万有引力定律应用

万有引力定律的应用一、万有引力定律FQ 二适用于两个质点或平均球体；r为两质点或球心间的距离；G为万有引力恒量(1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出)1122二 G6.67 10 N m / kg二、万有引力定律的应用Mm体之间的万有引力，即G2-r1、应用万有引力定律解决问题的知识常集中于两点：一是天体运动的向心力本源于天二m = m 2=rm2r ；二是地球对物体的万有引力r 2T近似等于物体的重力，即G mM =mg从而得出GM =R2 g。2R2、圆周运动的有关公式：=，v己r。GMr越大，v越小。谈论：2由g业虬=m厂可得:rr由G 二m、2r可得:2rGMr越大，33越小。Mm(2r.、由2二m r可得：T=，2rGMr越大，T越大。Mm由G二 ma向可得:GMr越大，a向越小。谈论：需要说明的是，万有引力定律中两个物体的距离，关于相距很远所以能够看作质点的物体就是指两质点的距离；关于未特别说明的天体，都能够为是平均球体， 则指的是两个球心的距离。人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。3、常有题型(1)测天体的质量及密度：a.有行星或卫星绕行的中心天体的质量和密度由开普勒第三定律可知， 所有绕中心天体运转的卫星或行星的运转周期的平方与其绕行椭圆轨道半长轴的三次方的比值是一个常数，这个常数与中心天体的质量有关，反过来，若是我们要计算一个天体的质量，只要找把绕中心天体运转的卫星到围绕该天体运动的卫星或行星的运转周期和轨道半径就可以了。或行星近似视为做匀速圆周运动，依照万有引力供应向心力，建立方程求解。可分以下几种情况:周期T和轨道半径r设中心天体的质量为M，绕中心天体运动的行星或卫星的质量为（2）运转速度v和轨道半径r设中心天体的质量为M，绕中心天体运动的行星或卫星的质量为m，速度为v，据万有引力供应向心力，则有Mm mv 2G 二，得M r（3）运转速度v和运转周期T设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为mM m速度为v，运转周期为T，则有G 二m2r,VMmG 2rm-，rM m2:m，据万有引力供应向心力，则有 g = m （） 2r ，可得中心天体的质量为T由以上两式消去r，3解得 M 2- G注意：以上三种情况本质上是相同的，由于已知v、T和r三个物理量中的任意两个都能够求出第三个，如已知v和r以利用t求出v丁；已知V和T，能够利用rr 3U)。当卫星围绕天体表面做圆周运动时，r=R，3p=2GT例1为了研究太阳演化的进度需知太阳的质量，已知地球的半径为R，地球的质量为m，日地中心的距离为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳求出天体质量后，再求出天体的体积的质量为（4-2 mr 3A .2T RT 2 R 2 g B. 234忌mr-：2 mgR 232TD.224 舟 mgR解析：依照4 - mr2Tm m，m g 二G?可得M日R-mr22T R g选项A正确。本题答案为A。例2地球半径为R，在距球心r处（rR）有一同步卫星，还有一半径为2R的星球A,在距球心3r处也有一同步卫星，它的周期是48h那么A星球平均密度与地球平均密度的比值为（）A. 9 : 32B. 3 : 8C. 27 : 32D. 27 : 16解析：依照万有引力供应向心力有GMm2-厂=m L ） 2r可得，计算中心天体质量的公式234 ：. r为M二 一；依照题意，A星球的同步卫星的轨道半径是地球同步卫星轨道半径的3倍，2GT而周期是地球同步卫星运转周期的2倍，故A星球的质量是地球的223 327一倍，即Mb= 生427曰：一M生4扁已知A星球的半径是地球半径的 地2倍，那么其体积是地球体积的8倍即V星=8V地，所以工二二寻t二-咨地M地V星4832选项C正确。本题答案为C。例3天宫一号于2011年9月29日成功发射，它将和随后发射的神州飞船在空间完成交会对接，实现中国载人航天工程的一个新的超越。天宫一号进入运转轨道后，其运转周期为T，距地面的高度为h，已知地球半径为R，万有引力常量为G。若将天宫一号的运转轨道看做圆轨道，求：（1）地球质量M；（ 2 ）地球的平均密度。