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3.7 3.7 函数的极值函数的极值授课教师授课教师 四川省成都市树德中学四川省成都市树德中学教材教材 人教版人教版 全日制普通高级中学教科书全日制普通高级中学教科书数学第三册（选修数学第三册（选修II）本节课的地位和作用本节课的地位和作用 本节课是导数应用中的第二节（第一节是本节课是导数应用中的第二节（第一节是利用导数知识判断函数的单调性），学生利用导数知识判断函数的单调性），学生们已经了解了导数的一些用途，思想中已们已经了解了导数的一些用途，思想中已有了一点有了一点运用导数的基本思想去分析和解运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的意识，决实际问题的意识，本节课将继续加强这本节课将继续加强这方面的意识和能力的培养方面的意识和能力的培养利用导数知利用导数知识求可导函数的极值识求可导函数的极值.其后还有利用导数求其后还有利用导数求函数的最值问题，因此本节课还要起到承函数的最值问题，因此本节课还要起到承上启下的作用上启下的作用.1.1.教学目标教学目标（1 1）知识技能目标：）知识技能目标：v掌握掌握函数极值的概念，会从几何图形直观理解函数的极值与函数极值的概念，会从几何图形直观理解函数的极值与导数的关系，增强学生的数形结合意识导数的关系，增强学生的数形结合意识,提高思维水平提高思维水平；v掌握求可导函数的极值的一般方法；掌握求可导函数的极值的一般方法；v了解了解可可导导函函数数极值极值点点x0与与f(x0)=0 0的的逻辑关逻辑关系系；v提高学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的能力提高学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的能力.（2 2）过程与方法目标：）过程与方法目标：v培养学生观察培养学生观察 分析分析 探究探究 归纳得出数学概念和规律归纳得出数学概念和规律的学习能力的学习能力.(3(3）情感与态度目标：）情感与态度目标：v培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；v体会数学中的局部与整体的辨证关系体会数学中的局部与整体的辨证关系.2 2教学重点和难点教学重点和难点v重点：掌握求重点：掌握求可导可导函数的极值的一函数的极值的一般方法般方法.v难点：难点：x0为函数极值点与为函数极值点与f (x0)0 0 的逻辑关系的逻辑关系.3 3教学方法与教学手段教学方法与教学手段 v师生互动探究式教学，遵循师生互动探究式教学，遵循“教师为主导、学生为教师为主导、学生为主体主体”的原则，结合高中学生的求知心理和已有的的原则，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学由于学生对极限和导数的知识认知水平开展教学由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入细致（大学里还将继续学习），学习还谈不上深入细致（大学里还将继续学习），因此本节课的教学中更重视的因此本节课的教学中更重视的是从感性认识到理性是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明认识的探索过程，而略轻严格的理论证明过程，教过程，教师的主导作用和学生的主体作用必须得到的充分发师的主导作用和学生的主体作用必须得到的充分发挥挥.v利用多媒体辅助教学利用多媒体辅助教学.电脑演示动画图形，直观形电脑演示动画图形，直观形 象，便于学生观察象，便于学生观察.幻灯片打出重要结论，清楚明幻灯片打出重要结论，清楚明 了，节约时间，提高课堂效率了，节约时间，提高课堂效率.4.4.教学过程教学过程请观察请观察:函数极值的定义函数极值的定义 一般地，设函数一般地，设函数f(x)在点在点x0附近有定义附近有定义，v如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,都都有有f(x)f(x0)，我们就，我们就说说f(x0)是函数是函数f(x)的一个极大值的一个极大值,记作记作y极大值极大值=f(x0)；v如果如果对对x0附近的所有的点附近的所有的点,都有都有f(x)f(x0)，我们就，我们就说说f(x0)是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值=f(x0).v极大值与极小值同称为极值极大值与极小值同称为极值.v强调强调：极值是某一点极值是某一点附近附近的小区间而言的，是函数的小区间而言的，是函数的局部性质，在整个定义区间内可能有多个极大值的局部性质，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；和极小值；极大值与极小值没有必然关系，极大值极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小可能比极小值还小.