线性代数课件09向量组的秩与向量空间

1主要内容主要内容第九讲第九讲 向量组的秩与向量空间向量组的秩与向量空间向量组的最大无关组和向量组的秩的定义及向量组的最大无关组和向量组的秩的定义及 等价定义；等价定义；基本要求基本要求向量组的秩与矩阵的秩的关系，向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩的关系，向量组的秩 和最大无关组的求法；和最大无关组的求法；向量空间的概念，向量空间的基和维数、子向量空间的概念，向量空间的基和维数、子 空间、向量组所生成的空间等概念及有关结论空间、向量组所生成的空间等概念及有关结论.理解向量组的最大无关组和向量组的秩的概理解向量组的最大无关组和向量组的秩的概 矩阵的初等变换求向量组的秩和最大无关组矩阵的初等变换求向量组的秩和最大无关组.知道向量空间、向量空间的基和维数、子空知道向量空间、向量空间的基和维数、子空 基中的坐标基中的坐标.2一、向量组的秩与最大无关组一、向量组的秩与最大无关组第三节第三节 向量组的秩向量组的秩定义定义 向量组向量组 线性无关；线性无关；rA ,:210 设有向量组设有向量组 ，如果在，如果在 中能选出中能选出 个个向量向量 ，满足，满足AArr ,21 向量组向量组 中任意中任意 个向量（如果个向量（如果 中有中有 个向量的话）都线性相关个向量的话）都线性相关.1 rAA1 r那么称向量组那么称向量组 是向量组是向量组 的一个的一个最大线性无关最大线性无关向量组向量组，简称简称最大无关组最大无关组，最大无关组所含向量最大无关组所含向量个数个数 称为称为向量组向量组 的秩的秩，记作记作 .0AArAAR 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为它的秩为0.3例如例如 设向量组设向量组,11,10,01:321 A 线性无关；线性无关；21,线性相关，所以线性相关，所以321,是向量组是向量组 的最大无关组，的最大无关组，且且 .21,A2 AR另外，另外，也线性无关，所以也线性无关，所以31,也是向量组也是向量组 的最大无关组的最大无关组.31,A同理，同理，也是向量组也是向量组 的最大无关组的最大无关组.32,A4说明说明这个定义是把秩的概念引申到向量组中来，给这个定义是把秩的概念引申到向量组中来，给 无限多个向量，从而使秩的概念深入到更广阔无限多个向量，从而使秩的概念深入到更广阔 的领域的领域.定义表明最大无关组就是含向量个数最多的线定义表明最大无关组就是含向量个数最多的线 性无关的部分组性无关的部分组.向量组的最大无关组一般不唯一向量组的最大无关组一般不唯一.若向量组若向量组 的的 秩为秩为 ，则向量组，则向量组 中中任意任意 个线性无关个线性无关的向量的向量 组成的向量组都是它的最大无关组组成的向量组都是它的最大无关组.AArr5二、向量组的秩与矩阵的秩的关系二、向量组的秩与矩阵的秩的关系1.定理的引入定理的引入记记),(21mA ),(210riiiA 根据最大无关的定义，知根据最大无关的定义，知,)(0rAR 所以所以 中存在中存在 阶非零子式，即矩阵阶非零子式，即矩阵 中含有中含有 阶非零子式阶非零子式.rr0AA另一方面，如果另一方面，如果 中有中有 阶子式阶子式 不为零，则不为零，则A1 r1 rD矩阵矩阵 中中 所在的所在的 列列 线性无线性无关关（因为矩阵因为矩阵 的秩为的秩为 ）.A1 rD1 r121,rjjj ),(121 rjjj 1 rmA ,:21设向量组设向量组 的秩为的秩为 ，且，且 是它的一个最大无关组是它的一个最大无关组.rriii ,21这与这与 是是 的列向量组的最大无关组矛的列向量组的最大无关组矛盾盾.riii ,21A因此因此.)(rAR 即，即，矩阵的列向量组的秩等于矩阵的秩矩阵的列向量组的秩等于矩阵的秩.62.定理定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩等于它的行向量组的秩.