系统的能控性和能观测性

能控性能控性(controllability)和能观测性和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由于深刻地揭示了系统的内部结构关系，由于60年代初首先提出年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最态反馈的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。第第3章章 线性控制系统的能控性与能观测性线性控制系统的能控性与能观测性3.1 能控性和能观测性的定义能控性和能观测性的定义 所谓状态空间描述，就是用状态方程和输出方所谓状态空间描述，就是用状态方程和输出方程来描述系统。程来描述系统。状态方程描述了系统内部变量与外状态方程描述了系统内部变量与外部控制作用的关系；输出方程描述了系统内部状态部控制作用的关系；输出方程描述了系统内部状态变量与输出变量之间的关系。变量与输出变量之间的关系。由此可知，状态空间由此可知，状态空间描述从本质上提示了系统输入输出关系与内部结构描述从本质上提示了系统输入输出关系与内部结构的内在联系，这为深入研究系统内部结构提供了可的内在联系，这为深入研究系统内部结构提供了可能性。能性。能控性：能控性：是指外加控制作用是指外加控制作用u(t)对受控系统的对受控系统的状态变量状态变量x(t)和输出变量和输出变量y(t)的支配能力的支配能力，它回，它回答了答了u(t)能否使能否使x(t)和和y(t)作任意转移的问题。作任意转移的问题。能观测性：能观测性：是指由系统的量测输出向量是指由系统的量测输出向量y(t)识识别状态向量别状态向量x(t)的测辨能力，的测辨能力，它回答了能否通过它回答了能否通过y(t)的量测值来识别的量测值来识别x(t)的问题。当给定了初始的问题。当给定了初始状态状态x(t0)以及控制作用以及控制作用u(t)后，系统在任何时刻后，系统在任何时刻的状态的状态x(t)就唯一地确定下来。就唯一地确定下来。对于给定的系统，当外加控制及作用点确定之对于给定的系统，当外加控制及作用点确定之后，有些状态分量能受外加控制作用后，有些状态分量能受外加控制作用u(t)的控制，的控制，有些状态分量可能不受有些状态分量可能不受u(t)的控制。能的控制。能受受u(t)控制控制的状态称为能控状态的状态称为能控状态，不能受不能受u(t)控制的状态称不控制的状态称不能控状态。能控状态。同样，对于给定的系统，有些状态能够通过同样，对于给定的系统，有些状态能够通过输出输出y(t)确定下来，有些状态不能通过确定下来，有些状态不能通过y(t)确定确定下来。下来。能够通过能够通过y(t)而确定下来的状态称为能观而确定下来的状态称为能观测状态，测状态，不能通过不能通过y(t)而确定下来的状态称为不而确定下来的状态称为不能观测状态。能观测状态。设计一个线性系统，总是希望所施加的控制设计一个线性系统，总是希望所施加的控制u(t)能能完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。同时也希望通过同时也希望通过y(t)能完全确定系统的运动状态，以能完全确定系统的运动状态，以便实现状态反馈控制。总之，便实现状态反馈控制。总之，能控性和能观测性能控性和能观测性分别是从状态的控制能力和状态的测辨能力两分别是从状态的控制能力和状态的测辨能力两个方面揭示了控制系统的两个基本属性。个方面揭示了控制系统的两个基本属性。现代现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性和能观测性为存在条件的。都是以能控性和能观测性为存在条件的。二二.对能控性和能观测性的直观讨论对能控性和能观测性的直观讨论系统黑箱nxxx,21状态1u2unu1y1yny 每一个状态变量每一个状态变量 运动都可由输入运动都可由输入u(t)来影响和控制，而来影响和控制，而由任意的初始状态达到系统原点由任意的初始状态达到系统原点状态能控状态能控。状态状态 的的任意形式的运动均可由输出完任意形式的运动均可由输出完全反映全反映状态能观测。状态能观测。nxxx,21nxxx,21 例例1 系统状态空间描述为系统状态空间描述为：.,.,6254:60215004122122211212121系系统统为为不不完完全全能能观观测测关关系系无无直直接接也也无无间间接接与与而而只只反反映映但但系系统统为为完完全全能能控控而而由由始始点点达达到到原原点点可可通通过过选选择择表表示示标标量量方方程程组组形形式式为为yxxyuxxxyuxxuxxyuxxxxxx例例2 系统的原理电路图系统的原理电路图|)(tuRRRcRxy不不能能观观系系统统是是状状态态不不能能控控反反映映不不能能由由为为何何值值，则则不不论论初初始始状状态态若若控控制制不不受受则则若若初初始始状状态态.)()t(,0)()t(x,0)(.)(,0)(00tyxtytutuxtx)(tuRRc1x|c2x.,)(),t(x)t(xux,ux2121c22c11控控，系系统统状状态态为为不不完完全全能能目目标标但但不不能能分分别别转转移移到到任任意意同同时时转转移移到到任任意意目目标标和和能能将将直直线线。相相平平面面上上的的相相轨轨迹迹为为一一若若初初始始电电压压为为零零，则则量量，取取电电容容上上电电压压为为状状态态变变xxtu0)(tu1R1R2R1xyLL2xi.)