很高，用这些常用算法一般是不经济的，所以只对少数有效的方法有兴趣。这些方法可以分为两类不经济的，所以只对少数有效的方法有兴趣。这些方法可以分为两类:直接积分法和振型叠加法直接积分法和振型叠加法。直接积分是指在积分运动方程之前不进行方程形式的变换，而直接进直接积分是指在积分运动方程之前不进行方程形式的变换，而直接进行逐步数值积分。行逐步数值积分。通常的直接积分法是基于两个概念：通常的直接积分法是基于两个概念：一、将在求解域一、将在求解域0tT内的任何时刻内的任何时刻t 都应满足运动方程的要求，代之都应满足运动方程的要求，代之以仅在一定条件下近似地满足运动方程，例如可以仅在相隔以仅在一定条件下近似地满足运动方程，例如可以仅在相隔Ot的离散的的离散的时间点满足运动方程。时间点满足运动方程。二、在一定数目的二、在一定数目的t区域内，假设区域内，假设位移、速度、加速度的函数形式位移、速度、加速度的函数形式。在以下的讨论中，假定时间在以下的讨论中，假定时间t=0的位移、速度、加速度已知。并假定时间的位移、速度、加速度已知。并假定时间求解域求解域0-T被等分为被等分为n个时间间隔个时间间隔t=T/n，在讨论具体算法时，假定，在讨论具体算法时，假定0,t,2t,t时刻的解已经求得，目的在于计算时刻的解已经求得，目的在于计算t+t时刻的解。时刻的解。6.1.5 直接积分法：直接积分法：6.1 动力学问题的有限元法动力学问题的有限元法 ：加速度和速度可以用位移表示为：加速度和速度可以用位移表示为：)2(t1tt2ttttaaaa)(t21tttttaaa 于是，时间于是，时间t+t的位移解答可由时间的位移解答可由时间t的运动方程建立，即：的运动方程建立，即：ttttQKaaCaM 时间时间t的运动方程成立，即：的运动方程成立，即：t22t2)t21t1()t2()t21t1(ttttaCMaMKQaCM6.1.5 直接积分法：直接积分法：6.1 动力学问题的有限元法动力学问题的有限元法 ：(略略,祥见祥见结构动力学结构动力学)其中其中是是n阶向量，阶向量，是向量是向量振动的频率，振动的频率，t是时间变量，是时间变量，t0是由初始条件确定的时间常数。是由初始条件确定的时间常数。6.1.6 振型叠加法：振型叠加法：6.1 动力学问题的有限元法动力学问题的有限元法 1、求解系统的固有频率和固有振型求解系统的固有频率和固有振型不考虑阻尼影响的系统自由振动方程是不考虑阻尼影响的系统自由振动方程是)()()tt(tQKaaM 它的解可以假设为以下形式它的解可以假设为以下形式)(sin)0tt(ta02MK将假设解代入上式，就得到一个广义特征值问题将假设解代入上式，就得到一个广义特征值问题:(略略,祥见祥见振动力学振动力学和和结构动力学结构动力学)6.1.6 振型叠加法：振型叠加法：6.1 动力学问题的有限元法动力学问题的有限元法 求解以上方程可以确定求解以上方程可以确定和和，结果得到，结果得到n个特征解个特征解(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),其中特征值其中特征值代表系统的代表系统的n个固有频率，个固有频率，特征向量特征向量代表系统的代表系统的n个固有振型。个固有振型。02MK由于固有振型对于矩阵由于固有振型对于矩阵M是正交的是正交的02MK26.2 非线性问题的有限元法非线性问题的有限元法 以前讨论的均是线性问题。线弹性力学基本方程的特点是：以前讨论的均是线性问题。线弹性力学基本方程的特点是：1.几何方程几何方程(应变和位移的关系应变和位移的关系)是线性的。是线性的。但是在很多重要的实际问题中。但是在很多重要的实际问题中。上述线性关系不能保持。上述线性关系不能保持。2.物理方程物理方程(应力和应变的关系应力和应变的关系)是线性的。是线性的。3.平衡方程也是线性的。平衡方程也是线性的。