证证),(21mA ,)(rAR 设设并设并设 的的 阶子式阶子式 .rA0 rD由由 知，在知，在 中中 所在的所在的 列线性无关列线性无关；0 rDArDr又由又由 中所有中所有 阶子式均为零知，阶子式均为零知，中任意中任意 个列向量都线性相关个列向量都线性相关.AA1 r1 r 因此，因此，所在的所在的 列是列是 的列向量组的一的列向量组的一个最大无关组，个最大无关组，rArD所以所以 的列向量组的秩为的列向量组的秩为 .Ar类似可证矩阵的行类似可证矩阵的行向量组向量组的秩等于矩阵的秩的秩等于矩阵的秩.7说明说明根据上述定理，有限向量组的秩的记号与矩阵根据上述定理，有限向量组的秩的记号与矩阵 的秩的记号不加区分的秩的记号不加区分.向量组向量组 的秩也记作的秩也记作m ,21).,(21mR 此定理给出了向量组的秩和最大无关组的求法此定理给出了向量组的秩和最大无关组的求法.向量组的秩等于它所构成的矩阵的秩；向量组的秩等于它所构成的矩阵的秩；最高阶非零子式所在的列向量，就是列向量组最高阶非零子式所在的列向量，就是列向量组的最大无关组的最大无关组.由此可知，前面介绍的定理由此可知，前面介绍的定理1、2、3、4中出现中出现 的矩阵的秩都可该为向量组的秩的矩阵的秩都可该为向量组的秩.8例例1 全体全体 维向量构成的向量组记作维向量构成的向量组记作 ，求，求的一个最大无关组及的一个最大无关组及 的秩的秩.nnRnRnR解解我们已经知道，维单位坐标向量组我们已经知道，维单位坐标向量组析：此例的目的是熟悉向量组的最大无关组析：此例的目的是熟悉向量组的最大无关组和向量组秩的定义和向量组秩的定义.联系后面的向量空间的联系后面的向量空间的概念，知概念，知 是一个是一个 维向量空间，维向量空间，是它的一个基，称为是它的一个基，称为 的的自然基自然基.neee,21nRnnRneeeE,:21是线性无关是线性无关，又又 中的任意中的任意 个向量（个向量（维）维）都线性相关，都线性相关，nRn1 n 因此向量组因此向量组 是是 的的一个最大无关组，且一个最大无关组，且 的秩等于的秩等于 .neee,21nRnnR显然，显然，的最大无关组很多，任何的最大无关组很多，任何 个线性无关个线性无关的的 维向量都是维向量都是 的最大无关组的最大无关组.nRnRnn9三、最大无关组的等价定义三、最大无关组的等价定义1.结论的引入结论的引入问题：向量组与其最大无关组有什么关系呢？问题：向量组与其最大无关组有什么关系呢？mA ,:21riiiA ,:210设向量组设向量组 是向量组是向量组的最大无关组，的最大无关组，显然，向量组显然，向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示：0AAmiiiissss 00100111另一方面，因为向量组另一方面，因为向量组 是向量组是向量组 的最大无关的最大无关组，所以向量组组，所以向量组 中任意中任意 个向量都线性相关，个向量都线性相关，0AAA1 r特别地，对于特别地，对于 中任一向量中任一向量 ，向量组，向量组Aj riiij ,21线性相关，因此线性相关，因此riiij ,21能能由由线性表示线性表示，所以所以向量组与其最大无关组等价向量组与其最大无关组等价.即向量组即向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示.A0A102.推论推论（最大无关组的等价定义）（最大无关组的等价定义）设向量组设向量组 向量组向量组 的一个部分组，的一个部分组，且满足且满足rA ,:210A 向量组向量组 线性无关；线性无关；0A向量组向量组 的任一向量都能由向量组的任一向量都能由向量组 线性表示，线性表示，A0A（向量组（向量组 与与 等价）等价）A0A那么向量组那么向量组 就是向量组就是向量组 的一个最大无关组的一个最大无关组.A0A11证证 析：按所设，要证明向量组析：按所设，要证明向量组 是向量组是向量组 的的一个最大无关组，只要证明向量组一个最大无关组，只要证明向量组 中任意中任意 个个向量线性相关向量线性相关.0AAA1 r设设 是向量组是向量组 中任意中任意 个向量，个向量，121,r 1 rA按条件知，按条件知，能由向量组能由向量组 线性表线性表示，从而有示，从而有121,r 0ArRRrr ),(),(21121 （由定理（由定理3）于是，由定理于是，由定理4知知，121,r 线性相关，线性相关，因此向量组因此向量组 是向量组是向量组 的一个最大无关组的一个最大无关组.0AA12例例2 设齐次线性方程组设齐次线性方程组 ,075,032,02243214214321xxxxxxxxxxx的全体解向量构成的向量组为的全体解向量构成的向量组为 ，求，求 的秩的秩.SS解解 析：此题的目的是运用析：此题的目的是运用“最大无关组的等价最大无关组的等价定义定义”求向量组的最大无关组和秩求向量组的最大无关组和秩.