(0)(.0:,)()(,0)(00201不不完完全全能能观观测测不不能能反反映映电电路路状状态态运运动动对对必必定定有有为为任任意意值值若若tytyttitxtxtu三三 能控性定义：能控性定义：考虑线性时变系统的状态方程：考虑线性时变系统的状态方程：.,:的的连连续续函函数数矩矩阵阵的的元元为为和和分分别别为为为为时时间间定定义义区区间间维维输输入入向向量量为为维维状状态态向向量量为为其其中中tpnnnBAJpunxJtutBtA)()(:xx.,0)(,)(,)1(:1001101001100能能控控的的时时刻刻为为是是在在则则称称此此时时到到转转移移使使状状态态由由许许控控制制和和一一个个无无约约束束的的容容在在一一个个时时刻刻存存的的一一个个非非零零初初始始状状态态初初始始时时刻刻如如果果对对取取定定的的线线性性时时变变系系统统对对于于定定义义txtxtxttttuttJtxJt.,)1(:3.,)(,)1(:2000000是是不不完完全全能能控控的的在在时时刻刻则则称称系系统统不不能能控控的的时时刻刻是是个个或或一一些些非非零零状状态态在在如如果果状状态态空空间间中中存存在在一一取取定定初初始始时时刻刻的的线线性性时时变变系系统统对对于于定定义义是是完完全全能能控控的的在在时时刻刻系系统统则则称称时时刻刻为为能能控控的的所所有有非非零零状状态态都都是是在在如如果果状状态态空空间间中中的的的的线线性性时时变变系系统统对对于于定定义义ttJttJtt能能达达。系系统统为为一一致致完完全全能能控控则则称称连连续续时时间间线线性性时时变变的的选选取取无无关关，能能达达性性与与系系统统初初始始时时刻刻即即系系统统的的能能控控能能达达的的均均为为完完全全能能控控对对任任意意初初始始时时刻刻如如果果系系统统的的线线性性时时变变系系统统对对于于定定义义/,/)(,)1(:500Jtt.,x)(,)(,),t(,)1(:401f1101001100时时刻刻为为能能达达的的是是在在则则称称此此非非零零状状态态时时转转移移到到使使状状态态由由制制和和一一个个无无约约束束的的容容许许控控存存在在一一个个时时刻刻的的一一个个零零初初始始状状态态时时刻刻如如果果对对取取定定初初始始的的线线性性时时变变系系统统对对于于定定义义txtxtxttttuttJtxJt从上述定义看出从上述定义看出：（1）状态转移的轨迹没加以限制和规定；状态转移的轨迹没加以限制和规定；（2）输入的每个分量的幅值不加以限制输入的每个分量的幅值不加以限制，但要求，但要求所有分量均是在所有分量均是在J 上平方可积的。上平方可积的。（3）上述定义是对）上述定义是对J中的一个取定时刻中的一个取定时刻 来定义来定义的，的，对时变系对时变系 统，能控性与统，能控性与 有关，而对定常系有关，而对定常系统，能控与否与统，能控与否与 无关。无关。0t0t0t （4）由非零初始状态转移到零状态，为状态能由非零初始状态转移到零状态，为状态能控控。如若由零初始状态如若由零初始状态 转移到非零状态，则为状转移到非零状态，则为状态能达的。态能达的。对线性定常系统能控性和能达性是等对线性定常系统能控性和能达性是等价的，但对时变和离散系统，则是不等价的。价的，但对时变和离散系统，则是不等价的。（5）系统为不完全能控的情况是一种）系统为不完全能控的情况是一种“奇异奇异”的情况，若将系统中组成元件的参数值作很小变的情况，若将系统中组成元件的参数值作很小变动，可使其成为可控的。动，可使其成为可控的。四四 能观测性定义能观测性定义.),(为为系系统统状状态态转转移移矩矩阵阵其其中中t.,)(),(),(),(的的满满足足和和分分别别为为其其中中pqnqpnnntDtCtBtA00)()()()()(:xtxutDtCyJtutBtAxxx 考考虑虑系系统统:状状态态方方程程解解的的表表达达式式为为.)()(),(),()(000duBtxtttxtt.性性条条件件的的时时变变矩矩阵阵状状态态方方程程解解的的存存在在唯唯一一.,0是是未未知知的的态态只只有有内内部部变变量量即即初初始始状状都都假假定定为为已已知知和和输输入入输输出出在在研研究究能能观观测测问问题题中中xuy.:输出响应表达式为输出响应表达式为)()()()(),()(),()()(000tutDduBttCxtttCtytt0),()()(xttCty)()()()(),()()()(0tutDduBttCtytytt:若若定定义义:进进而而.的的能能观观测测性性0),()()(xttCty.,0,:000也也即即系系统统的的零零输输入入方方程程的的可可能能性性来来估估计计由由时时所所以以这这又又等等价价于于研研究究的的任任意意性性和和由由于于但但是是的的完完全全估估计计性性的的可可由由所所谓谓能能观观测测性性即即是是研研究究这这表表明明xyuxyyxxxx)()2(,)(,)(:000tCyJttxtxtA.,)(,)2(:2.,0)(,)2(:1000001001100是是完完全全能能观观测测的的在在时时刻刻则则称称系系统统的的不不能能观观测测状状态态零零状状态态都都不不是是时时刻刻如如果果状状态态空空间间中中所所有有非非的的线线性性时时变变系系统统对对于于定定义义是是不不能能观观测测的的在在时时刻刻则则称称此此有有使使对对所所有有存存在在有有限限时时刻刻状状态态的的一一个个非非零零初初始始如如果果对对取取定定初初始始时时刻刻的的线线性性时时变变系系统统对对于于定定义义tJtttxtytttttJtxJt.,)2(:3000是是不不完完全全能能观观测测的的在在时时刻刻则则称称系系统统是是不不能能观观测测的的在在时时刻刻在在一一个个或或一一些些非非零零状状态态如如果果状状态态空空间间中中存存取取定定初初始始时时刻刻的的线线性性时时变变系系统统对对于于定定义义ttJt 五五 能控性与能观测性基本性质能控性与能观测性基本性质1 能控性基本性质：能控性基本性质：1）对于时变系统而言，能控性与）对于时变系统而言，能控性与 的选择有关，的选择有关，对于定常系统而言，能控性与对于定常系统而言，能控性与 的选择无关。的选择无关。2）能控性具有不变性。因为能控性是系统的一个能控性具有不变性。因为能控性是系统的一个基本属性，它不受状态作任何非奇异变换的影响基本属性，它不受状态作任何非奇异变换的影响。