解析：（1）由于将天宫一号的运转轨道看做圆轨道，万有引力充当向心力，即Mm422 m :(h ) T2GT地球的平均密度:MP =43R3GT 2 R3b.没有行星或卫星绕行的天体质量关于没有行星或卫星绕行的天体，若已知该天体的半径和它表面的重力加速度，可应用万有引力近似等于重力这一关系，建立方程求解，计算出它的质量。设待计算天体的质量为M,半径为R它表面的重力加速度为g 0，设该大体表面有一物体质量为m，依照万有引力近似等于重力则有Mmmg 0 - G ，得此天体的质量为R2R 2 gM =-_0GMm附带说明一点，由mg 0矣得出GmRR 2g0此式在解析天体运动问题时很适用，被称为黄金代换式。例4 1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G,所以卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1 （地球自转周期），一年的时间T2 （地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离为 L2 .你能计算出 （A地球的质量gR 2B.太阳的质量4 L32GT2C 月球的质量4 二2 L ；GT 12D.可求月球、地球及太阳的密度解析：在地球表面，物体的重力近似等于其万有引力，所以有m mmgGj,可求得R，所以选项A正确；太阳对地球的万有引力供应其绕太阳公转时的向心力，所以有GL2T2能够求出地球的密度，2L ，可求得:4- 2L2GT，选项B正确；已知地球半径，还但依照题中条件， 无法求出月球的质量及其密度和太阳的密度，所以选项CD错误。本题答案为AB。例5假设我国某宇航员踏上一半径为 R的球状星体，该宇航员在该星体上可否用常规方法测量出此星体的质量？若是能测出，需用何器材，简述测量方法。解析：待测星体没有行星或卫星绕行，可应用在星体表面星体与宇航员间的万有引力近似等于宇航员的重力这一关系，测出该星体的质量。二据m黑，得此星体的质量为M 二土二，由于半径R已知，只要再测出该星 mg0RG体表面的重力加速度g0，就能测出此星体的质量。4方法1 :在星体表面用天平称量出某物体A的量，再用簧秤吊物体 A于平衡状,出簧秤的示数F，g 0 =F/m，所以星体的量m二。m G方法2 :使一物体由静止开始自由下落，用米尺量下落的高度h，用秒表量下落的t，有h=gn，g。=二-，所以星体的量M =o 0。0222tG t算天体的量有多种方法，要清条件，依照条件采用合适的方法。c行星表面重力加速度、道重力加速度：（重力近似等于万有引力）表面重力加速度:MmG 2Rmg。goGM道重力加速度:GMR h 2GMm=mg hgh-R h例6一星某行星做匀速周运，已知行星表面的重力加速度g。，行星的量M与星的量 m之比M/ m=81，行星的半径R。与星的半径R之比R。/R =，行星与星之的距离 与行星的半径。之比/。= 60。星表面的重力加速度，在星表rR r Rg面有 GMm _ mg 2r算得出：星表面的重力加速度行星表面的重力加速度的1/3600。上述果可否正确？若正确，列式明;若有，求出正确果。解析：中所列关于g的表达式其实不是星表面的重力加速度，而是星行星做匀速周运的向心加速度。正确的解法是曰丰Gm星表面 =2gR彳亍星表面GM02 gR0R-0 (R=gm =2M g0即 g g0。课后作业1、2011年8月26日信息，英国曼彻斯特大学的天文学家认为，他们已经在银河系里发现一颗由从前的弘大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完好由钻石构成。若已知万有引力常量，还需知道哪些信息能够计算该行星的质量（）A .该行星表面的重力加速度及绕行星运转的卫星的轨道半径B.该行星的自转周期与星体的半径C .围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及运转半径D.围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及公转线速度2、美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗近似地球的、可合适居 住的行星一“开普勒-22b ”，它每290天围绕着一颗近似于太阳的恒星运转一周，距离地球约600光年，体积是地球的2.4倍。