先解方程先解方程 751110322121A122rr 13rr 96303210212113233rr )1(2 r 000032102121212rr 000032104301 .32,43432431xxxxxx得得所以方程组的通解为所以方程组的通解为).,(,1034012321214321Rccccxxxx 再写出向量组再写出向量组 ，S14),(,212211Rccccx 把上式记作把上式记作则则,|212211RccccxS 即即 能由向量组能由向量组 线性表示，而线性表示，而 显然显然是线性无关的是线性无关的.S21,21,因此根据最大无关组的等价定义知因此根据最大无关组的等价定义知，是是 的最大无关组，从而的最大无关组，从而 .21,S2 SR15四、含无限个向量的向量组的结论四、含无限个向量的向量组的结论 利用最大无关组和向量组的秩，可以把定理利用最大无关组和向量组的秩，可以把定理1、2、3推广到含无限个向量的向量组：推广到含无限个向量的向量组：向量向量 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示的充分必要条件是矩阵的充分必要条件是矩阵 的秩等的秩等于矩阵于矩阵 的秩的秩.m ,21),(21mA ),(21 mB 定理定理1定理定理1 向量组向量组 和向量和向量 ，向量组，向量组 表示由向量表示由向量组组 与向量与向量 合并而成的向量组合并而成的向量组.向量向量 能由向量能由向量组组 的充要条件是的充要条件是 .A BA ABARR 16 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵的秩等于矩阵 的秩，的秩，m ,21l ,21),(21mA ),(),(11lmBA 定理定理2 定理定理2 设向量组设向量组 表示由向量组表示由向量组 与向量组与向量组 合合并而成的向量组，则向量组并而成的向量组，则向量组 能由向量组能由向量组 线性线性表示充要条件是表示充要条件是 .ABCBACARR 定理定理3 设向量组设向量组 能由向量组能由向量组 线性表示，则线性表示，则m l ,21).,(),(2121mlRR ,21 定理定理3 设向量组设向量组 能由向量组能由向量组 线性表示，则线性表示，则AB.ABRR 证明证明17例例3 设向量组设向量组 能由向量组能由向量组 线性表示，且线性表示，且它们的秩相等，证明向量组它们的秩相等，证明向量组 与向量组与向量组 等价等价.ABAB证证 析：本例的目的是熟悉各种关系（矩阵与矩析：本例的目的是熟悉各种关系（矩阵与矩阵关系、向量组与向量组关系、向量组的秩与向阵关系、向量组与向量组关系、向量组的秩与向量组的秩关系等）之间的转换量组的秩关系等）之间的转换.用用 表示由向量组表示由向量组 与与 合并起来的向量组，合并起来的向量组，CAB因因 组能由组能由 组线性表示，所以组线性表示，所以AB,CARR 又已知又已知 ，故有，故有BARR .CBARRR 因此根据定理因此根据定理2的推论，知的推论，知 组与组与 组等价组等价.AB18说明说明本例也可改述成下列两个命题：本例也可改述成下列两个命题：设向量组设向量组 能由向量组能由向量组 线性表示，则组线性表示，则组 与与 组等价的充要条件是组等价的充要条件是 ；ABBARR AB设设 ，则向量组，则向量组 与向量组与向量组 等价的充等价的充 要条件是要条件是 组能由组能由 组线性表示（或组线性表示（或 组能由组能由 组线性表示）组线性表示）.ABBARR AABB必须注意，两个向量组的秩相等，这两个向量必须注意，两个向量组的秩相等，这两个向量 组是不一定等价组是不一定等价.19例例4 设矩阵设矩阵,97963422644121121112 A求矩阵求矩阵 的列向量组的一个最大无关组，并把不的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.A解解 析：此例无论在理论上还是计算实践上都具析：此例无论在理论上还是计算实践上都具有重要意义有重要意义.