3）系统在系统在 区间上完全能控时，则其非零区间上完全能控时，则其非零能控初始状态能控初始状态 必为：必为：0t0t10,tt00)(xtx10)()(),(00ttduBtx 4）若系统在若系统在 区间上完全能控，对区间上完全能控，对于于 ，则系统在，则系统在 区间上也完全能区间上也完全能控（传递性）。控（传递性）。10,tt12tt20,tt5）扰动作用扰动作用f(t)不改变系统的能控性。不改变系统的能控性。6）对于系统（对于系统（1），如果），如果 在在 区区间上是能控的，则间上是能控的，则 在在 区间上也必须是区间上也必须是能控的。这里能控的。这里 为任意非零实数。为任意非零实数。证明如下：证明如下：00)(xtx10,tt0 x10,ttduBtxtttxtutuduBtxtttxtttttt1010)()(),(),()(:),()()()(),(),()(1001100111则则有有若若选选时时有有当当的的解解为为系系统统现现初初态态必必有有)1()()()(),(000010 xtxduBtxtt区区间间是是能能控控的的在在已已知知证证100,:ttxduBtxtttxtt10)()(),(),()(00.,0)()(,)()(,10010010可可控控的的区区间间上上是是在在故故目目标标状状态态转转移移到到使使容容许许控控制制可可以以找找到到时时间间间间隔隔内内上上式式表表明明在在ttxtxxtxtututtt0),()()(),(),()()(),(),(),(000100010010011010 xxttduBtxttduBtttxtttttt2 能观测性基本性质能观测性基本性质 1）对于能观测性而言，能观性与对于能观测性而言，能观性与 的选择有关。的选择有关。对于定常系统而言，能观性与对于定常系统而言，能观性与 的选择无关。的选择无关。2）能观性具有不变性。它不受状态作任何非奇异能观性具有不变性。它不受状态作任何非奇异变换的影响。变换的影响。3）系统在系统在 区间上完全能观时，则其能观区间上完全能观时，则其能观状态状态 必为必为:10,tt0t0t0 xdttttCtCttttMdtduBttCtCttdttytCttttMxttTTttttTTTT 1010010),()()(),(),(:)()(),()()(),()()(),(),(0010000tt10100其其中中 4）若系统在）若系统在 区间上完全能观，对区间上完全能观，对于于 ，则系统在，则系统在 区间上也完全能观。区间上也完全能观。5）控制作用）控制作用u(t)和扰动作用和扰动作用f(t)均不能改变系统均不能改变系统的能观性。的能观性。10,tt20,tt12tt 一一 线性系统的能控性判据线性系统的能控性判据 线性定常系统状态方程线性定常系统状态方程.,)3(0,)0(,0常常阵阵为为维维输输入入向向量量为为维维状状态态向向量量为为pnnnBApuntxxBuAxxx 1 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性定常系统（线性定常系统（3）为）为完全能控的充分必要条件是，存在完全能控的充分必要条件是，存在时刻时刻 ，使如下定义的格拉姆（，使如下定义的格拉姆（Gram）矩阵。）矩阵。01t线性连续时间系统的能控性判据ttATAtcdteBBetW0T,0为为非非奇奇异异,0,0)(:)(,010111tttWeBtutuWtWctATccTx为为构构成成存存在在非非奇奇异异nAtAtccAtAtctATtAtAtAtctATtAtAtAttttAAtRxxexextWtWexextdtWeBBeexedtxtWeBBeexedttBuexetxTT0000111001100011000)(010,0,0,0),0()()(1111111111111时时刻刻的的结结果果在在系系统统状状态态作作用用下下而而在在1)(,)(ttxtu.,0:证证系系统统为为完完全全能能控控非非奇奇异异已已知知充充分分性性证证tWc.0)(,)(0,0:11010系系统统为为完完全全能能控控时时刻刻转转移移到到由由使使状状态态和和控控制制存存在在有有限限时时刻刻对对任任意意上上式式表表明明txtxtutx0,0,:0100 xtWxRxWcTnc使使成成立立也也即即反反设设存存在在某某个个非非零零为为奇奇异异反反设设用用反反证证法法.,进进而而有有由由此此.,00200000000010111dtxeBdtxeBxeBdtxeBBexxtWxtAtTtATTtAtTttATAtTcTTTTT.,0,:1非非奇奇异异欲欲证证已已知知系系统统为为完完全全能能控控必必要要性性tWc0)()()()()(01111110000002000001ttATTTttATttAttAAtAtdtxeBtuxdttBuexxxdttBuexdttBueexetxT.,0,.00010020为为非非奇奇异异即即因因此此反反设设一一成成立立全全能能控控相相矛矛盾盾的的假假设设是是和和已已知知系系统统完完表表明明即即tWxxx.,00:,010又又应应成成立立所所以以对对此此非非零零因因系系统统为为完完全全能能控控另另一一方方面面应应当当有有这这样样欲欲使使上上式式成成立立故故其其必必为为正正值值为为范范数数其其中中xttxeBtATT 状态的能控性状态的能控性线性定常系统的状态方程线性定常系统的状态方程式中：式中：)()()(tButAxtxrnnnrnRBRARtuRtx,)(,)(定义定义：如果对系统施加一个无约束的控制信号如果对系统施加一个无约束的控制信号u(t)，在，在有限的时间间隔有限的时间间隔tott1内，将系统的任一初始状态内，将系统的任一初始状态x(t0)转移到终端状态转移到终端状态x(tf)，那么，称此系统的状态在，那么，称此系统的状态在t=to时是完全能控的，简称系统的状态是能控的。时是完全能控的，简称系统的状态是能控的。