判断判断f(x0)是极大值或是极小值的方法是极大值或是极小值的方法(1)(1)如果如果在在x0附近的左侧附近的左侧f(x0)0,0,右侧右侧f(x0)0,0,那那么么,f(x0)是极大值；是极大值；(左正右负为极大左正右负为极大)(2)(2)如果如果在在x0附近的左侧附近的左侧f(x0)0,0,右侧右侧f(x0)0,0,那那么么,f(x0)是极小值是极小值.(右正左负为极小右正左负为极小)再观察再观察v强调强调:要想知道要想知道 x0是极大值点还是极小值点就是极大值点还是极小值点就必须判断必须判断 f(x0)=0=0左右侧导数的符号左右侧导数的符号.的的极极值值求求函函44313xxf(x)数解解:f(x)=x2-4,由由f(x)=0解得解得 x1=2,=2,x2=-2.=-2.当当x变化时变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x f(x)f(x)当当x=2=2时时,y极小值极小值=28/328/3；当当x=-2-2时时,y极大值极大值=-=-4/34/3.应用应用1 1(-,-2)(-,-2)-2-2(-2,2)(-2,2)2 2(2,+)(2,+)+0 00 0-+极大值极大值28/3极小值极小值-4/3归纳归纳 求可导函数的极值的步骤求可导函数的极值的步骤:求导数求导数 f(x)；求方程求方程 f(x)=0=0的根；的根；检查检查 f(x)在方程根左右的值的符号，如果在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值；如在这个根处取极大值；如果左负右正，那么果左负右正，那么f(x)在这个根处取极小值在这个根处取极小值.练一练练一练 P P130130(1)(1)y极小值极小值=f(7/2)=-25/4(7/2)=-25/4；(2)(2)y极大值极大值=f(-5/4)=-25/8(-5/4)=-25/8；(3)(3)y极大值极大值=f(-3)=54,(-3)=54,y极小值极小值=f(3)=-54(3)=-54；(4)(4)y极大值极大值=f(1)=2,(1)=2,y极小值极小值=f(-1)=-2.(-1)=-2.思考：思考：(1)(2)(1)(2)问中的极值是该函数的最问中的极值是该函数的最值吗？值吗？v探索探索:x=0=0是否为函数是否为函数f(x)=x3 3的极值点的极值点?x yOf(x)x3v若寻找若寻找函数函数极值点极值点,可否只可否只由由f(x)=0 0求得即可求得即可?f(x)=3=3x2 2 当当f(x)=0=0时，时，x=0=0，而，而x=0=0不是不是该函该函数的极值点数的极值点.f(x0)=0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 应用应用2 2 求求 y=（x2 2-1)-1)3 3+1+1 的极值的极值解解:y =6 6x(x2 2-1)-1)2 2=6=6x(x-1)-1)2 2(x+1)+1)2 2 由由y =0=0解得解得 x1 1=-1,=-1,x2 2=0,=0,x3 3=1.=1.当当x 变化时变化时,y 的符号如图的符号如图:当当x=0=0时时,y极小值极小值=0 0.x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f(x0)=0=0 xy y-0 0-0 0+0 0+无极值无极值极小值极小值0无极值无极值(-,-1)(-,-1)-1-10 0(0,1)(0,1)1 1(1,+)(1,+)(-1,0)(-1,0)小结小结 可导函数的极值与导数的关系可导函数的极值与导数的关系v函数的极值是就函数在某一点函数的极值是就函数在某一点附近附近的小区的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大极小值大.v点是极值点的点是极值点的充分不必要条件充分不必要条件是在这点两是在这点两侧的导数异号侧的导数异号.点是极值点的点是极值点的必要不充分必要不充分条件条件是在这点的导数为是在这点的导数为0.0.研究研究 求函数求函数f(x)=的极值的极值.v导函数导函数f(x0)不存在的点也可能是极值点不存在的点也可能是极值点 .322)2(xx 解解:f(x)的定义域为的定义域为R，且且 f(x)=可知可知x=1=1时时f(x)=0;=0;而而x=0=0和和x=2=2时时,f(x)不存在不存在.3)2(3)1(4xxx由图可知函数由图可知函数f(x)有极小值有极小值f(0)=0,=0,f(2)=0,=0,有极大值有极大值f(1)=1.=1.作业作业 P P130 130 习题习题3.73.7 v选作选作 已知已知f(x)=a=ax 3 3+b+bx 2 2+a+ax(a0)(a0)在在x=1=1处取得极值处取得极值,且且f(1)(1)=-1.(1)1.(1)求求a a、b b、c c的值；的值；(2)(2)判断判断x=1=1时函数取极大值还是极小值时函数取极大值还是极小值,并说明理由并说明理由.v 极极值值和和最最值值的区别与的区别与联系联系v （局部与整体）（局部与整体）
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