此例的理论依据是：此例的理论依据是：ABABr 矩阵矩阵 经过初经过初等行变换变成等行变换变成 ，即，即 ，A B 则则 与与 的列向量的列向量组各向量之间具有相同的线性关系组各向量之间具有相同的线性关系.A 主要依据是主要依据是矩阵矩阵 的行最简形的行最简形.20 3433004440613304121121rr 232rr 122rr 143rr 97963422644121121112A 31000620000111041211)4(3 r32rr 233rr 0000031000011104121123 r34rr 可见可见,3)(AR故故 的列向量组的秩为的列向量组的秩为3，A 而矩阵而矩阵 的行阶梯形的的行阶梯形的3个非零行的非零首元个非零行的非零首元在在1、2、4三列，三列，A421,故故 为列向量组的一个为列向量组的一个最大无关组最大无关组.2121rr 32rr 00000310000111041211Ar所以所以 的列向量组的列向量组 与与有相同的线性关系，有相同的线性关系，A54321,54321,而而 是单位坐标向量，是单位坐标向量，容易看出容易看出 有如下线性关系：有如下线性关系：421,54321,213 .3344215 ,213 .3344215 因此因此 也有如下线性关系：也有如下线性关系：54321,),(54321 记作记作Ar 0000031000301104010122说明说明这是一道典型例题，具体方法是：这是一道典型例题，具体方法是：用初等行变换将用初等行变换将 化为行最简形化为行最简形 ；AA由由 的非零行数知，的非零行数知，的列向量组的秩；的列向量组的秩；AA若若 ，则，则 中有中有 列为单位坐标向量列为单位坐标向量 ，中其余各列可以非常方便地写成中其余各列可以非常方便地写成它们的线性组合；它们的线性组合；rAR)(rreee,21AAA根据根据 与与 的列向量组有相同的线性关系，的列向量组有相同的线性关系，的列向组中蕴含的复杂线性关系就随之而知：的列向组中蕴含的复杂线性关系就随之而知：A 中对应于中对应于 中中 的列构成的列构成 的列向的列向量组的最大无关组；量组的最大无关组；AAreee,21A 中其余列向量用此最大中其余列向量用此最大无关组线性表示的系数与无关组线性表示的系数与 中对应列用中对应列用线性表示的系数依次相同线性表示的系数依次相同.AAreee,2123五、小结五、小结v把秩的概念引入向量组后，使方程组、矩阵、把秩的概念引入向量组后，使方程组、矩阵、向量组三者之间的转换的几何意义更加深刻向量组三者之间的转换的几何意义更加深刻.v向量组的最大无关组是把有限向量组的结论推向量组的最大无关组是把有限向量组的结论推 广到无限向量组的广到无限向量组的“桥梁桥梁”.v最大无关组的两个等价定义：最大无关组的两个等价定义：向量组向量组 线性无关；线性无关；rA ,:210 向量组向量组 中任意中任意 个向量都线性相关个向量都线性相关,1 rA设向量组设向量组 向量组向量组 的一个部分组，的一个部分组，且满足且满足rA ,:210A或者或者 组的任一向量都能由组的任一向量都能由 组线性表示组线性表示,A0A那么向量组那么向量组 就是向量组就是向量组 的一个最大无关组的一个最大无关组.A0A24一、向量空间的概念一、向量空间的概念第四节第四节 向量空间向量空间定义定义 设设 为为 维向量的集合，满足以下三个条件维向量的集合，满足以下三个条件Vn 不是空集不是空集；V 若若 ，则，则 ；V ,V （对于向量加法封闭）对于向量加法封闭）V 若若 ，则，则 ，RkV ,Vk （对于向量与数的乘法封闭）对于向量与数的乘法封闭）V那么称集合那么称集合 为为向量空间向量空间.V25例如例如 3维向量的全体维向量的全体 ，就是一个向量空间，就是一个向量空间.3R因为因为3维向量的和仍然是维向量的和仍然是3维向量，数乘维向量，数乘3维维向量仍然是向量仍然是3维向量，另外，维向量，另外，显然非空显然非空.3R一般地，一般地，维向量的全体维向量的全体 也是一个向量空间也是一个向量空间.nnR 集合集合,|),0(22RxxxxxVnTn 是一个向量空间是一个向量空间.