不失一般性，设终止状态为状态空间原点即不失一般性，设终止状态为状态空间原点即x(tf)=0，并，并设初始时刻为零，即设初始时刻为零，即 to=0，系统状态方程的解为：，系统状态方程的解为：fffftAtttAttAftttAttAdBuexdBuetxetxdBuetxetx0)(0)()(0)()()0()()()()()()(0000利用利用Cayley-Hamilton定理，可将定理，可将 表示为表示为A的有限项的有限项的形式，即的形式，即Ae10)(nkkkAAe100)()()0(nktkkfduaBAxftfkktdua0)()()(令令)()()()()0(110110fnffnnkfkktttBAABBtBAx它是输入信号的函数，则它是输入信号的函数，则 显然，当给定显然，当给定x(o)后，只有在后，只有在n(nm)矩阵矩阵 满秩时，才能从上式解出满秩时，才能从上式解出 ，进而求得相应的输入信号进而求得相应的输入信号u(t)。1BAABBQn)(fktnBAABBrankrankSnc1得：得：使线性定常系统状态完全能控的充分必使线性定常系统状态完全能控的充分必要条件为：矩阵要条件为：矩阵Sc是满秩的，表示成是满秩的，表示成或者说其中的或者说其中的n个列向量时线性无关的。通常，个列向量时线性无关的。通常，我们称矩阵我们称矩阵1BAABBSnc能控性矩阵。能控性矩阵。在线性定常系统中，能控性定义中，假设初始时刻在线性定常系统中，能控性定义中，假设初始时刻t0=0,初始状态为初始状态为x(0)，而任意终止状态指定为零状态，即，而任意终止状态指定为零状态，即x(tf)=0。反之，若假设反之，若假设x(t0)=0，而，而x(tf)为任意终止状态时，若为任意终止状态时，若存在一个无约束控制信号存在一个无约束控制信号u(t)，在有限时间区间，在有限时间区间t0，tf内，内，能将能将x(t)由零状态转移到任意终止状态由零状态转移到任意终止状态x(tf)，则称系统状，则称系统状态为态为能达性。能达性。在在线性定常系统中，能控性和能达性是可逆的，即能控一线性定常系统中，能控性和能达性是可逆的，即能控一定能达，能达也一定能控定能达，能达也一定能控。而在线性时变系统中，严格的。而在线性时变系统中，严格的说，能控不一定能达，反之亦然。说，能控不一定能达，反之亦然。判据判据2 秩判据秩判据 线性定常系统（线性定常系统（3）为完全控的充分必要条件是）为完全控的充分必要条件是 .,1阵阵称称为为系系统统的的能能控控性性判判别别的的维维数数为为矩矩阵阵其其中中BAABBQAnnc.2102412,215004.1系系统统完完全全能能控控状状态态方方程程为为例例ccrankQABBQnuxxnBAABBrankn1.,32117102423,102171160241:3.,212,0022)(11)(111121112122系系统统完完全全能能控控方方程程为为给给定定线线性性定定常常系系统统状状态态例例系系统统为为不不完完全全能能控控例例cccRCRCRCRCcRCRCRCRCrankQBAABBQnurankQABBQnuxxxxxx判据判据3 PBH秩判据秩判据 线性定常系统（线性定常系统（3）为完全能控的充分必要条件）为完全能控的充分必要条件是，对矩阵是，对矩阵A的所有特征值的所有特征值ninBAIranki,2,1,均均成成立立),2,1(nii.证证略略或或等等价价地地表表为为snBAsIrank,.)(是是左左互互质质的的和和也也即即BAsI 5,5,04,021001100500100001000010:4321的的特特征征值值为为态态方方程程为为给给定定线线性性定定常常系系统统的的状状例例Anuxx 02500101000101010001,ssssBAsI时时当当时时当当时时当当540200100001501015,54251111,03321srankBAsIranksrankBAsIranks.40200100001501015,系系统统完完全全能能控控rankBAsIrank时时当当53suxxxx031012212100063detdetABBSc 考虑由下式确定的系统：考虑由下式确定的系统：即即Sc为奇异，所以该系统是状态不能控的。为奇异，所以该系统是状态不能控的。系统为并联型结构，而 是一个与 无关的孤立部分，即它对应的模态 是不能控的，而 是受 影响，即它对应的模态 是能控的，2x)(tute1x)(tute2311220111 S101011-2-20001x2bAAbbuxc3S Crank该系统该系统能控能控系统为并联型结构，虽然 与 无直接关系，但它与 有联系的，却是受控于 的，系统状态完全能控。2x)(tu,3,1xx,3,1xx)(tu2.线性定常系统的输出能控性线性定常系统的输出能控性)()()()()()(tButCxtytButAxtx 定义定义 若存在一分段连续的输入信号若存在一分段连续的输入信号u(t)，在有限的，在有限的时间时间t0,tf内，能把任一给定的初始输出内，能把任一给定的初始输出y(t0)转移到任一转移到任一指定的最终输出指定的最终输出y(tf),则称系统是输出完全能控的。则称系统是输出完全能控的。也就是，在也就是，在t0,tf时间内，任意时间内，任意y(t0)y(tf)=0,能求能求出控制出控制u(t).系统输出完全能控的系统输出完全能控的充分必要条件充分必要条件是，下列是，下列矩阵的秩为输出的维数矩阵的秩为输出的维数m。mBCABCACABCBD1-n2rank证明：根据系统状态方程的解和输出方程证明：根据系统状态方程的解和输出方程)0(Du)()()(CCC)0(Du)0(Cx)0(y1101fnffntttBAABB)()()()0(uCCCD1101fnffntttBAABB 显然，当给定显然，当给定x(o)后，只有在后，只有在m(nr+r)矩阵矩阵 满秩时，满秩时，才能从上式解出才能从上式解出 ，进而求得相应的输入信号，进而求得相应的输入信号u(t)。)