已知万有引力常量和地球表面的重力加速度。依照以上信息，以下推理中正确的选项是（）A .若能察看到该行星的轨道半径，可求出该行星所受的万有引力B-若已知该行星的密度和半径，可求出该行星的轨道半径C .依照地球的公转周期与轨道半径，可求出该行星的轨道半径D.若该行星的密度与地球的密度相等，可求出该行星表面的重力加速度【参照答案：解析：由万有引力定律和牛顿第二定律卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力供应，利用牛顿第二定律得MmG 2rr和卫星的运转周期T、角速m里二mr-一，2二mr -二；若已知卫星的轨道半径rT2 3度八或线速度v，可求得中心天体的质量为，所以选项CD正G确。提示：依照万有引力公式F二m（工）2可知，要想求出该行星所受的万有引力，T除了知道公转周期 T和轨道半径 r外，还要知道该行星的质量 m，所以选项 A错误；若已B错误;知该行星的密度和半径，可求出该行星的质量，但求不出该行星的轨道半径，选项由于该行星围绕的近似于太阳的中心天体不相同于太阳，所以不能够依照地球的公转周期与轨道半径以及该行星的公转周期，利用开普勒第三定律求出该行星的轨道半径，选项C错误;在星球表面，物体的万有引力近似等于重力，所以有gM二mg可得g =G，可见，22RR若该行星的密度与地球的密度相等即可求出该行星的质量和半径，即可求出该行星表面的重力加速度，选项D正确。】3、“嫦娥一号”卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进人近月圆轨道绕月翱翔.若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的1 / 6，月球半径为地球半径的1 / 4，据以上信息得（）A .绕月与绕地翱翔周期之比为：、.；B .绕月与绕地翱翔周期之比为2 3C.绕月与绕地翱翔向心加速度之比为 1: 6D.月球与地球质量之比为1： 964、在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要精确的重力加速度g值，g值可由实验精确测定.近来几年来 测g值的一种方法叫“对称自由下落法”，它是将测g归于测长度和时间， 以牢固的氦氖激光为长度标准，用光学干涉的方法测距离，以铷原子钟或其他手段测时间，能将g值测得很准详尽做法是：将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O点向上抛小球又落到原处的时间为T2，在小球运动过程中经过比O点高H的P点，小球走开P点到又回到P点所用的时间为T1，测得T1、T2和H，可求得g等于（8 HA.22T2T1B.22T2-T18 HC.(T2 丁1)_ HD.24(T2 -T 1 )【参照答案：1.ACD. 提示：mg=m （七 ）2RTc RT2冬，选项A正确B错误；“嫦娥一号”绕近地圆轨道与绕近月圆轨道翱翔时，万有引力供应向心力，而万有引力近似等于卫星重力，故其重力供应向心力，重力加速度近似等于向心加速度，应选项C正确；依照MmgR 2G =mg，得M=，可知选项D正确.解析：依照题意，小球从O点自由下落到P点的时间为T1 /2，自由下落到原处的时间为T2/2，所以有1H 二g2，化简可求得，8 Hg= 之，选项A正确。本题答案为A。】T22 T1 25、中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，察看到它的自转周期为T=S。问该中子星的最小密度应是多少才能保持该星的牢固，不致因自转30而崩溃。计算时星体可视为平均球体。（引力常数G 10 11 m3 2 ）解析：设想中子星赤道处一小块物质， 的向心力时，中子星才不会崩溃。只有当它碰到的万有引力大于或等于它随星体所需设中子星的密度为。，质量为 M，半径为R，自转角速度为*，位于赤道处的小物块质量为m，则有竺匚二m，2R =R 2T3143由以上各式得，二2，代入数据解得：二 10 kg / m。GT谈论：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题相同先假设某处存在一个物体再解 析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法。