设设),0(2naa ),0(2nbb 则则,V 于是于是),0(22nnbaba ,V),0(2nkakak ,V 另外，另外，显然非空，所以显然非空，所以 是一个向量空间是一个向量空间.VV这是因为这是因为26 集合集合,|),1(22RxxxxxVnTn 不是向量空间不是向量空间.这是因为这是因为设设),1(2naa 则有则有,V 而而)2,2,2(22naa ,V 不满足数乘的封闭性不满足数乘的封闭性.设设 是两个已知的是两个已知的 维向量，集合维向量，集合 ,n,|RlklkxL 是一个向量空间是一个向量空间.显然显然 非空；非空；L这是因为这是因为若若 111lkx ,L 222lkx ,L 则有则有 )()(212121llkkxx ,L.L 111klkkkx 线性组线性组合的全体合的全体 ,27二、向量组所生成的向量空间二、向量组所生成的向量空间定义定义 .,|212211RkkkkkkxLmmm 再例如再例如 齐次线性方程组齐次线性方程组 ,075,032,02243214214321xxxxxxxxxxx的解集为的解集为 .S,|212211RccccxS 因为因为所以所以 是一个向量空间，称为是一个向量空间，称为解空间解空间.S 向量组向量组 的线性组合的全体，称的线性组合的全体，称为为由向量组由向量组 所生成的向量空间所生成的向量空间，记作，记作m ,21m ,2128例例5（结论）（结论）设向量组设向量组 与向量组与向量组 等价，记等价，记 m ,21s ,21,|2122111RkkkkkkxLmmm ,|2122112RllllllxLsss 试证试证 .21LL （即（即等价的向量组所生成的向量空间相同等价的向量组所生成的向量空间相同）证证 析：要证析：要证 ，即证，即证21LL .2121LLLL 且且又因为又因为 能由能由 线性表示，线性表示，m ,21s ,21则则 能由能由 线性表示，线性表示，m ,21x所以所以 能由能由 线性表示，线性表示，xs ,21设设,1Lx 即有即有,2Lx 这就是说这就是说1Lx,2Lx 因此因此.21LL 类似地可证：类似地可证：若若 ，则，则 ，2Lx 1Lx.21LL 因此因此29三、子空间三、子空间1.定义的引入定义的引入 维向量的全体维向量的全体 是一个向量空间是一个向量空间.nnR是一个向量空间是一个向量空间.,|),0(22RxxxxxVnTn 这两个向量空间有什么关系呢？这两个向量空间有什么关系呢？显然这两个向量空间的元素都是显然这两个向量空间的元素都是 维向量，维向量，并且有并且有n.nRV 302.定义定义 设有向量空间设有向量空间 及及 ，若，若 ，则称则称 是是 的的子空间子空间.1V2V21VV 1V2V 任何由任何由 维向量所组成的向量空间维向量所组成的向量空间 ，总有总有nV,nRV 所以这样的向量空间总是所以这样的向量空间总是 的子空间的子空间.nR31四、向量空间的基与维数四、向量空间的基与维数1.定义定义 设设 为向量空间为向量空间，V个向量个向量 ，rVr ,21若满足若满足 线性无关；线性无关；r ,21 中任一向量都可由中任一向量都可由 线性表示，线性表示，Vr ,21 只含零向量的向量空间没有基，规定它的维数只含零向量的向量空间没有基，规定它的维数为为0.这样的向量空间称为这样的向量空间称为零空间零空间或或0维向量空间维向量空间.V那么向量组那么向量组 称为向量空间称为向量空间 的的一个一个基；基；称为向量空间称为向量空间 的的维数维数，记作，记作 并称并称 为为 维向量空间维向量空间.r ,21rVVr;dimV32说明说明 但是向量但是向量组一般不是向量空间组一般不是向量空间向量空间向量空间 可以看作是一个向量组（可以看作是一个向量组（），根据最大无关组的等），根据最大无关组的等 价定义知，价定义知，V 的维数就是向量组的秩的维数就是向量组的秩.V 的基就是向量组的最大无关组，的基就是向量组的最大无关组，V向量空间的基也是不唯一的向量空间的基也是不唯一的.33例如例如 任何任何 个线性无关的个线性无关的 维向量都可以是向量空维向量都可以是向量空间的一个基，由此可知间的一个基，由此可知 的维数为的维数为 .nnnnR称为称为 维向量空间维向量空间.nRn 向量空间向量空间,|),0(22RxxxxxVnTn ,100,0102 nee取取 