(fktmBCABCACABCBD1-n2rank例例 系统为系统为试分析系统的状态能控性和输出能控性试分析系统的状态能控性和输出能控性x01y213214xux121rankCABCBDrank14221rankABBrank系统的输出能控和状态能控之间是不等价的系统的输出能控和状态能控之间是不等价的。系统状态不能控系统状态不能控系统输出能控系统输出能控设设BuAxx S1BAABBncxPx uBxAxBPBAPPA11,1BABABSnC线性变换不改变系统的能控性线性变换不改变系统的能控性其中：其中：令则：令则：CnnnncSrankBAABBrankBAABBPrankBAPABPBPrankBPAPPBPAPPBPrankSrank )()(1111111111111线性变换不改变系统的能控性线性变换不改变系统的能控性1P满秩矩阵3.1.2 状态能控性标准型判据（判据二状态能控性标准型判据（判据二)定理定理2：设系统设系统 具有两两相异的特具有两两相异的特征值征值 则系统完全能控的则系统完全能控的充分必充分必要条件要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线是系统经线性非奇异变换后的对角线规范形式规范形式),(BAn,.,21uBXXn0021中，中，不包含元素全为不包含元素全为0的行。的行。B例：例：考察如下系统的能控性：考察如下系统的能控性：uxxxxxx 752100050007321321uxxxxxx 902100050007321321uxxxxxx 570410100050007321321系统状态能控系统状态能控系统状态能控系统状态能控系统状态不完系统状态不完全能控全能控定理定理3：设系统设系统 具有重特征值，具有重特征值，则系统状态完全能控的则系统状态完全能控的充分必要条件是，充分必要条件是，经非奇异变换经非奇异变换 后的约当规范形后的约当规范形 ,.,(,(2211重）重）mm),(BAuBXJJJXk0021B1）若）若A为每个特征值都为每个特征值都只有一个约当块只有一个约当块的约当阵时，的约当阵时，则系统能控的充分必要条件为：对应则系统能控的充分必要条件为：对应A的每个约当块的每个约当块的的最后一行相应最后一行相应 的所有元素不完全为零。的所有元素不完全为零。2）若）若A为某个特征值有为某个特征值有多于一个约当块多于一个约当块的约当阵时，的约当阵时，则系统能控的充分必要条件为：对应则系统能控的充分必要条件为：对应A的每个特征值的每个特征值的所有约当块的的所有约当块的 的分块的最后一行相应的分块的最后一行相应 的所有元的所有元素线性无关。素线性无关。Buxxxxxx 340200040014321321uxxxxxxxx010000200101401400401443214321uxxxxxx030124400040014321321系统状态能控系统状态能控系统状态能控系统状态能控系统状态不完系统状态不完全能控全能控3.2 线性连续系统的能观测性线性连续系统的能观测性CxyAxxBunmnnmnRCRARyRx,定义定义 如果系统在如果系统在t0时刻的每一个初始状态时刻的每一个初始状态x(to)都可通过都可通过在有限时间间隔在有限时间间隔tott1内，内，y(t)的观测值确定，则称系的观测值确定，则称系统为状态完全能观测的。统为状态完全能观测的。在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑由给定为零在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑由给定为零输入的系统。不失一般性，设输入的系统。不失一般性，设to=0。这是因为，若采用如下状态空间表达式的解这是因为，若采用如下状态空间表达式的解totAAtdBuexetx)()0()()(DudBueCxCetytotAAt)()0()()(由于矩阵由于矩阵A、B、C和和D均为已知，均为已知，u(t)也已知，所以上也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量测值式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量测值y(t)中消去。因此，为研究能观测性的充分必要条件，只考中消去。因此，为研究能观测性的充分必要条件，只考虑所描述的零输入系统就可以了。虑所描述的零输入系统就可以了。考虑由下所描述的线性定常系统。考虑由下所描述的线性定常系统。CxyAxx为非奇异为非奇异判据判据1 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据阵阵使使如如下下定定义义的的格格拉拉姆姆矩矩存存在在有有限限时时刻刻要要条条件件是是为为完完全全能能观观测测的的充充分分必必线线性性定定常常系系统统,0,)4(1tdtCeCetWAtTttAT100,0判据判据2 秩判据秩判据 线性定常系统（线性定常系统（4）为完全能观测的充分）为完全能观测的充分必要条件是必要条件是.)(10称系统能观测性判据阵其中TnTTTTCACACSnCACACrankn1.n)(1TnTTTTCACACrank或或输出向量为输出向量为)0()(xCetyAt Ate将将 写为写为A的有限项的形式，即的有限项的形式，即10)(nkkkAtAte)0()()(10 xCAttyknkk)0(XCACACI)(I)(I)()0()()0()()0()()(1n1n101110tttxCAtCAxtCxttynn 如果系统是能观测的，那么在如果系统是能观测的，那么在0tt1时间间时间间隔内，由给定输出隔内，由给定输出y(t)，就可由上式唯一地确定，就可由上式唯一地确定出出x(0)。可以证明，这就要求。可以证明，这就要求nmn维能观测性维能观测性矩阵矩阵10SnCACAC 的秩为的秩为n。