6.2.0 非线性问题非线性问题6.2 非线性问题的有限元法非线性问题的有限元法 例如：当外载荷到达一定数值时某些部位首先进入塑性，产生了不可恢复的变形，例如：当外载荷到达一定数值时某些部位首先进入塑性，产生了不可恢复的变形，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。持弹性。又如：长期处于高温条件下工作的结构将发生蠕变变形，即在载荷或应力保持不又如：长期处于高温条件下工作的结构将发生蠕变变形，即在载荷或应力保持不变的情况下，变形或应变仍随着时间的进展而继续增长。变的情况下，变形或应变仍随着时间的进展而继续增长。工程实际中还存在另一类所谓工程实际中还存在另一类所谓几何非线性几何非线性问题：问题：上述现象，都不是线弹性的物理方程所能描述的，上述现象，都不是线弹性的物理方程所能描述的，属于属于材料非线性材料非线性范畴内所要研究的问题。范畴内所要研究的问题。例如板壳的大挠度问题，材料锻压成型过程的大应变问题等，这时需要采用例如板壳的大挠度问题，材料锻压成型过程的大应变问题等，这时需要采用非线非线性的应变和位移关系性的应变和位移关系，平衡方程也必须建立于变形后的状态以考虑变形对平衡的平衡方程也必须建立于变形后的状态以考虑变形对平衡的影响影响。6.2.0 非线性问题非线性问题6.2 非线性问题的有限元法非线性问题的有限元法 6.2.1 非线性问题有限单元法的求解方程：非线性问题有限单元法的求解方程：0PaK无论物理非线性还是几何非线性，最后都归结为求无论物理非线性还是几何非线性，最后都归结为求解非线性方程组解非线性方程组：KVTdVDBB1、如果材料是非线性的，则弹性矩阵、如果材料是非线性的，则弹性矩阵D是非线性的，可写成是非线性的，可写成D=D(a)，那么，那么K=K(a)同样是非线性的，这种非线性称为物理非线性。同样是非线性的，这种非线性称为物理非线性。0)(PaaK2、如果材料是线性的，但是应变位移矩阵、如果材料是线性的，但是应变位移矩阵B与节点位移与节点位移a有关，即有关，即B=B(a)，是非线性的，是非线性的，那么那么K=K(a)同样是非线性的，这种非线性称为几何非线性。同样是非线性的，这种非线性称为几何非线性。6.2 非线性问题的有限元法非线性问题的有限元法 6.2.1 非线性问题有限单元法的求解方程：非线性问题有限单元法的求解方程：对于线性方程组对于线性方程组6.2 非线性问题的有限元法非线性问题的有限元法 非线性方程组解答的一些常用方法：非线性方程组解答的一些常用方法：但对于非线性方程组但对于非线性方程组以下将阐述借助于以下将阐述借助于以得到非线性方程组解以得到非线性方程组解答的一些常用方法。答的一些常用方法。0PaK0)(PaaK由于由于K是常数矩阵，可以没有困难地直接求解，是常数矩阵，可以没有困难地直接求解，由于由于K依赖于基本未知量依赖于基本未知量a。本身则不可能直接求解。本身则不可能直接求解。一、直接迭代法一、直接迭代法6.2 非线性问题的有限元法非线性问题的有限元法 非线性方程组解答的一些常用方法：非线性方程组解答的一些常用方法：2、初始刚度法、初始刚度法1、割线刚度法、割线刚度法二、二、Newton-Raphson方法方法6.2 非线性问题的有限元法非线性问题的有限元法 非线性方程组解答的一些常用方法：非线性方程组解答的一些常用方法：1、Newton-Raphson方法方法2、修正的、修正的Newton-Raphson方法方法三、增量载荷法三、增量载荷法6.2 非线性问题的有限元法非线性问题的有限元法 非线性方程组解答的一些常用方法：非线性方程组解答的一些常用方法：增量载荷法是将作用于结增量载荷法是将作用于结构上的全部载荷分成若干构上的全部载荷分成若干步加到结构上，步加到结构上，总的来说，非线性强的总的来说，非线性强的载荷步可以小一点，否载荷步可以小一点，否则可大一点。则可大一点。每步载荷的大小是由方每步载荷的大小是由方程的非线性程度而定，程的非线性程度而定，