中如下中如下 个向量：个向量：1 nV,),0(222nnTnexexxxx 显然显然 线性无关，且线性无关，且 中任一向量都有中任一向量都有Vneee,32因此因此 是的一个基是的一个基,且且 是是 维向量空间维向量空间.neee,32V1 n可以取其它可以取其它的的 个线个线性无关的向性无关的向量量1 n34 向量空间向量空间.,|212211RkkkkkkxLmmm 设设 是向量组是向量组 的一个的一个最大无关组，最大无关组，m ,21riii ,21则则 中任一向量可由中任一向量可由 线性表示线性表示,Lriii ,21因而因而 是是 的一个基的一个基,是是 维向量空间维向量空间.riii ,21LLr所以，所以，由向量组所生成的向量空间的基就是由向量组所生成的向量空间的基就是该向量组的一个最大无关组，它的维数等于该该向量组的一个最大无关组，它的维数等于该向量组的秩向量组的秩.352.关于基和维数的有关结论：关于基和维数的有关结论：若向量空间若向量空间 ，则，则 的维数不超过的维数不超过 .nRV Vn 若向量空间若向量空间 ,且且 则则 nRV ,dimnV .nRV 若向量组若向量组 是向量空间是向量空间 的一个的一个基，则基，则 可表示为可表示为r ,21VV.,|212211RkkkkkkxLrrr 即即 是基所生成的向量空间是基所生成的向量空间，这清楚地显示出，这清楚地显示出了向量空间了向量空间 的构造的构造.这就是基的涵义这就是基的涵义.VV证明证明36五、向量的坐标五、向量的坐标1.向量的坐标向量的坐标定义定义 设设 是向量空间是向量空间 的一个基，则的一个基，则中任一向量中任一向量 可由它惟一地表示为可由它惟一地表示为r ,21Vx,2211rrkkkx 数组数组 称为称为向量向量 在基在基 中的坐标中的坐标.rkkk,21xr ,21特别地，特别地，维向量空间维向量空间 中的向量中的向量 ，nnR Tnaaa),(21 若若 ,则则,2211nneaeaea 所以所以 在基在基 中的坐标为中的坐标为 .neee,21naaa,21即即向量在自然基中的坐标就是向量的分量向量在自然基中的坐标就是向量的分量.372.过渡矩阵过渡矩阵定义定义 设设 和和 是是 维向量空间维向量空间 的两个基，根据基的定义知，它们是等价的的两个基，根据基的定义知，它们是等价的.r ,21r ,21rV若若 Pr),(21 ),(21r 则称矩阵则称矩阵 从基从基 到基到基 的的过过r ,21r ,21P渡矩阵渡矩阵.38说明说明用用 表示表示 的表示式的表示式 称为称为基变换公式基变换公式.r ,21r ,21Pr),(21 ),(21r 向量在某个基中的坐标是唯一的；但是同一个向量在某个基中的坐标是唯一的；但是同一个 向量在不同中基的中作表示不同的向量在不同中基的中作表示不同的.向量在两向量在两个基中的坐标之间的关系式称为个基中的坐标之间的关系式称为坐标变换公式坐标变换公式.过渡矩阵是可逆矩阵过渡矩阵是可逆矩阵.39例例6 设设,221212122),(321 A,213041),(21 B验证验证 是是 的一个基，并求的一个基，并求 在这个基在这个基中的坐标中的坐标.321,3R21,解解 析：本例是关于向量空间的问题，也即线性析：本例是关于向量空间的问题，也即线性代数中的几何问题代数中的几何问题.就计算而言，只需将它转换就计算而言，只需将它转换为相应的矩阵问题：求解矩阵方程为相应的矩阵问题：求解矩阵方程 .这这已经前面分析过这类问题的解法已经前面分析过这类问题的解法.BAX 要证要证 是是 的一个基，只需证的一个基，只需证线性无关，线性无关，321,3R321,即即 证证.EA40 要求要求 在基在基 中的坐标，就是求下中的坐标，就是求下面线性表示式的系数：面线性表示式的系数：21,321,3312211111 xxx ,3322221122 xxx 两式合起来即为两式合起来即为 32312221121132121),(),(xxxxxx AXB 所以亦即要求解矩阵方程所以亦即要求解矩阵方程.BAX 41),(BA 242213021241122 87360960906314131rr 122rr 13rr 233003203063141)3(2 r232rr 33 r32 r31rr 214rr 可见可见,EA所以所以 