由上述分析，我们可将能观测的充分必要条件由上述分析，我们可将能观测的充分必要条件表述为：由式所描述的线性定常系统，当且仅当表述为：由式所描述的线性定常系统，当且仅当nnm维能观测性矩阵维能观测性矩阵S1TOTnTTTTCACAC）（的秩为的秩为n，即，即nrankToS时，该系统才是能观测的。时，该系统才是能观测的。试判断由式试判断由式所描述的系统所描述的系统是否为能控和能观测的。是否为能控和能观测的。解解 由于能控性矩阵由于能控性矩阵21212101101211xxyuxxxx1110ABBSCnrankSC 2故该系统是状态能控的。故该系统是状态能控的。，对于输出能控性，可由系统输出能控性矩阵的秩确定。由于对于输出能控性，可由系统输出能控性矩阵的秩确定。由于10CABCBQmQrank1，1011STOTTTCAC nrank 2STO故该系统是输出能控的。故该系统是输出能控的。为了检验能观测性条件，我们来验算能观测性矩阵为了检验能观测性条件，我们来验算能观测性矩阵的秩。由于的秩。由于故此系统是能观测的。故此系统是能观测的。判据判据3 PBH秩判据秩判据 线性定常系统（线性定常系统（4）为完全能观测的充分必要）为完全能观测的充分必要条件是，对矩阵条件是，对矩阵A的所有特征值的所有特征值 均成立。均成立。),2,1(nii.)(是是右右互互质质的的和和也也即即CAsI ninAICranki,2,1,或或等等价价地地表表为为snAsICrank CxyAxx3.2.4 状态能观测性条件的标准型判据状态能观测性条件的标准型判据考虑所描述的线性定常系统考虑所描述的线性定常系统定理定理1 若系统矩阵若系统矩阵A为为对角型对角型，则系统，则系统完全能观测完全能观测的的充要条件是：输出阵充要条件是：输出阵C中中没有没有任何一任何一列列的元素全为零的元素全为零推论：设系统具有两两相异的特征值推论：设系统具有两两相异的特征值 则系统状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非则系统状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线规范形式奇异变换后的对角线规范形式n,.,21XCyXXn,0021 不包含元素全为不包含元素全为0的列。的列。C定理定理2 若系统矩阵若系统矩阵A为为约当型约当型，则系统，则系统完全能观测完全能观测的的充要条件是：充要条件是：C阵中与每个约当块的阵中与每个约当块的第一列第一列相对应的相对应的各列中，没有一列的元素各列中，没有一列的元素全全为零为零推论：若系统具有重特征值推论：若系统具有重特征值 则系统状态完全能观测的充分必要条件是经非奇异变换则系统状态完全能观测的充分必要条件是经非奇异变换后的后的Jordan规范形式为：规范形式为：,.,(,(2211重）重）mm XCyJXJJJXiiiik0101,0021其其中中1）若）若A为每个特征值都为每个特征值都只有一个约当块只有一个约当块的约当阵时，的约当阵时，则系统能观测的充分必要条件为：对应则系统能观测的充分必要条件为：对应A的每个约当的每个约当块的块的 相应的分块的第一列元素不完全为零。相应的分块的第一列元素不完全为零。2）若）若A为某个特征值有为某个特征值有多于一个约当块多于一个约当块的约当阵时，的约当阵时，则系统能控的充分必要条件为：对应则系统能控的充分必要条件为：对应A的每个特征值的每个特征值的所有约当块的的所有约当块的 的分块的第一列相应的分块的第一列相应 的所有元素的所有元素线性无关。线性无关。CC状态完全能观测状态完全能观测 XyXX0011101111201200300130013)1不不能能观观测测状状态态不不完完全全能能观观测测1111001103001320012)2xXyXX 下面讨论能控性和能观测性之间的关系。为了阐明下面讨论能控性和能观测性之间的关系。为了阐明能控性和能观测性之间明显的相似性，这里将介绍由能控性和能观测性之间明显的相似性，这里将介绍由提出的对偶原理。提出的对偶原理。考虑由下述状态空间表达式描述的系统考虑由下述状态空间表达式描述的系统S1：CxyBuAxx3.2.5 对偶原理对偶原理nmrnnnmrnRCRBRARyRuRx,zBnvCzAzTTTnrTmnTnnTrmnRBRCRARnRvRz,。以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统S2：对偶原理：当且仅当系统对偶原理：当且仅当系统S2状态能观测（状状态能观测（状态能控）时，系统态能控）时，系统S1才是状态能控（状态能观才是状态能控（状态能观测）的。测）的。为了验证这个原理，下面写出系统为了验证这个原理，下面写出系统S1和和S2的状态能控的状态能控和能观测的充要条件。和能观测的充要条件。对于系统对于系统S1：1.状态能控的充要条件是状态能控的充要条件是nnr维能控性矩阵维能控性矩阵1BAABBn 的秩为的秩为n。2.状态能观测的充要条件是状态能观测的充要条件是nnm维能观测性矩阵维能观测性矩阵)(1TnTTTTCACAC的秩为的秩为n。)(1TnTTTTCACAC 的秩为的秩为n。2.状态能观测的充要条件是状态能观测的充要条件是nnr维能观测性矩阵维能观测性矩阵1BAABBn 的秩为的秩为n。对比这些条件，可以很明显地看出对偶原理的正确性。利对比这些条件，可以很明显地看出对偶原理的正确性。利用此原理，一个给定系统的能观测性可用其对偶系统的状态用此原理，一个给定系统的能观测性可用其对偶系统的状态能控性来检验和判断。能控性来检验和判断。简单地说，对偶性有如下关系：简单地说，对偶性有如下关系：TTTBCCBAA,对于系统对于系统S2:1.状态能控的充要条件是状态能控的充要条件是nnm维能控性矩阵维能控性矩阵另外，对偶系统的传递函数阵互为转置。另外，对偶系统的传递函数阵互为转置。