是是 的一个基，且的一个基，且321,3R 的解为的解为BAX 323234321100101000142即即 3211323432X),(),(32121 3211323432所以，所以，21,321,在基在基 中的坐标依次为中的坐标依次为.321341,32,32，和和 43例例7 设设 中的两个基中的两个基 和和 ，其中，其中3R321,321,;101,110,011321 ;111,011,001321 求从基求从基 到基到基 的过渡矩阵；的过渡矩阵；321,321,设向量设向量 在基在基 中的坐标为中的坐标为 ，求，求 在基在基 中的坐标中的坐标.321,321,2,1,3解解 设从基设从基 到基到基 的过渡矩阵的过渡矩阵为为 ，则，则321,321,P,),(321P ),(321 即即P 11001110110011011144所以所以 1001101111100111011P.10110112121 10011011111111111121P 因为因为 在基在基 中的坐标为中的坐标为 ,所以所以 321,2,1,3,213),(321 321,设设 在基在基 中的坐标为中的坐标为 ，则有，则有321,yyy45,),(321321 yyyP 321321),(yyy 因而因而 213),(321 ,),(321321 yyyP 所以所以 321yyyP 213 2131321Pyyy 213110101110321yyy.311 46六、小结六、小结向量组的一个最大无关组与向量空间的区别于向量组的一个最大无关组与向量空间的区别于 联系：联系：由定义知，除零空间外，任一向量空间作为一由定义知，除零空间外，任一向量空间作为一个向量组必定是无限集；但向量组作为一个向量个向量组必定是无限集；但向量组作为一个向量的集合可以是有限集的集合可以是有限集.设设 是向量空间，把是向量空间，把 看作一个无限向量组，看作一个无限向量组，则则 中向量组中向量组 是是 的一个基的充的一个基的充要条件是要条件是 是是 的一个最大无关组；向量空间的一个最大无关组；向量空间 的维数就等于向量组的维数就等于向量组 的秩的秩.这是可以认为只是描这是可以认为只是描述的语言不同而已述的语言不同而已.VVVVVVrA ,:2100AV47向量的维数与向量空间的维数：向量的维数与向量空间的维数：向量的维数是指向量分量的个数；向量空间的向量的维数是指向量分量的个数；向量空间的维数是指向量空间的基中所含向量的个数维数是指向量空间的基中所含向量的个数.维维向量空间，向量空间，“维维”是指向量空间的维数是指向量空间的维数.rr设向量空间设向量空间 是由向量组是由向量组 所生所生 成的，即成的，即VsA ,:21.,|212211RkkkkkkxLsss 这时，这时，与向量组与向量组 的联系特别紧密：的联系特别紧密：VA ，且向量组，且向量组 与向量组与向量组 等价；等价；VA AV 向量组向量组 的任一个最大无关组是的任一个最大无关组是 的一个基；的一个基；AV 的维数等于向量组的维数等于向量组 的秩的秩.VA48作业：作业：P109 13.14.(2)15.16.P110 20.21.P112 38.39.49定理定理3的证明的证明证证 设设 并设向量组并设向量组 和和 的最大的最大无关组分别为无关组分别为,tRsRBA ABsA ,:210和和tB ,:210由于由于 组能由组能由 组线性表示，组线性表示，组能由组能由 组线组线性表示，所以性表示，所以 组能由组能由 组线性表示；组线性表示；0BBBA0BA0A又又 组能由组能由 组线性表示，因此组线性表示，因此A 组能由组能由 组线性表示，因而根据定理组线性表示，因而根据定理3，有，有0B0A),(),(2121stRR 即即 ,st .ABRR 亦即亦即证毕证毕定理定理3 设向量组设向量组 能由向量组能由向量组 线性表示，则线性表示，则AB.ABRR 50 若向量空间若向量空间 ,且且 则则 nRV ,dimnV .nRV 证证 因为因为,dimnV 所以所以 的基含有个向量，的基含有个向量，V故可设故可设 是是 的一个基，的一个基，n ,21V又因为又因为 ，所以，所以nRV ,21Rn 而而 ,nRn dim因此因此 也是也是 的一个基，的一个基，n ,21nR所以所以.nRV 证毕证毕