对偶系统的特征方程是相同对偶系统的特征方程是相同(s)GB)AsI(C)s(GC)AsI(B)s(GB)AsI(C)s(G11T2T1TT211TAsIA-sI3.4 线性离散定常系统的能控性和能观测性线性离散定常系统的能控性和能观测性一、线性离散定常系统的能控性一、线性离散定常系统的能控性 1、能控性定义、能控性定义：如果对任意初态如果对任意初态X(0)=X0，可找到一个容可找到一个容许控制序列许控制序列u(0)、u(1)、.u(k-1)，k=n，经过有限个采经过有限个采样周期使系统在样周期使系统在第第k步到达零状态步到达零状态，即，即X(k)=0，则称此状态是完全能控的。则称此状态是完全能控的。)()()()()()1(kDukCXkykHukGXkX )0()1()2()1()()1()1()0()()0()()0()(12021101101uululuHGHGGHHlHuGlGHuHuGHuGiHuGxGiHuGxGlxllllliillliill)0(1212xGHGHGGHHrankHGHGGHHranklllll)()1()1()0(luluuu控制序列有解的充分必要条件有解的充分必要条件系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵2、能控性判据、能控性判据：离散定常系统离散定常系统 状态完全能控状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵的充分必要条件是能控性判别矩阵 HGGHHQnk1),(HG nHGGHHrankn 1nlr 对方程有解的充分条件是：对方程有解的充分条件是：且能控阵满秩。且能控阵满秩。对于单输入对于单输入n阶线性系统，若在第阶线性系统，若在第n步不能由任意非零状态转移到零，步不能由任意非零状态转移到零，则在则在n+1步后都无法转移到零。对于多输入离散系统，步后都无法转移到零。对于多输入离散系统，的取值可的取值可以小于以小于n。综合考虑。综合考虑X(0)为非零初始状态，上式成立，必然有为非零初始状态，上式成立，必然有nHGHGGHHrankll12lnl 例：系统的状态方程为例：系统的状态方程为 试判定系统的状态能控性。试判定系统的状态能控性。解：解：故系统状态完全能控。故系统状态完全能控。)(101)()()(011220001)1()1()1(321321kukxkxkxkxkxkx 3311220111321121011220001121101011220001,1012rankrankQHGGHHk若系统的初始状态为 ，确定使x(3)=0的控制序列。8115)2()1()0(4122)2()1()0(1130221110)2(101)1(121)0(3214122)2()2()3()1(101)0(121062)1()1()2()0(101122)0()0()1(uuuuuuuuuHuGxxuuHuGxxuHuGxxTx012)0(1）判断系统的能控性；）判断系统的能控性；)()(1kBukAxkx041020122A011000B)()()(21kukuku)0()0()0(21uuu使系统由任意初态使系统由任意初态x(0)转移到终态转移到终态x(1)=0？2）系统是否可由任意初态）系统是否可由任意初态x(0)转移到终态转移到终态x(3)=0？3）能否存在）能否存在例：已知离散系统的差分方程为例：已知离散系统的差分方程为 rank Sc=3 因此该系统状态完全因此该系统状态完全能控能控所以系统一定可使任意初态经三拍所以系统一定可使任意初态经三拍 x(0)x(3)=061-4-001402-01012221-00BAABB2CS0)0()0()1(BuAxx)0()0(3-20.5021-)0(3)0(2)0(5.0)0(2)0()0()0()0(325.0021)0()0(2121221211uuuuuuuxuuBuAx)0(32)0(5.00)0(21325.0021321xxxQQ1(0)0,2x设35.02)0(x设10)0()0()0(21uuu01)0()0()0(21uuu但不能由任意的初始状态一步转移到原点。但不能由任意的初始状态一步转移到原点。若 ，则可以求出u(0),使x(1)=0若 ，则不存在u(0),使x(1)=0QrankrankQQrankrankQ二、线性离散定常系统的能观测性二、线性离散定常系统的能观测性1、定义：如果根据有限个采样周期内测量的、定义：如果根据有限个采样周期内测量的y(k)，可以，可以唯一地确定出系统的任意初始状态唯一地确定出系统的任意初始状态x0，则称，则称x0为能观为能观测状态。测状态。2、判据：线性离散定常系统、判据：线性离散定常系统 ，状态完全能观，状态完全能观测的充分必要条件是能观测矩阵测的充分必要条件是能观测矩阵 ),(CG nCGCGCrankCGCGCQnTnTTTTk 11)(即即满满秩秩3.5 能控规范型和能观测规范型（标准型）能控规范型和能观测规范型（标准型）系统状态变量选择的非唯一性，导致系统系统状态变量选择的非唯一性，导致系统状态空间表达式也是非唯一的。常常根据研状态空间表达式也是非唯一的。常常根据研究问题的不同，将状态空间表达式化成几种究问题的不同，将状态空间表达式化成几种标准型（规范型）标准型（规范型）n维线性定常系统维线性定常系统如果系统状态完全能控，必有如果系统状态完全能控，必有 xxxCyBuAnbAbAAbAbbbrankBAABBrankrnnrrn111111能控判据矩阵中，有且仅有能控判据矩阵中，有且仅有n维列向量是线性无关维列向量是线性无关的，可取的，可取n个线性无关的列向量构成状态空间的一个线性无关的列向量构成状态空间的一组基底，组基底，所谓能控规范型，就是指能控对（所谓能控规范型，就是指能控对（A,B)在在上述基底下所具有的标准形式上述基底下所具有的标准形式。同样：如果系统状态完全能观测，必有同样：如果系统状态完全能观测，必有nCAcAcAcAccrankCACACrankTmnTTnTTmTTTTmTTnTTTT11111)()()(1有且仅有有且仅有n个线性无关列向量，从而也是可导出个线性无关列向量，从而也是可导出一组一组n维线性无关的基底，能观测对（维线性无关的基底，能观测对（A，C）在这组基底下的表现，称为能观测规范型。在这组基底下的表现，称为能观测规范型。3.4.1 单输入单输入单输出系统的能控规范形单输出系统的能控规范形1)能控规范形能控规范形xCyuBxAxccc若单输入线性定常系统的状态状态空间表达式为若单输入线性定常系统的状态状态空间表达式为n21cc121ccccC100,01000010BaaaaAnnn则称系统为能控标准型，且系统一定是状态完全则称系统为能控标准型，且系统一定是状态完全能控的。能控的。2）线性变换）线性变换若系统状态完全能控，即能控矩阵满秩，则一定存若系统状态完全能控，即能控矩阵满秩，则一定存在一个非奇异变换在一个非奇异变换 ，可将系统变换为，可将系统变换为能控标准型能控标准型 tPxtxnrankQBAABBQknk1CxyBuAxx xCyuBxAxcccn211cc1211ccccC100,01000010CPPBBaaaaPAPAnnnnn-n-nasasassI-A111其中其中 为系统特征多项式的系数。为系统特征多项式的系数。n1-n21a,aa,a变换矩阵为变换矩阵为:1111nAPAPPP 111100 BAABBPnnnnnnnnnnPPPpppppppppP)t(x)t(x)t(xX)t(x)t(x)t(xX212122221112112121证明：令证明：令11-n11-n1111-n111n1-n11-n321221n21121n211211cBAABB1000P100BAPABPBPPB,APAPPPPAPAPPAPAPPAP,PPP01000010APAPAPP01000010PAPAPaaaaaaaaAnnnnnn例：设线性定常系统用下式描述例：设线性定常系统用下式描述111011)()()(BAtButAXtX试将状态方程化为能控规范型试将状态方程化为能控规范型解：能控判别阵解：能控判别阵 111111011010:211011101BABPPrankrankSBABSCC求系统状态完全能控uXuBXAXPBBPAPAAPPP10011010110111011011101101011110110111011111110110Pccc11c11113.4.2 单输入单输入单输出系统的能观测规范形（标准型）单输出系统的能观测规范形（标准型）1)能观测规范形能观测规范形设系统的状态方程为设系统的状态方程为 )(x)()()(x)(xtCtytButAt若系统状态完全能观测性，即其能观测判别阵满秩若系统状态完全能观测性，即其能观测判别阵满秩1nOCACACS则存在非奇异变换则存在非奇异变换可将系统化为能观测规范型可将系统化为能观测规范型)()()()(1tXTtXtXTtX或 )(x)()(x)(x tCytuBtAt 100,100000001000121 CaaaaAnn而而 为任意的为任意的 矩阵矩阵B1n变换矩阵变换矩阵1111TAATTTn 100111nCACACT例：设系统的状态方程为例：设系统的状态方程为 试将其变换为能观测规范型试将其变换为能观测规范型解：能观测判别阵解：能观测判别阵 )(x211)()(x2011)(xttytt2110221010012110121111TCACSOx(t)x(t)(t)x10)(31201042312113120423101124231201121123221123242311111tyCTCATTATATTT3.7 线性定常系统结构分解线性定常系统结构分解000cc cccxxxx0cx0cxx-能控又能观测能控又能观测-能控不能观测能控不能观测-不能控能观测不能控能观测-不能控不能观测不能控不能观测coxcox 1.系统的能控性分解系统的能控性分解 对于一个对于一个n维的不完全能控的线性系统维的不完全能控的线性系统 其中其中 ，系统不完全能控，系统不完全能控.则存在一个非奇异线性变换阵则存在一个非奇异线性变换阵 ，将系统将系统 变为变为能控子系统能控子系统和和不能控子系统不能控子系统两部分。两部分。BuAxxCxynrSrankc cT 2、非奇异变换阵、非奇异变换阵 的的构造构造 1CTxTxc1nrrcTTTTT111cT1CT1）在系统能控阵在系统能控阵Sc 中选取中选取任意任意r个线性无关列向量个线性无关列向量；2）保证变换阵保证变换阵 非奇异性非奇异性，任意选取任意选取n-r个列向量个列向量。1cT状态线性变换状态线性变换变换阵非唯一变换阵非唯一则则uBxAx22121110AAAATTAcc211CCCTCc0rcBBTBccxxxrcRx rnRxc-能控状态子向量能控状态子向量-不能控状态子向量不能控状态子向量rn-rrrn rn rrn r则有则有:能控子系统能控子系统:不能控子系统不能控子系统:ccxAx22uBxAxAxccc112112121yyxCxCycccxCy11cxCy2222ccxA xuBxAxAxccc11211yu1Bs/11C11A12As/12C22Acxcx cx cx1y2y例例1：进行能控性分解进行能控性分解解：解：所以不完全能控所以不完全能控xyuxx210 011310301100.32210311101 2rankbAAbbrankSrankc选取选取通过则通过则11121122131 1100112011ccTTxTxc1.01111220 1120010 xxu yx 能控子系统：能控子系统：不能控子系统不能控子系统：ccccxyuxxx11012121101ccxx cxy22 1.系统的能观测性分解系统的能观测性分解 对于一个对于一个n维的不完全能观测的线性系统维的不完全能观测的线性系统 其中其中 ，系统不完全能观测，系统不完全能观测.则存在一个非奇异线性变换阵则存在一个非奇异线性变换阵 ，将系统将系统 变为变为能观测子系统能观测子系统和和不能观测子系统不能观